Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>2$. Vì $-{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)={\log }_3(x-2)$, bất phương trình trở thành ${\log }_3(x+2)+{\log }_3(x-2)\le 3$, tức ${\log }_3(x^2-4)\le 3\iff x^2-4\le 27\iff x^2\le 31$. Kết hợp $x>2$ ta được $2<x\le \sqrt{31}\approx 5,57$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{3;4;5\}$, gồm 3 nghiệm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>2$. Vì $-{\log }_{1/3}(x-2)={\log }_3(x-2)$, bất phương trình trở thành ${\log }_3[(x+2)(x-2)]\le 3$, tức ${\log }_3(x^2-4)\le 3\iff x^2-4\le 27\iff x^2\le 31\iff x\le \sqrt{31}\approx 5,57$. Kết hợp $x>2$ ta được $2<x\le \sqrt{31}$, các nghiệm nguyên là $x\in \{3;4;5\}$, gồm 3 nghiệm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x-2>2^3=8\iff x>10$. Kết hợp điều kiện, ta được $x>10$. Vậy tập nghiệm là $(10;+\infty )$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Với cơ số $2>1$, bất phương trình ${\log }_2(x-2)<3$ tương đương $x-2<2^3=8\iff x<10$. Kết hợp điều kiện: $2<x<10$, tập nghiệm là $(2;10)$. Đáp án B.

Ta có: $x^2+y^2\ge 16$ suy ra tập hợp các điểm có tọa độ $(x;y)$ nằm trên hay phía ngoài đường tròn $(C_1):x^2+y^2=16$.
Do $(x;y)=(0;0)$ không thỏa mãn điều kiện đề bài nên $x^2+2y^2+1>1$.
Khi đó ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1\iff x^2+2y^2+1\le y^2+8x+1\iff x^2+y^2-8x\le 0$ suy ra tập hợp các điểm có tọa độ $(x;y)$ nằm trong hoặc trên đường tròn $(C_2):x^2+y^2-8x=0$.
Vậy tập hợp bộ số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài là các điểm có tọa độ nguyên không âm thỏa mãn:
$x=3\Rightarrow y=3$; $x=4\Rightarrow y\in \{0;1;2;3;4\}$; $x=5\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$
$x=6\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$; $x=7\Rightarrow y\in \{0;1;2\}$; $x=8\Rightarrow y=0$.
có tổng 18 điểm thỏa mãn.



Nhận xét: Để thỏa mãn yêu cầu bài ra thì đường thẳng $mx+y-1+m=0$ phải đi qua một trong các điểm trong 18 điểm trên.
Mặt khác đường thẳng $mx+y-1+m=0$ luôn đi qua điểm cố định $M(-1;1)$. Thay các điểm vào phương trình đường thẳng $mx+y-1+m=0$, ứng với mỗi điểm ta có một giá trị của tham số m, tuy nhiên với các điểm có tung độ $y=1$ đều cho một giá trị m. Ngoài ra không có hai điểm nào trong 14 điểm còn lại và điểm $M(-1;1)$ thẳng hàng. Vậy có 14 giá trị m.

(Lưu ý: đầu lời giải chi tiết in khung 'Trả lời: 15' (trang 25) nhưng kết luận lời giải 'Vậy có 14 giá trị m' và bảng đáp án chính thức Phần III (trang 7, Câu 3 = 14) đều là 14; đáp án 14 được giữ theo bảng đáp án chính thức.)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$ ($x>0$). Bất phương trình $\frac{t^2-3t+2}{\sqrt{m-2^x}}<0$.

Ta có $t^2-3t+2=(t-1)(t-2)<0⟺1<t<2⟺3<x<9$.

Để bất phương trình có nghiệm, cần mẫu dương: $m-2^x>0⟺2^x<m$ với $x\in (3;9)$. Vì $2^x>8$ trên $(3;9)$ và $2^x\to 8$ khi $x\to 3^{+}$, nên bất phương trình có nghiệm (thực) khi và chỉ khi $m>8$, tức $m\ge 9$ với $m$ nguyên dương.

Số nghiệm nguyên dương: $x\in \{4,5,6,7,8\}$ và $x<{\log }_{2}m$:
- $x=4$ là nghiệm khi $m>16$;
- $x=5$ khi $m>32$; $x=6$ khi $m>64$; $x=7$ khi $m>128$; $x=8$ khi $m>256$.

Yêu cầu không quá 3 nghiệm nguyên dương: không được có $x=7$ và $x=8$ cùng xuất hiện quá mức, cụ thể cần $m\le 2^7=128$ (khi đó nhiều nhất các nghiệm $x=4,5,6$).

Vậy $9\le m\le 128$, có $128-9+1=120$ giá trị nguyên dương của $m$.

Kiểm tra: $m=9$ có nghiệm thực $x\in (3;{\log }_{2}9)$, không có nghiệm nguyên dương (0 ≤ 3) ✓; $m=128$ có đúng 3 nghiệm nguyên $x=4,5,6$ ✓; $m=129$ có 4 nghiệm nguyên $x=4,5,6,7$ ✗.

Kết luận: có 120 giá trị của $m$, đáp án A.

Chọn A. ĐK: $x+y>0$. $3^{\log \left(x^2-x+3\right)}<(x+y{)}^{\log 3}\iff \log \left(x^2-x+3\right).\log 3<\log 3.\log (x+y)$ $\iff \log \left(x^2-x+3\right)<\log (x+y)$ $\iff x^2-x+3<x+y\iff x^2-2x+3-y<0$ $-\sqrt{y-2}<x-1<\sqrt{y-2}$. Để tồn tại đúng 5 giá trị nguyên của $x$ thì $2<\sqrt{y-2}\le 3\iff 6<y\le 11$. Vậy có 5 giá trị của y.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2-\sqrt{3}\in (0;1)$ và $2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3}{)}^{-1}$, bất phương trình trở thành $(2-\sqrt{3}{)}^{a-1}\le (2-\sqrt{3}{)}^{-1}$. Do cơ số nhỏ hơn 1 nên hàm số mũ nghịch biến, so sánh số mũ: $a-1\ge -1\iff a\ge 0$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $V(2)=A\cdot (0,905{)}^2=655,22$ triệu đồng, suy ra $A=\frac{655,22}{0,905^2}=\frac{655,22}{0,819025}=800$ (triệu đồng). Cần $800\cdot (0,905{)}^t\le 300\iff (0,905{)}^t\le 0,375$. Vì $0<0,905<1$, lấy logarit: $t\ge \frac{\ln 0,375}{\ln 0,905}\approx \frac{-0,98083}{-0,09982}\approx 9,83$. Vậy $t$ nguyên nhỏ nhất là $t=10$ năm. Kiểm tra: $0,905^{10}\approx 0,3687$, $800\cdot 0,3687\approx 295$ triệu $\le 300$; còn $t=9$: $800\cdot 0,905^9\approx 326$ triệu $>300$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x+11>0\Rightarrow x>-\frac{11}{4}$ và $x^2+6x+8>0\iff (x+2)(x+4)>0\iff x<-4$ hoặc $x>-2$. Kết hợp với $x>-\frac{11}{4}$ ta được $x>-2$. Vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến, bất phương trình tương đương $4x+11>x^2+6x+8\iff x^2+2x-3<0\iff (x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1$. Kết hợp điều kiện $x>-2$ ta được $S=(-2;1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ dưới $50\%$ nghĩa là $M(t)<50$. Giải: $75-20\ln (t+1)<50\iff \ln (t+1)>1,25\iff t+1>e^{1,25}\approx 3,4903\iff t>2,4903$. Kiểm tra: $M(2)=75-20\ln 3\approx 53,02\%>50\%$ (chưa dưới $50\%$), còn $M(3)=75-20\ln 4\approx 47,27\%<50\%$. Vậy tháng đầu tiên nhóm học sinh nhớ dưới $50\%$ là $t=3$, quy tròn tới hàng đơn vị ta được $3$ tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+1)<2$ có điều kiện $x^2+1>0$ luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+1)<2⟺x^2+1>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$. Nhưng $x^2+1\ge 1>\frac{1}{4}$ với mọi $x$, nên bất phương trình đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $S=\mathbb{R}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^x<1=2^0$. Vì cơ số $2>1$ nên hàm số $y=2^x$ đồng biến, do đó $x<0$. Tập nghiệm là $(-\infty ;0)$, tương ứng đáp án A. Kết quả trùng với bảng đáp án mã đề 611 (Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^x<1=2^0$. Vì cơ số $2>1$ nên hàm số đồng biến, do đó $x<0$. Tập nghiệm là $(-\infty ;0)$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 124, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x-3}>8=2^3$. Vì cơ số $2>1$ nên $x-3>3$, tức $x>6$. Vậy tập nghiệm là $(6;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\log x\ge 1$ (logarit cơ số 10) yêu cầu điều kiện $x>0$. Khi đó $\log x\ge 1\iff x\ge 10^1=10$. Vậy tập nghiệm là $[10;+\infty )$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{5}}(2x^2-x+1)<0$. Vì cơ số $\frac{2}{5}\in (0;1)$ nên logarit âm khi đối số lớn hơn 1: $2x^2-x+1>1\iff 2x^2-x>0\iff x(2x-1)>0\iff x<0$ hoặc $x>\frac{1}{2}$. Biểu thức $2x^2-x+1$ luôn dương (delta $=-7<0$) nên điều kiện xác định luôn thỏa. Tập nghiệm: $S=(-\infty ;0)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\ln x^2>\ln (4x-4)$ yêu cầu điều kiện xác định: $x^2>0$ (tức $x\ne 0$) và $4x-4>0$ (tức $x>1$). Với $x>1$, cả hai vế đều xác định và hàm $\ln$ đồng biến nên $\ln x^2>\ln (4x-4)\iff x^2>4x-4\iff x^2-4x+4>0\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Kết hợp với điều kiện $x>1$ ta được $S=(1;+\infty )\setminus \{2\}$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến, bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+3x}<\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ tương đương $-x^2+3x>2$, tức $x^2-3x+2<0\iff (x-1)(x-2)<0\iff 1<x<2$. Vậy $S=(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x^2-3x-7}>3^{2x-21}$ tương đương $3^{-2x^2+3x+7}>3^{2x-21}$. Vì cơ số $3>1$ nên $-2x^2+3x+7>2x-21\iff -2x^2+x+28>0\iff 2x^2-x-28<0$. Phương trình $2x^2-x-28=0$ có nghiệm $x=\frac{1\pm 15}{4}$, tức $x=-\frac{7}{2}$ và $x=4$. Vậy $-\frac{7}{2}<x<4$ (bất đẳng thức nghiêm ngặt, không lấy $x=4$), các nghiệm nguyên là $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị. Đáp án A.