Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'người đó mắc bệnh', A là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(B)=0,01$, $P(A|B)=0,98$, $P(A|\overline{B})=0,02$.

Công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,01\cdot 0,98+0,99\cdot 0,02=0,0098+0,0198=0,0296.$$

Công thức Bayes:
$$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}=\frac{0,0098}{0,0296}=\frac{98}{296}=\frac{49}{148}\approx 0,3311.$$

Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính là $\frac{49}{148}\approx 33,11\%$. Kết quả này cho thấy dù xét nghiệm khá chính xác, do tỷ lệ mắc bệnh thấp nên xác suất mắc bệnh thật khi dương tính chỉ khoảng một phần ba (do nhiều trường hợp dương tính giả).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố '2 thẻ lấy lần một cùng màu', B là biến cố '2 thẻ lấy lần hai đều đỏ'. Lần một chỉ có thể: XD với xác suất $\frac{C_5^1}{C_6^2}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, khi đó hộp hai có 3 xanh, 6 đỏ, $P(B|XD)=\frac{C_6^2}{C_{11}^2}=\frac{15}{55}=\frac{3}{11}$; hoặc DD với xác suất $\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, khi đó hộp hai có 4 xanh, 7 đỏ, $P(B|DD)=\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{21}{55}$. Suy ra $P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}+\frac{2}{3}\cdot \frac{21}{55}=\frac{5}{55}+\frac{14}{55}=\frac{19}{55}$ và $P(A\cap B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{21}{55}=\frac{14}{55}$. Xác suất cần tìm $P(A|B)=\frac{14/55}{19/55}=\frac{14}{19}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T: trẻ em (0,7), A: người lớn (0,3). Với trẻ em: xem tiếp phần 2 = 0,5; yêu thích không xem tiếp = 0,3; không thích = 0,2. Với người lớn: 0,2; 0,1; 0,7.
a) P(yêu thích | trẻ em) = 0,5 + 0,3 = 0,8 ≠ 0,56 → sai.
b) P(không xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,8 = 0,35 + 0,24 = 0,59 → đúng.
c) P(xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,2 = 0,41; P(trẻ em và xem tiếp) = 0,35. Vậy P(trẻ em | xem tiếp) = 0,35/0,41 ≈ 0,8537 > 0,85 → đúng.
d) P(yêu thích) = 0,7·0,8 + 0,3·0,3 = 0,65; P(yêu thích và không xem tiếp) = 0,7·0,3 + 0,3·0,1 = 0,24. Vậy P(không xem tiếp | yêu thích) = 0,24/0,65 ≈ 0,3692 ≈ 0,37 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(yêu thích | trẻ em) = 0,5 + 0,3 = 0,8 ≠ 0,56.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(không xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,8 = 0,59.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(trẻ em | xem tiếp) = 0,35/0,41 ≈ 0,8537 > 0,85.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(không xem tiếp | yêu thích) = 0,24/0,65 ≈ 0,37.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\bar{H}$ là biến cố 'phòng điều hòa không bị hỏng'. Theo công thức Bayes:
$$P(\bar{H})=0,2\cdot 0,95+0,5\cdot 0,96+0,3\cdot 0,92=0,19+0,48+0,276=0,946.$$
Xác suất cần tính:
$$P(C|\bar{H})=\frac{P(C\cap \bar{H})}{P(\bar{H})}=\frac{0,3\cdot 0,92}{0,946}=\frac{0,276}{0,946}\approx 0,2918\approx 0,29.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D+ là kết quả Dương tính, D− là kết quả Âm tính, K là sự kiện thực sự không nhiễm bệnh. Ta có $P(D^{+})=0,12$, $P(D^{-})=0,88$. Trong số người Dương tính có $5\%$ không nhiễm: $P(K\cap D^{+})=0,12\times 0,05=0,006$. Trong số người Âm tính có $2\%$ nhiễm bệnh: $P(\overline{K}\cap D^{-})=0,88\times 0,02=0,0176$, suy ra $P(K\cap D^{-})=0,88-0,0176=0,8624$.
a) $P(D^{-})=0,88\ne 0,98$ → Sai.
b) $P(K|D^{-})=\frac{0,8624}{0,88}=0,98$ → Đúng.
c) $P(K)=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.
d) $P(D^{-}|K)=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S - b)D - c)D - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-})=1-0,12=0,88\ne 0,98$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(K\cap D^{-})=0,88-0,88\times 0,02=0,8624$, nên $P(K|D^{-})=0,8624/0,88=0,98$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(K)=P(K\cap D^{+})+P(K\cap D^{-})=0,12\times 0,05+0,8624=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-}|K)=0,8624/0,8684\approx 0,9931>0,99$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D+ là kết quả Dương tính, D− là Âm tính, B là nhiễm bệnh, N là không nhiễm. Ta có $P(D^{+})=0,12\Rightarrow P(D^{-})=0,88$; $P(N|D^{+})=0,05$; $P(B|D^{-})=0,02\Rightarrow P(N|D^{-})=0,98$.

a) $P(D^{-})=1-0,12=0,88\ne 0,98$ → Sai.

b) $P(N|D^{-})=1-0,02=0,98$ → Đúng.

c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(N)=P(D^{+})P(N|D^{+})+P(D^{-})P(N|D^{-})=0,12\cdot 0,05+0,88\cdot 0,98=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.

d) $P(D^{-}|N)=\frac{P(D^{-})P(N|D^{-})}{P(N)}=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$ → Sai.

Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)D - c)D - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-})=1-P(D^{+})=1-0,12=0,88\ne 0,98$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong số người Âm tính có 2% nhiễm bệnh nên $P(N|D^{-})=1-0,02=0,98$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(N)=0,12\cdot 0,05+0,88\cdot 0,98=0,8684$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-}|N)=\frac{0,88\cdot 0,98}{0,8684}=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi sự kiện: nam quốc tế có xác suất $0,2\cdot 0,15=0,03$... Thực ra chọn 1 nam và 1 nữ độc lập: nam bản địa $0,85$, nam quốc tế $0,15$; nữ bản địa $0,9$, nữ quốc tế $0,1$. Xác suất có đúng một người quốc tế: $P=0,15\cdot 0,9+0,85\cdot 0,1=0,135+0,085=0,22$. Trường hợp sinh viên quốc tế là nữ (nữ quốc tế, nam bản địa): $0,85\cdot 0,1=0,085$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{0,085}{0,22}=\frac{17}{44}\approx 0,3864\approx 0,39$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 có 7 viên bi (6 xanh, 1 đỏ), chọn 3 viên: a) Số cách là $C_7^3=35$, không phải $C_{11}^3$ → Sai. b) 3 viên cùng màu chỉ có thể là 3 xanh: $P=\frac{C_6^3}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}\ne \frac{3}{7}$ → Sai. c) Gọi $k$ là số bi đỏ chuyển sang. $P(k=1)=\frac{C_6^2{C}_1^1}{C_7^3}=\frac{3}{7}$, $P(k=0)=\frac{4}{7}$. Hộp 2 có $4+k$ đỏ và $3-k$ xanh (tổng 7). Xác suất 2 viên cùng màu: nếu $k=1$: $\frac{C_5^2+C_2^2}{C_7^2}=\frac{11}{21}$; nếu $k=0$: $\frac{C_4^2+C_3^2}{C_7^2}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$. Vậy $P=\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{33+36}{147}=\frac{69}{147}=\frac{23}{49}$ → Đúng. d) Xác suất có điều kiện: $P=\frac{\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}}{\frac{23}{49}}=\frac{33}{147}\cdot \frac{49}{23}=\frac{11}{23}\ne \frac{12}{23}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hộp thứ nhất có 7 viên bi nên số cách chọn 3 viên là $C_7^3=35$, không phải $C_{11}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 chỉ có 1 viên đỏ nên 3 viên cùng màu chỉ có thể là 3 xanh: $P=\frac{C_6^3}{C_7^3}=\frac{4}{7}\ne \frac{3}{7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $P(k=1)=\frac{3}{7}$, $P(k=0)=\frac{4}{7}$; xác suất 2 viên từ hộp 2 cùng màu lần lượt $\frac{11}{21}$ và $\frac{3}{7}$. Tổng: $\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{23}{49}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}}{\frac{23}{49}}=\frac{11}{23}\ne \frac{12}{23}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D là biến cố học sinh chọn khối D, Đ là biến cố học sinh đỗ đại học. Ta có $P(D)=0,6$, $P(\bar{D})=0,4$, $P(\bar{D}|\stackrel{ˉ}{})$... Cụ thể: $P(Đ|D)=0,7$, $P(Đ|\bar{D})=0,8$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=0,6\cdot 0,7+0,4\cdot 0,8=0,42+0,32=0,74$. Theo công thức Bayes: $P(D|Đ)=\frac{P(D)P(Đ|D)}{P(Đ)}=\frac{0,42}{0,74}=\frac{42}{74}=\frac{21}{37}$. Vậy $m=21$, $n=37$, $m+n=58$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'bệnh nhân uống thuốc M', B là biến cố 'bệnh nhân khỏi bệnh'. Cần tính P(A|B). Số bệnh nhân khỏi bệnh: 1600 + 1200 = 2800. Số bệnh nhân vừa uống thuốc M vừa khỏi bệnh: 1600. Vậy $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{1600}{2800}=\frac{4}{7}\approx 0,5714$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A)=0,4$, $P(\overline{A})=0,6$; tỉ lệ lỗi: $P(B|A)=0,03$, $P(B|\overline{A})=0,04$.
a) Biến cố 'bị lỗi biết do phân xưởng I sản xuất' là $P(B|A)=3\%$, không phải $P(A|B)$ → sai.
b) $P(\overline{A}\cap B)=0,6\cdot 0,04=0,024=2,4\%$, không phải $57,6\%$ → sai.
c) $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,4\cdot 0,03+0,6\cdot 0,04=0,012+0,024=0,036=3,6\%$, không phải $36\%$ → sai.
d) $P(\overline{A}|B)=\frac{0,024}{0,036}=\frac{2}{3}$, $P(A|B)=\frac{0,012}{0,036}=\frac{1}{3}$. Vậy $P(\overline{A}|B)=2P(A|B)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất 'bóng đèn bị lỗi biết do phân xưởng I sản xuất' là $P(B|A)=3\%$, không phải $P(A|B)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}\cap B)=0,6\times 0,04=0,024=2,4\%\ne 57,6\%$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=0,4\times 0,03+0,6\times 0,04=0,036=3,6\%\ne 36\%$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}|B)=\frac{0,024}{0,036}=\frac{2}{3}$ và $P(A|B)=\frac{0,012}{0,036}=\frac{1}{3}$, nên xác suất do phân xưởng II sản xuất gấp 2 lần do phân xưởng I sản xuất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p$ là xác suất nảy mầm của hạt loại $B$, khi đó hạt loại $A$ có xác suất nảy mầm $1,25p$. Vì số hạt trong 1 kg mỗi loại bằng nhau nên $P(A)=\frac{1}{2,5}=0,4$, $P(B)=\frac{1,5}{2,5}=0,6$. Xác suất một hạt nảy mầm: $0,4\cdot 1,25p+0,6p=0,875p=0,875$, suy ra $p=1$ (hạt B nảy mầm chắc chắn). Xác suất cần tính: $P(A\mid \text{nảy maˆˋm})=\frac{0,4\cdot 1,25}{0,875}=\frac{0,5}{0,875}=\frac{4}{7}\approx 0,57$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B_i$ là biến cố ca được xử lý tại trung tâm thứ $i$ với $P(B_1)=0,5$, $P(B_2)=0,3$, $P(B_3)=0,2$. Gọi $A$ là biến cố ca dẫn đến vụ kiện. Theo đề: $P(A|B_1)=0,001$, $P(A|B_2)=0,005$, $P(A|B_3)=0,008$.

Công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=0,5\cdot 0,001+0,3\cdot 0,005+0,2\cdot 0,008=0,0005+0,0015+0,0016=0,0036.$$

Theo công thức Bayes:
$$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0,0005}{0,0036}=\frac{5}{36}\approx 0,1389\approx 0,14.$$

Vậy xác suất vụ kiện bắt nguồn từ trung tâm chấn thương của bệnh viện thứ nhất là $0,14$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố người bị bệnh, $D$ là biến cố test cho kết quả dương tính. Ta có $P(B)=0,22$, $P(D|\overline{B})=0,1$, $P(B|D)=0,7$. Cần tìm $P(D|B)=x$. Theo công thức Bayes: $P(B|D)=\frac{P(B)\cdot P(D|B)}{P(B)P(D|B)+P(\overline{B})P(D|\overline{B})}$. Thay số: $0,7=\frac{0,22x}{0,22x+0,78\cdot 0,1}=\frac{0,22x}{0,22x+0,078}$. Suy ra $0,22x=0,154x+0,0546$, tức $0,066x=0,0546$, nên $x=\frac{0,0546}{0,066}=\frac{5}{6}\approx 0,82727$. Vậy $k\approx 82,7$.

a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Đáp án mã đề 1204: SDDD)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi L là biến cố 'linh kiện bị lỗi'. Ta có $P(A)=0,6$, $P(B)=0,4$, $P(L|A)=0,02$, $P(L|B)=0,04$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(L)=0,6\cdot 0,02+0,4\cdot 0,04=0,012+0,016=0,028$. Xác suất cần tìm theo công thức Bayes: $P(B|L)=\frac{P(B)\cdot P(L|B)}{P(L)}=\frac{0,016}{0,028}=\frac{4}{7}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức Bayes. Gọi $B$ là biến cố 'người đó mắc bệnh X', $D$ là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Ta có $P(B)=0,01$, $P(\bar{B})=0,99$, $P(D|B)=0,95$ (độ nhạy), $P(D|\bar{B})=1-0,85=0,15$ (xác suất dương tính giả). Theo công thức Bayes:
$$P(B|D)=\frac{P(D|B)P(B)}{P(D|B)P(B)+P(D|\bar{B})P(\bar{B})}=\frac{0,95\cdot 0,01}{0,95\cdot 0,01+0,15\cdot 0,99}=\frac{0,0095}{0,0095+0,1485}=\frac{0,0095}{0,158}\approx 0,0601.$$
Vậy xác suất thực sự người này mắc bệnh X khoảng $6,01\%$, làm tròn đến hàng đơn vị là $6\%$.

(AI giải đề cho tôi)
$A_1$, $A_2$ đối nhau nên $P(A_2)=1-p$ (a đúng). Sinh đôi thật luôn cùng giới tính nên $P(H|A_1)=1$, không phải $\frac{p}{2}$ (b sai). Theo công thức xác suất toàn phần: $P(H)=P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)=p\cdot 1+(1-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{p+1}{2}$ (c đúng). Theo Bayes: $P(A_1|H)=\frac{p}{(p+1)/2}=\frac{2p}{p+1}$, không phải $\frac{p}{2(p+1)}$ (d sai).

a) (AI giải đề cho tôi)
$A_1$ và $A_2$ là hai biến cố đối nhau nên $P(A_2)=1-P(A_1)=1-p$.

b) (AI giải đề cho tôi)
Cặp sinh đôi thật luôn cùng giới tính nên $P(H|A_1)=1$, không phải $\frac{p}{2}$.

c) (AI giải đề cho tôi)
$P(H)=p\cdot 1+(1-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{p+1}{2}$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A_1|H)=\frac{P(A_1)P(H|A_1)}{P(H)}=\frac{p}{(p+1)/2}=\frac{2p}{p+1}$, khác $\frac{p}{2(p+1)}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy có hoàn lại không (bỏ thẻ ra ngoài), có thứ tự: $4\times 3=12$ phần tử → a đúng. b) $P$(hai thẻ đều lẻ) $=\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ → đúng. c) Biết thẻ lần 1 ghi số chẵn (còn 1 chẵn, 2 lẻ), $P$(lần 2 lẻ) $=\frac{2}{3}$ → đúng. d) Tổng chẵn khi hai thẻ cùng chẵn hoặc cùng lẻ: $\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lấy 2 thẻ có thứ tự không hoàn lại: $4\times 3=12$ phần tử.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi thẻ lần 1 chẵn, còn 3 thẻ trong đó 2 thẻ lẻ nên $P=\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chẵn khi hai thẻ cùng tính chẵn lẻ: $\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh giỏi cả hai môn: 23 + 20 - 35 = 8. Gọi T = 'giỏi Toán', V = 'giỏi Văn': P(T) = 23/35, P(V) = 20/35, P(T∩V) = 8/35.
a) P(T|V) = 8/20 = 2/5 → đúng.
b) P(V|T) = 8/23 → đúng.
c) P(không T | V) = (20-8)/20 = 12/20 = 3/5 ≠ 15/23 → sai.
d) P(không V | T) = (23-8)/23 = 15/23 ≠ 3/5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(T|V) = P(T∩V)/P(V) = 8/20 = 2/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(V|T) = 8/23.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(không T | V) = 12/20 = 3/5, không phải 15/23.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(không V | T) = 15/23, không phải 3/5.