Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Chọn B.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_7^2=21$.
Số cách lấy 1 bóng đỏ và 1 bóng xanh: $n(A)=C_4^1\cdot C_3^1=4\cdot 3=12$.
Xác suất: $P(A)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$.

Tổng số bi trong hộp là $4+5+7=16$ viên.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{16}^6=8008$.
Gọi $A$ là biến cố: "6 viên bi lấy ra có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng".
Vì có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng nên ta có hai trường hợp:
- TH1: 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 4 bi trắng: số cách chọn là $C_4^1\cdot C_7^1\cdot C_5^4=4\cdot 7\cdot 5=140$.
- TH2: 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi trắng: số cách chọn là $C_4^2\cdot C_7^2\cdot C_5^2=6\cdot 21\cdot 10=1260$.
Do đó $n(A)=140+1260=1400$.
Xác suất cần tìm: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1400}{8008}=\frac{25}{143}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.
Gọi $A$ là biến cố "$3$ quả lấy được đều màu đỏ", ta có $n(A)=C_4^3=4$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$.

- a) Mỗi đỉnh trong 9 đỉnh của đa giác đều có thể làm đỉnh cân của 3 tam giác cân không đều, nên có $9\cdot 3=27$ tam giác cân nhưng không đều. Tổng số tam giác là $C_9^3=84$. Xác suất là $P=\frac{27}{84}=\frac{9}{28}\ne \frac{3}{7}$. Mệnh đề Sai.
- b) 9 đỉnh chia thành 3 bộ 3 đỉnh cách đều nhau bước 3, tạo ra đúng 3 tam giác đều. Mệnh đề Đúng.
- c) Tổng các số từ 1 đến 9 là 45 nên tổng mỗi tam giác đều là 15. Có đúng 2 cách phân hoạch thành 3 bộ có tổng 15: $\{(1,5,9),(3,4,8),(2,6,7)\}$ và $\{(3,5,7),(2,4,9),(1,6,8)\}$. Mỗi cách có $3!\cdot (3!{)}^3=1296$ cách xếp. Tổng số cách thuận lợi là $2592$. Xác suất $P(A)=\frac{2592}{9!}=\frac{1}{140}\ne \frac{1}{280}$. Mệnh đề Sai.
- d) Số tam giác có ba đỉnh thuộc 9 đỉnh của đa giác đều là $C_9^3=84$. Mệnh đề Đúng.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Xác suất lấy được hai chiếc bút cùng màu là $P=\frac{10}{30}\cdot \frac{9}{29}+\frac{20}{30}\cdot \frac{19}{29}=\frac{47}{87}\approx 0,54$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Không gian mẫu có $n(\Omega )=30$.
- a) Gọi $A$ là biến cố "lấy được thẻ chia hết cho 3". Ta có $A=\{3;6;9;12;\dots ;30\}$, suy ra $n(A)=10$. Xác suất $P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$. Mệnh đề Đúng.
- b) Gọi $B$ là biến cố "lấy được thẻ chia hết cho 5". Ta có $B=\{5;10;15;20;25;30\}$, suy ra $n(B)=6$. Xác suất $P(B)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$. Mệnh đề Đúng.
- c) Gọi $C$ là biến cố "lấy được thẻ chia hết cho cả 3 và 5" (tức chia hết cho 15). Ta có $C=A\cap B=\{15;30\}$, suy ra $n(C)=2$. Xác suất $P(C)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$. Do đó mệnh đề Sai.
- d) Gọi $D$ là biến cố "lấy được thẻ chia hết cho 3 hoặc 5". Khi đó $D=A\cup B$, suy ra $n(D)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=10+6-2=14$. Xác suất $P(D)=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$. Do đó mệnh đề Sai.

Đánh số 10 em bé từ 1 đến 10 theo thứ tự trên đường tròn. Có 5 cặp vị trí đối diện nhau qua tâm: $(1;6),(2;7),(3;8),(4;9),(5;10)$.
Bốn đỉnh tạo thành một hình chữ nhật khi và chỉ khi 4 đỉnh đó là hai cặp đỉnh đối diện nhau qua tâm.
Tổng số kết quả khi 10 bé giơ cờ là $2^{10}=1024$.
Để không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật, ta xét số cặp đối diện có cùng màu cờ (gọi là $k$):
- Nếu $k=0$: Cả 5 cặp đều có 2 cờ khác màu (mỗi cặp có 2 cách chọn cờ): có $2^5=32$ cách.
- Nếu $k=1$: Chọn 1 cặp cùng màu ($C_5^1\times 2$ cách vì có thể cùng xanh hoặc cùng đỏ), 4 cặp còn lại khác màu ($2^4$ cách): có $C_5^1\cdot 2\cdot 2^4=160$ cách.
- Nếu $k=2$: Cần hai cặp cùng màu này khác màu nhau (một cặp cùng đỏ, một cặp cùng xanh) để không tạo thành 4 cờ cùng màu: có $C_5^2\cdot 2\cdot 2^3=160$ cách.
- Nếu $k\ge 3$: Theo nguyên lý Dirichlet, trong ít nhất 3 cặp cùng màu chắc chắn có ít nhất 2 cặp cùng màu như nhau (đều cùng đỏ hoặc đều cùng xanh), tạo thành 4 cờ cùng màu tại 4 đỉnh hình chữ nhật.
Do đó số cách thuận lợi là: $32+160+160=352$.
Xác suất $a=\frac{352}{1024}=\frac{11}{32}$.
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{2200}{a}=\frac{2200}{\frac{11}{32}}=\frac{2200\cdot 32}{11}=200\cdot 32=6400$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{30}^4=27405$.

Tứ giác nội tiếp đường tròn có $2$ góc liền kề chung một cạnh là $2$ góc tù khi và chỉ khi tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp và cạnh đó nằm khác phía đối với đường chéo nối $2$ đỉnh có góc tù, tương đương $4$ đỉnh của tứ giác không tạo thành tứ giác có góc nhọn xen kẽ hoặc chứa tâm mà mọi cặp góc kề đều có ít nhất một góc không tù. Số tứ giác không thỏa mãn là $2775$, nên số tứ giác thỏa mãn là $27405-2775=24630$.

Xác suất cần tìm là $P=\frac{24630}{27405}\approx 0,8987\approx 0,9$. Đáp án: 0,9.

**Chọn D**

Gọi  là không gian mẫu  n     C402 .

Gọi A : “Duyên bốc 2 lá thăm để trúng thưởng”.

 
 A : “Duyên bốc 2 lá thăm nhưng không trúng thưởng”  n A  C302 .

   1  C  23 .
n A 2

 
 P  A  1  P A  1 
n  C
30
2
52
40

Chọn A
Có tất cả 10 số tự nhiên bé hơn 10 .
Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên từ 10 số, số phần tử của không gian mẫu là n ( $\Omega$ ) = C102 = 45 .
Để hai số được chọn có tổng không chia hết cho 2 thì hai số đó phải gồm một số lẻ và một số
chẵn.
Số cách chọn là 5.5 = 25 .
25 5
Vậy xác suất cần tìm là P = = .
45 9

**Chọn A**

Không gian mẫu: n     C163 .

Biến cố A:” lấy được 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số”.

+) Chọn quả cầu màu vàng: C51 .

+) Chọn quả cầu màu đỏ (khác số màu vàng đã chọn): C41 .

+) Chọn quả cầu màu xanh (khác số màu vàng và màu đỏ): C41 .

n  A 1
Suy ra n  A   C51.C41 .C41  P  A    .
n  7

 

Không gian mẫu là số cách chọn 9 trong 12 ghế và xếp thứ tự 9 bạn vào: $n(\Omega )=A_{12}^9=79833600$.

- a) Số cách sắp xếp 9 bạn là $A_{12}^9=79833600$. Mệnh đề Đúng.

- b) Coi 9 bạn như một khối liên tiếp, số vị trí đặt khối 9 ghế liên tiếp trong 12 ghế là $12-9+1=4$ vị trí. Với mỗi vị trí có $9!$ cách xếp 9 bạn. Do đó số cách là $4\cdot 9!$. Xác suất là:
$P=\frac{4\cdot 9!}{A_{12}^9}=\frac{4\cdot 9!}{\frac{12!}{3!}}=\frac{4\cdot 6}{12\cdot 11\cdot 10}=\frac{24}{1320}=\frac{1}{55}\ne \frac{1}{220}$. Mệnh đề Sai.

- c) Xếp 9 bạn vào hàng tạo thành 10 khoảng trống (gồm 8 khoảng giữa 2 bạn và 2 khoảng ở hai đầu hàng). Để không có 2 ghế trống nào cạnh nhau, ta chọn 3 trong 10 khoảng trống này để đặt 3 ghế trống, có $C_{10}^3=120$ cách chọn vị trí ghế trống. Số cách chọn 3 ghế trống bất kỳ trong 12 ghế là $C_{12}^3=220$. Xác suất là:
$P=\frac{C_{10}^3}{C_{12}^3}=\frac{120}{220}=\frac{6}{11}$. Mệnh đề Đúng.

- d) Xếp 5 bạn nữ và 3 ghế trống có $\frac{8!}{3!}$ cách hoán vị. 8 vị trí này tạo ra 9 vách ngăn/khoảng trống. Xếp 4 bạn nam vào 4 trong 9 khoảng trống này có $A_9^4$ cách. Xác suất là:
$P=\frac{\frac{8!}{3!}\cdot A_9^4}{A_{12}^9}=\frac{6720\cdot 3024}{79833600}=\frac{14}{55}$. Mệnh đề Đúng.

Không gian mẫu của biến cố là $n(\Omega )=C_{12}^4\cdot C_4^1=1980$.

Gọi $M$ là số ở vòng tròn lớn chính giữa và $a,b,c$ ($1\le a<b<c\le 12$) là $3$ số ở ba vòng tròn nhỏ xung quanh. Theo yêu cầu bài toán ta có $b+c<M<a+b+c$.

- Với $M\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$: không tồn tại bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn.
- Với $M=8$: có $1$ bộ $(2;3;4)$.
- Với $M=9$: có $1$ bộ $(2;3;5)$.
- Với $M=10$: có $3$ bộ $(2;3;6),(3;4;5),(2;4;5)$.
- Với $M=11$: có $4$ bộ $(2;3;7),(2;4;6),(3;4;5),(3;4;6)$.
- Với $M=12$: có $7$ bộ $(2;3;8),(2;4;7),(3;4;7),(3;4;6),(3;5;6),(4;5;6),(2;5;6)$.

Vậy có $1+1+3+4+7=16$ cách chọn thỏa mãn, xác suất $P=\frac{16}{1980}\Rightarrow 1980P=16$.

Không gian mẫu $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}\Rightarrow n(\Omega )=6$.
Gọi biến cố $A$: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3".
Các kết quả thuận lợi cho $A$ là: $A=\{3;6\}\Rightarrow n(A)=2$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

a) Đúng. Hộp có 12 viên bi trong đó có 1 bi vàng, xác suất trọng tài bốc được bi vàng lần đầu là $\frac{1}{12}$.

b) Sai. Nếu lần đầu trọng tài bốc được bi xanh, trong hộp còn lại 11 viên bi (gồm 4 xanh, 6 đỏ, 1 vàng). Lúc này trọng tài dừng, bạn Xanh được bốc 1 viên bi. Bạn Xanh thắng khi bốc được bi xanh, xác suất là $\frac{4}{11}\ne \frac{5}{11}$.

c) Đúng. Trọng tài bốc được bi vàng, bốc tiếp được bi đỏ rồi dừng bốc. Khi đó viên bi cuối cùng trọng tài bốc là màu đỏ nên quyền bốc thuộc về bạn Đỏ, trò chơi kết thúc ngay sau đó. Do bạn Xanh không được bốc viên bi nào nên xác suất bạn Xanh thắng cuộc trong trường hợp này bằng 0.

d) Sai. Tính tổng xác suất bạn Đỏ thắng cuộc:
- TH1: Trọng tài bốc bi đỏ ngay lần đầu (xác suất $\frac{6}{12}$). Sau đó bạn Đỏ bốc bi đỏ từ hộp còn 11 viên (xác suất $\frac{5}{11}$). Xác suất là $\frac{6}{12}\cdot \frac{5}{11}=\frac{5}{22}$.
- TH2: Trọng tài bốc bi vàng lần đầu (xác suất $\frac{1}{12}$), sau đó bốc bi đỏ (xác suất $\frac{6}{11}$). Tiếp theo bạn Đỏ bốc bi đỏ từ hộp còn 10 viên (xác suất $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$). Xác suất là $\frac{1}{12}\cdot \frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{44}$.
Tổng xác suất bạn Đỏ thắng là: $\frac{5}{22}+\frac{1}{44}=\frac{11}{44}=\frac{1}{4}\ne \frac{6}{11}$.

Ta có $I={\int }_0^a{x}^{b}dx={\frac{x^{b+1}}{b+1}|}_0^a=\frac{a^{b+1}}{b+1}$.
Tổng số kết quả có thể xảy ra khi An chọn $a\in \{1;2;3;4;5;6\}$ và Bình chọn $b\in \{1;2;3;4\}$ là $n(\Omega )=6\cdot 4=24$.
Để An thắng, $I=\frac{a^{b+1}}{b+1}$ phải là số nguyên dương:
- Với $b=1\Rightarrow b+1=2$: $a^2$ chia hết cho 2 khi $a$ chẵn $\Rightarrow a\in \{2;4;6\}$ (3 cặp).
- Với $b=2\Rightarrow b+1=3$: $a^3$ chia hết cho 3 khi $a$ chia hết cho 3 $\Rightarrow a\in \{3;6\}$ (2 cặp).
- Với $b=3\Rightarrow b+1=4$: $a^4$ chia hết cho 4 khi $a$ chẵn $\Rightarrow a\in \{2;4;6\}$ (3 cặp).
- Với $b=4\Rightarrow b+1=5$: $a^5$ chia hết cho 5 khi $a$ chia hết cho 5 $\Rightarrow a=5$ (1 cặp).
Số trường hợp An thắng là: $3+2+3+1=9$.
Xác suất An thắng cuộc là: $P=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=0,375\approx 0,38$.

a) Đúng: Tổng số viên bi trong hộp là $5+6+8=19$. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $5$ viên bi nên $n(\Omega )=C_{19}^5=11628$.
b) Sai: Xác suất lấy được $5$ viên bi đều màu xanh là $\frac{C_8^5}{C_{19}^5}=\frac{56}{11628}=\frac{14}{2907}\ne \frac{1}{2907}$.
c) Sai: Xác suất lấy được $5$ viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh là $1-\frac{C_{11}^5}{C_{19}^5}=\frac{1861}{1938}\approx 0,96>0,94$.
d) Đúng: Ba số $x-y,y-z,z-x$ lập thành cấp số cộng khi $(x-y)+(z-x)=2(y-z)\iff y=z$. Vì $x+y+z=5$ và $x,y,z\ge 1$ nên $(x;y;z)\in \{(3;1;1),(1;2;2)\}$. Số kết quả thuận lợi là $C_5^3\cdot C_6^1\cdot C_8^1+C_5^1\cdot C_6^2\cdot C_8^2=480+2100=2580$. Xác suất cần tìm là $\frac{2580}{11628}=\frac{215}{969}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=6!=720$.
Gọi số lấy được là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$. Vì tổng $6$ chữ số bằng $21$ và $(a_1+a_2+a_3)-(a_4+a_5+a_6)=1$ nên $a_1+a_2+a_3=11$ và $a_4+a_5+a_6=10$.
Các bộ ba chữ số thuộc $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng $10$ là $\{1,3,6\}$, $\{1,4,5\}$ và $\{2,3,5\}$. Mỗi bộ đều có đúng $2$ chữ số lẻ.
Với mỗi bộ: có $2$ cách chọn chữ số lẻ cho $a_6$, $2!$ cách xếp $a_4,a_5$ và $3!$ cách xếp $a_1,a_2,a_3$. Do đó số các số thỏa mãn là $3\cdot 2\cdot 2!\cdot 3!=72$.
Xác suất $T=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}\Rightarrow 230T=23$.