Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị mỗi trục là mét, mặt sàn là mặt $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng lên, có hai bức tường $(1)$ và $(2)$ nằm lần lượt trên các mặt phẳng $(Oyz)$ và $(Oxz)$ (tham khảo hình vẽ). Một tia Laze được chiếu từ điểm $S$ xuyên qua một lỗ nhỏ tại $A(0;6;5)$ trên bức tường $(1)$, tia sáng này phản xạ tại điểm $B$ trên mặt sàn rồi đến bức tường $(2)$ tại điểm $C(12;0;7)$. Theo tính chất phản xạ ta có $AB$ và $BC$ cùng tạo với mặt sàn các góc bằng nhau. Khi đó

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;1)$, $B(2;-1;3)$. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$ lớn nhất.

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước: dài $AD=8$ mét, rộng $AB=6$ mét, cao $A{A}^{\prime }=4$ mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đặt tại $A$; các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $AD,AB,A{A}^{\prime }$ (chiều dương lần lượt từ $A$ đến $D$, từ $A$ đến $B$, từ $A$ đến $A^{\prime }$) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm $S$ của mặt trần $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh $C$ (đỉnh đối diện với $A$ trên mặt sàn $ABCD$). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, gọi $P$ là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là tâm của mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $K$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$. Cho biết $\overrightarrow{IB}\cdot \overrightarrow{AK}=n{a}^2$ ($n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là tâm của đáy $ABCD$, được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Biết cạnh $SA=AB=3\sqrt{2}$ và điểm $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Khi đó:
[IMAGE:img_p2_q2]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(\sin t;\cos t;1),\vec{v}=(\cos t;\sin t;-1)$ với $t\in \mathbb{R}$. Với giá trị nào của $t$ dưới đây thì $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;1;-2),B(1;2;1),C(4;3;m)$. Tìm $m$ để 4 điểm $O,A,B,C$ đồng phẳng.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;-1;1),C^{\prime }(4;5;-5)$. Tọa độ của đỉnh $A^{\prime }$ là

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|2z-\bar{z}|=\sqrt{13}$ và $(1+2i)z$ là số thuần ảo?

Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm $A(5;7;10)$ và $B(6;9;12)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm $C(15;17;5)$ và $D$ (điểm $D$ ở độ cao $26\text{ m}$ so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn chạm với nhau tại vị trí cách điểm $A$ một khoảng $150\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ)
[IMAGE:img_q18_bullets]

Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|=\sqrt{2}$ và $(z+2i)(\bar{z}-2)$ là số thuần ảo?

Trong một kho logistics tự động, hệ thống định vị UWB (Ultra-Wideband) được lắp để theo dõi xe tự hành. Với hệ trục $Oxyz$ được chọn sẵn (đơn vị trên trục bằng $10$ mét) có gốc tọa độ $O$ ở ngay trạm sạc trung tâm. Các bộ phát tín hiệu định vị được gắn ở các điểm $A(2;0;1),B(0;3;1),C(0;0;2)$ và $D(2;3;2)$. Một xe tự hành ở vị trí $M$ có các khoảng cách tới các bộ phát tín hiệu như sau: $MA=\sqrt{3},MB=\sqrt{6},MC=\sqrt{6},MD=3$. Khoảng cách từ xe đến trạm sạc là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $3$ điểm $A(2;4;-1)$, $B(1;4;-1)$, $C(2;4;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-4;7),B(5;1;6),C(5;5;5)$.

Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+3+6i|=|z-1-2i|$ và $(\bar{z}-2i)(z-4)$ là số thuần ảo?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên mỗi trục là $\text{km}$), một trạm kiểm soát hải quân phát hiện một chiếc tàu lạ ở vị trí $A(9;12;0)$ đang di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_1=(-3;4;0)$ với vận tốc $30\text{ km/h}$. Ngay lập tức, trạm kiểm soát điều khiển một máy bay không người lái đang ở vị trí $B(0;0;1)$ di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với vận tốc $130\text{ km/h}$ để tiếp cận chiếc tàu lạ đó. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa máy bay không người lái và chiếc tàu lạ đó ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(2;0;2),B(0;2;0),C(1;0;3)$. Gọi $M$ là điểm trong không gian thỏa mãn $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2$. Tính khoảng cách $MP$ với $P(3;-2;5)$ khi $M$ thay đổi để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt sân, trục $Ox$ trùng với vạch chia đôi sân, tia $Oz$ vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).
Một khán giả ngồi tại vị trí $M$ của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc $Ox$. Góc hợp bởi $OM$ và mặt sân là $\alpha$ với $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, nếu người này di chuyển $10\text{ (m)}$ trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí $N$ thì góc hợp bởi $ON$ và mặt sân là $\beta$ với $\sin \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}$. Gọi $h\text{ (m)}$ là độ cao tại $M$ so với mặt sân.

[IMAGE:img_q16_stadium]

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp đỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa).

[IMAGE:img_q19_crane]

Ta chọn hệ trục $Oxyz$ thỏa mãn $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Ox$ trùng với trục chân đế, trục $Oz$ trùng với trục cần cẩu và trục $Oy$ như hình vẽ. Gọi $M$ là vị trí tại đỉnh cần cẩu, $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$. Biết tay cần $KM$ của cần trục dài $50\text{ m}$, trục cần $OK$ dài $50\text{ m}$, $(\vec{k};\overrightarrow{KM})=60^{\circ },(\vec{i};\overrightarrow{OH})=45^{\circ }$. Biết điểm $M$ có tọa độ $M(a;b;c)$ trong hệ toạ độ $Oxyz$ trên, giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là