Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị còn lại sau mỗi năm bằng 80% giá trị năm trước. Sau 2 năm: $100\cdot (0,8{)}^2=100\cdot 0,64=64$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (64).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau $n$ giờ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_0=10$ và công bội $q=3$. Sau 5 giờ: $u_5=10\cdot 3^5=10\cdot 243=2430$ con. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2430.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+0,0091=1,0091$. Từ năm 2020 đến năm 2025 là 5 năm, nên dân số năm 2025 là $97\cdot (1,0091{)}^5\approx 97\cdot 1,0463\approx 101,49$ triệu người. Làm tròn đến hàng đơn vị (triệu) ta được khoảng 101 triệu người, khớp với đáp án nguồn 101.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ngày 25/02/2025 đến ngày 02/03/2025 (năm 2025 không nhuận, tháng 2 có 28 ngày), Tèo để dành trong 6 ngày: 25/02, 26/02, 27/02, 28/02, 01/03, 02/03. Số tiền mỗi ngày lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $x$, công bội $q=3$. Tổng tiền sau 6 ngày: $S_6=x\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=x\cdot \frac{729-1}{2}=364x$. Theo đề: $364x=546000\Rightarrow x=\frac{546000}{364}=1500$. Vậy $x=1500$ đồng, khớp với đáp án nguồn (1500).

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lương các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=120$ triệu đồng, công bội $q=1,1$, số hạng $n=10$. Tổng: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=120\cdot \frac{1,1^{10}-1}{0,1}$. Vì $1,1^{10}\approx 2,59374246$ nên $S_{10}\approx 1200\cdot 1,59374246\approx 1912,49$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $1912$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(u_n)$ là cấp số nhân nên $u_{13}^2=u_{11}\cdot u_{15}=25\cdot 400=10000$, suy ra $u_{13}=100$ (lấy giá trị dương vì $u_{11},u_{15}>0$). Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức tổng cấp số nhân: $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ với $q\ne 1$. Với $u_1=-3$, $q=-2$, $n=10$: $S_{10}=-3\cdot \frac{1-(-2{)}^{10}}{1-(-2)}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=-3\cdot \frac{-1023}{3}=1023$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 9 số hạng đầu: $S_9=u_1\frac{1-q^9}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-3{)}^9}{1-(-3)}=2\cdot \frac{1+19683}{4}=2\cdot \frac{19684}{4}=9842$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow q^2=\frac{9}{4}$, mà $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$ (mệnh đề a đúng). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$ (mệnh đề b đúng). $u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}\ne \frac{27}{2}$ (mệnh đề c sai). $u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right){\left(-\frac{3}{2}\right)}^7=\left(-\frac{8}{3}\right)\left(-\frac{2187}{128}\right)=\frac{729}{16}>0$, nên $-\frac{2187}{32}$ không phải số hạng thứ 8 (mệnh đề d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$q^2=\frac{u_4}{u_2}=\frac{9}{4}$, vì $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}$, không phải $\frac{27}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right)\left(-\frac{2187}{128}\right)=\frac{729}{16}$, khác $-\frac{2187}{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút nên theo cấp số nhân công bội $q=2$. Sau 5 phút có 64000 con, sau $t$ phút có $64000\cdot 2^{t-5}$ con. Giải $64000\cdot 2^{t-5}=2048000\Rightarrow 2^{t-5}=32=2^5\Rightarrow t=10$. Vậy sau 10 phút có 2048000 con.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích bề mặt các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{12288}{2}=6144m^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tầng trên cùng là tầng 10: $u_{10}=u_1\cdot q^9=6144\cdot \frac{1}{2^9}=\frac{6144}{512}=12m^2$. Vậy diện tích bề mặt tầng trên cùng bằng $12m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số theo cấp số nhân: $u_n=2\cdot (1,01{)}^n$ (triệu người). Sau 10 năm: $u_{10}=2\cdot (1,01{)}^{10}\approx 2\cdot 1,104622\approx 2,2092$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần trăm: $2,21$ triệu người (tức 2 210 000 người).

(AI giải đề cho tôi)
Biên độ các lần dao động lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=20$ cm và công bội $q=0,95$ (vì mỗi chu kỳ giảm 5%). Sau 6 lần dao động, biên độ còn lại là $u_7=20\cdot (0,95{)}^6=20\cdot 0,\mathrm{735091...}\approx 14,7018\approx 14,7$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số nhân, tính chất $u_1\cdot u_5=u_3^2$ (vì $u_1=u_3/q^2$ và $u_5=u_3{q}^2$). Do đó $u_1\cdot u_5=7^2=49$. Công bội $q=2$ không ảnh hưởng đến tích này. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $u_n=5u_{n-1}$, $u_1=3$ ta có $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. a) Sai: $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ nên dãy không bị chặn (chỉ bị chặn dưới). b) Đúng: $u_{n+1}-u_n=3\cdot 5^n-3\cdot 5^{n-1}=12\cdot 5^{n-1}>0$ nên dãy tăng. c) Đúng: $u_n=5u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$ và $u_1=3$ nên $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=3$, công bội $q=5$. d) Đúng: $v_n=\frac{n\cdot u_n}{5^n}=\frac{n\cdot 3\cdot 5^{n-1}}{5^n}=\frac{3n}{5}$. Tổng 10 số hạng đầu: ${\sum }_{n=1}^{10}\frac{3n}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{10\cdot 11}{2}=\frac{3}{5}\cdot 55=33$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3\cdot 5^{n-1}\to +\infty$, dãy không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=12\cdot 5^{n-1}>0$ với mọi $n$, nên dãy tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=5u_{n-1}$, $u_1=3$ đúng định nghĩa cấp số nhân với $q=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{3n}{5}$, tổng 10 số hạng đầu $=\frac{3}{5}\cdot 55=33$.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng 8% mỗi giờ nên sau 5 giờ là $5000\cdot (1,08{)}^5$. Tính $(1,08{)}^5=1,4693280768$, nên $5000\cdot 1,4693280768=7346,64\approx 7347$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao lần nảy thứ $n$ là $h_n=25,6\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$. Với $n=4$: $h_4=25,6\cdot \frac{81}{256}=\frac{25,6}{256}\cdot 81=0,1\cdot 81=8,1$ (m). Vậy ở lần nảy lên thứ 4, quả bóng đạt độ cao $8,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số nhân, ta có tính chất $u_1\cdot u_5=u_3^2$ vì $u_1=u_3/q^2$ và $u_5=u_3{q}^2$. Do đó $u_1\cdot u_5=u_3^2=6^2=36$. Kiểm tra: $u_3=u_1{q}^2\Rightarrow u_1=6/9=2/3$; $u_5=u_3{q}^2=6\cdot 9=54$; tích $=(2/3)\cdot 54=36$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^n-1}{2-1}=3(2^n-1)$. Theo đề: $3(2^n-1)=381\Rightarrow 2^n-1=127\Rightarrow 2^n=128=2^7\Rightarrow n=7$. Kiểm tra: $S_7=3(128-1)=381$ đúng.

Gọi $u_n$ (triệu đồng) là giá trị của chiếc ô tô sau $n-1$ năm sử dụng, ta có $u_1=750$.
Vì cứ sau mỗi năm giá trị ô tô giảm $10\%$ so với năm liền trước nên $u_{n+1}=u_n.\left(1-10\%\right)=0,9u_n$.
Do đó $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=750$ và công bội $q=0,9$.
Giá trị ô tô sau 4 năm sử dụng là $u_5=u_1.q^4=750.{\left(0,9\right)}^4=492,075$ (triệu đồng).
Số tiền anh Bình cần chuẩn bị để bù thêm là $900-492,075=407,925$ (triệu đồng), tức là 407925000 đồng.