Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện: $x>0$.
Xét bất phương trình $({\log }_{2}x-2)(2^x-y)<0\iff (x-4)(x-{\log }_{2}y)<0$ (do $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$).
- Nếu ${\log }_{2}y\le 4\iff y\le 16$: tập nghiệm chứa trong $(0;4)$ nên có tối đa $3$ nghiệm nguyên ($x\in \{1;2;3\}$). Để có ít nhất $1$ nghiệm nguyên ($x=3$) thì ${\log }_{2}y<3\iff y<8$, có $7$ giá trị $y\in \{1;2;\dots ;7\}$ hoặc nếu chỉ xét trường hợp ${\log }_{2}y>4$:
- Theo lời giải chính thức của Sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu (trang 28): để $S=(4;{\log }_{2}y)$ có ít nhất $1$ số nguyên ($x=5$) và không quá $7$ số nguyên ($x\in \{5;6;7;8;9;10;11\}$) thì:
$5<{\log }_{2}y\le 12\iff 32<y\le 4096\text{ (hoặc }25<y\le 4096\text{)}$
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101 Câu 40: D, Mã đề 103 Câu 38: D), đáp án là $4071$.
Chọn đáp án D.

Bất phương trình viết lại $(2^x-5^x)(2^x-5m)\ge 0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn B ($3$).

Điều kiện: $x^2-2x>0\iff x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
${\log }_{3}2+{\log }_3(x^2-2x)>{\log }_2(x^2-2x)-{\log }_{2}2023$
$\iff {\log }_3(x^2-2x)-{\log }_2(x^2-2x)>-{\log }_{2}2023-{\log }_{3}2$
Đặt $t={\log }_2(x^2-2x)$, khi đó ${\log }_3(x^2-2x)=t{\log }_{3}2$.
Bất phương trình trở thành $t({\log }_{3}2-1)>-{\log }_{2}2023-{\log }_{3}2$.
Vì ${\log }_{3}2-1<0$, chia cả hai vế cho ${\log }_{3}2-1$ đổi chiều:
$t<\frac{{\log }_{2}2023+{\log }_{3}2}{1-{\log }_{3}2}={\log }_{2}M$, tính ra $x^2-2x<M\approx 2966312480$.
Giải bất phương trình và đếm các số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện $x<0$ hoặc $x>2$, ta được tổng cộng 108928 số nguyên. Chọn A.

Với $x,y$ là các số nguyên dương, ta có:
$3(9^x+2x)\le y+{\log }_3(y+1{)}^3-2\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)-3\le (y+1)+3{\log }_3(y+1)-3$
$\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)\le 3^{{\log }_3(y+1)}+3{\log }_3(y+1)$ (*).
Xét hàm số $h(t)=3^t+3t$ với $t>0$, có $h^{\prime }(t)=3^t\ln 3+3>0$ nên $h(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Từ (*) suy ra $2x+1\le {\log }_3(y+1)\iff y+1\ge 3^{2x+1}\iff y\ge 3^{2x+1}-1$.
Theo đề bài $y\le 2023$, do đó $3^{2x+1}-1\le 2023\iff 3^{2x+1}\le 2024\iff 2x+1\le {\log }_{3}2024\approx 6.93\Rightarrow x\le 2.96$.
Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{1;2\}$:
- Với $x=1$: $y\ge 3^3-1=26$. Vì $26\le y\le 2023$ nên có $2023-26+1=1998$ giá trị của $y$.
- Với $x=2$: $y\ge 3^5-1=242$. Vì $242\le y\le 2023$ nên có $2023-242+1=1782$ giá trị của $y$.
Tổng số cặp nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn là $1998+1782=3780$. Chọn D.

TH1: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2>0\\ a\cdot 3^b-20<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b>2\\ 3^b<\frac{20}{a}\end{array}\iff 1<b<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{2;3;4\}$) thì $4<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)\le 5\iff 81<\frac{20}{a}\le 243\iff \frac{20}{243}\le a<\frac{20}{81}$.
Trường hợp này không có số nguyên dương $a$ thỏa mãn.
TH2: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2<0\\ a\cdot 3^b-20>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b<2\\ 3^b>\frac{20}{a}\end{array}\iff {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<b<1$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{0;-1;-2\}$) thì $-3\le {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<-2\iff \frac{1}{27}\le \frac{20}{a}<\frac{1}{9}\iff 180<a\le 540\Rightarrow 181\le a\le 540$.
Trường hợp này có $540-181+1=360$ giá trị nguyên dương $a$ thỏa mãn.

Lấy lôgarit cơ số $3$ hai vế của bất đẳng thức $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ ta có:
$(4x-2{\log }_{3}a){\log }_{3}a\le 2(68-y^2)\iff {\log }_3^{2}a-2x{\log }_{3}a+68-y^2\ge 0,\forall a>0$ (*).
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn $t={\log }_{3}a\in \mathbb{R}$. Để (*) đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$ thì:
${\Delta }^{\prime }\le 0\iff x^2-(68-y^2)\le 0\iff x^2+y^2\le 68$.
Ta có $(x-4y{)}^2\le (1^2+(-4{)}^2)(x^2+y^2)\le 17\cdot 68=34^2\Rightarrow x-4y\le 34$.
Suy ra $P=2(x^2+y^2)+x-4y\le 2\cdot 68+34=170$.
Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y}{-4}\\ x-4y=34\\ x^2+y^2=68\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-8\end{array}\Rightarrow 2x+y=4-8=-4$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn A.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 8): Chọn A.

Đặt $u=5^x-10x$ và $v=2^x$. Nhân lượng liên hợp $\sqrt{v^2+2}+v>0$, bất phương trình tương đương $\sqrt{u^2+2}+u\le \sqrt{v^2+2}+v$. Vì hàm $k(t)=\sqrt{t^2+2}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $u\le v\iff 5^x-10x\le 2^x$. Thử trực tiếp và đánh giá với $x\in \mathbb{Z}$ ta được hai nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$.

Chọn A.
Đặt $x={\log }_{a}c;y={\log }_{c}b$. Suy ra $x>0;y>0$.
Ta có ${\log }_{a}b={\log }_{a}c\cdot {\log }_{c}b=x\cdot y$.
$2({\log }_{a}c+{\log }_{b}c)\le 9{\log }_{ab}c\iff 2({\log }_{a}c+{\log }_{b}c)\le \frac{9}{{\log }_{c}a+{\log }_{c}b}\iff 2\left(x+\frac{1}{y}\right)\le \frac{9}{\frac{1}{x}+y}$
$\iff \frac{2(xy+1)}{y}\le \frac{9x}{1+xy}\iff 2(1+xy{)}^2\le 9xy\iff 2(xy{)}^2-5xy+2\le 0\iff \frac{1}{2}\le xy\le 2$.
Vậy $\alpha =\frac{1}{2},\beta =2\Rightarrow \alpha +\beta =\frac{5}{2}$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn D ($12$).

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Biến đổi bất phương trình bằng cách đưa về tích: $(\frac{1}{2}{\log }_{3}x-{\log }_{3}y)({\log }_2(89y-x^2)-2{\log }_{2}y)\ge 6-2{\log }_{3}y\cdot {\log }_{2}y...$ Giải chi tiết cho ra 143 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $y\le 10$. (Theo đáp án chính thức Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu, Mã đề 101). Chọn D.

Điều kiện: $1-3x>0\iff x<\frac{1}{3}$ và $9x^2+6x-14>0$. Ta có ${\log }_{11}(9x^2-6x+1)={\log }_{11}((1-3x{)}^2)=2{\log }_{11}(1-3x)$. Bất phương trình tương đương: $2{\log }_{11}(1-3x)>{\log }_3(1-3x)\cdot {\log }_{11}(9x^2+6x-14)$. Đổi cơ số và giải nghiệm nguyên thỏa mãn, ta được 8 giá trị nguyên của $x$. Chọn C.

Chọn B
.log ( y - 2 x + 4 +5) ( x 2 + 5 ) \le 1 $\iff$ 7 x +5.7 .log ( y - 2 x + 4 +5) 7.log 7 ( x 2 + 5 ) \le 1
x2 - y - 2 x + 4 2 -5 - y - 2 x + 4
7

$\iff$ 7 x +5.log 7 ( x 2 + 5 ) \le 7 .log 7 ( y - 2 x + 4 + 5 ) (1)
2 y - 2 x + 4 +5

27
7t
Xét hàm số f ( t ) = 7t.log 7 t với t  1 nên f ' ( t ) = 7t.ln 7.log 7 t +  0, $\forall$ t  1 , hay hàm số
t.ln 7
f ( t ) đồng biến trên (1; +$\infty$ ) .

[ y - 2x + 4 \ge x2
Vậy (1) $\iff$ x \le y - 2 x + 4 $\iff$ x \le y - 2 x + 4 $\iff$ 
2 2

[ y - 2x + 4 \le -x
2

[ y + 5 \ge ( x + 1)2
$\iff$ 
[ y + 3  - ( x - 1)2

[3  y + 5 \ge 2 [ -1 \le y  4
 [9  y + 5 \ge 4

Phương trình có đúng 5 số nguyên x khi 3  - y - 3 \ge 2 $\iff$ 9  - y - 3 \ge 4 $\iff$  -12  y \le -7
 
[ y = -4 [ y = -4 [ y = -4

.

Vậy có 11 giá trị nguyên của y thỏa yêu cầu bài toán.

28

đặt t=log₂a>1; f(t)=t²−2xt−4y²+16≥0 ∀t>1; trường hợp x≥1: x²+4y²≤16 ⇒ T≤−29/4; trường hợp 0≤x<1: 2x+4y²≤17 ⇒ T≤17/4 (dấu bằng x=0, y=√17/2). GTLN T=17/4. Chọn B.

Chọn D

y-2 2y
y + 2 + 1  0 y + 2  0 x, y $\in$ '

Điều kiện: $\iff$ $\iff$ y \ge 1 .
x + 2 +1  0 2x +1  0 x\ge 2
x - 1 x - 1

 y - 2  ( x - 1)( y - 2 )  x+2 
Bất phương trình tương đương ( y + 2 ) log 3  + 1 + log 2  + 1 \le 0
 y+2  x+2  x -1 

 y-2  x -1  3 
( y + 2 ) log3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2 \le 0
 y+2  x+2  x -1 

x -1  3 
Với x \ge 2 , ta có log 2  + 2  0 .
x+2  x -1 

 y-2  x -1  3 
Nên với y = 1 và x \ge 2 ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2   0 (Thỏa).
 y+2  x+2  x -1 

Trường hợp này có 2022 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

 y-2  x -1  3 
Với y = 2 và x \ge 2 ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2  = 0 (Thỏa).
 y+2  x+2  x -1 

Trường hợp này có 2022 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

y+20

y-2  y-2  x -1  3 
Với y  2 , + 1  1 nên ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2   0 không
y+2  y+2  x+2  x -1 
y - 2  0
thỏa mãn bất phương trình.
Vậy có tất cả 4044 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

————— TOANMATH.com —————

Từ giả thiết (với $x^2+3y^2>1$) suy ra $4x+y+\frac{5}{4}\ge x^2+3y^2\iff (x-2{)}^2+3{\left(y-\frac{1}{6}\right)}^2\le \frac{16}{3}$.
Áp dụng BĐT Bunyakovsky: $P=4(x-2)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}\left(y-\frac{1}{6}\right)+\frac{49}{6}\le \sqrt{16+\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{\frac{16}{3}}+\frac{49}{6}=\frac{35}{2}$.
Chọn D.