Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=5$, nên $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. Giải $3\cdot 5^{n-1}=29296875\Rightarrow 5^{n-1}=9765625=5^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=11$. Vậy 29296875 là số hạng thứ 11, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 17: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=5$, nên $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. Giải $3\cdot 5^{n-1}=29296875\Rightarrow 5^{n-1}=9765625=5^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=11$. Vậy 29296875 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (11).

Diện tích hình vuông ban đầu có cạnh bằng 4 là $S=4^2=16$. Diện tích hình vuông thứ nhất được tô màu khi chia hình vuông ban đầu thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau là $S_1=\frac{S}{4}$. Diện tích hình vuông thứ hai được tô màu là $S_2=\frac{1}{4}{S}_1=\frac{S}{4^2}$. Cứ tiếp tục như thế, ta được: $S_3=\frac{S}{4^3};S_4=\frac{S}{4^4};\dots ;S_n=\frac{S}{4^n};\dots$ Vậy tổng $T=S.\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots \right)$ (0,25 điểm)

Dãy số $(u_n)$: $\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};\frac{1}{4^3};\dots ;\frac{1}{4^n};\dots$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có số hàng đầu $\frac{1}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$. (0,25 điểm)

Khi đó $\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$ (0,25 điểm)

Vậy tổng $T=16.\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-3$, $q=-2$. a) $u_7=u_1{q}^6=-3\cdot 64=-192\ne 192$ nên sai. b) $u_n=u_1{q}^{n-1}=-3\cdot (-2{)}^{n-1}$ đúng. c) $u_2=-3\cdot (-2)=6$ đúng. d) $S_{10}=u_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=1023$ đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=u_1{q}^6=-3\cdot (-2{)}^6=-3\cdot 64=-192\ne 192$, nên số 192 không phải số hạng thứ 7.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=-3\cdot (-2{)}^{n-1}$, đúng với $u_1=-3$, $q=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_{1}q=-3\cdot (-2)=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=u_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=-3\cdot \frac{1-(-2{)}^{10}}{1-(-2)}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=1023$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=-2$ nên $u_n=u_1{q}^{n-1}=3\cdot (-2{)}^{n-1}$. Ta có $3072=3\cdot 1024=3\cdot 2^{10}=3\cdot (-2{)}^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 3072 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2103, câu 18 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=-2$, nên $u_n=3\cdot (-2{)}^{n-1}$. Ta có $3072=3\cdot 1024=3\cdot 2^{10}=3\cdot (-2{)}^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 3072 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 22 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_3=u_1{q}^2$ và $u_7=u_5{q}^2$, nên $u_3+u_7=q^2(u_1+u_5)=9q^2=144\Rightarrow q^2=16$. Vì $q>0$ nên $q=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III câu 3: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q$, ta có $u_3=q^2{u}_1$ và $u_6=q^2{u}_4$. Do đó $u_3+u_6=q^2(u_1+u_4)=99$. Thay $u_1+u_4=11$ ta được $11q^2=99\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=\pm 3$. Vì $q>0$ nên $q=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Phần III Câu 4: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-3$, $q=-2$. Áp dụng công thức tổng: $S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=-3\cdot \frac{(-2{)}^{10}-1}{-2-1}=-3\cdot \frac{1024-1}{-3}=\frac{-3\cdot 1023}{-3}=1023$. Vậy $S_{10}=1023$, khớp với đáp án B của đề (mã đề 1101, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền thuê 5 năm là tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân với $u_1=120$, công bội $q=1,04$: $S_5=120\cdot \frac{1,04^5-1}{1,04-1}=120\cdot \frac{1,2166529-1}{0,04}=120\cdot 5,4163225\approx 649,96\approx 650$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (650).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=5\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=5\cdot 1023=5115$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (5115).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+1,33\%=1,0133$. Từ tháng 12/2020 đến tháng 12/2025 là 5 năm, nên dân số năm 2025 là:
$$P=97\cdot (1,0133{)}^5\approx 97\cdot 1,06823\approx 103,62\text{ triệu người}.$$
Làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người: $P\approx 104$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+0,0091=1,0091$. Từ năm 2020 đến năm 2030 là 10 năm, nên dân số năm 2030 là $P=97\cdot (1,0091{)}^{10}$. Tính $(1,0091{)}^{10}\approx 1,0949$, suy ra $P\approx 97\cdot 1,0949\approx 106,2$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần mười: $106,2$, và đáp án nguồn là 106 (khớp với kết quả tính toán).

a) Số tiền người chơi đặt cược theo thứ tự lập thành cấp số nhân có $u_1=10,q=2$. Tổng số tiền người chơi đặt cược sau 10 vòng là: $S_{10}=10.\frac{1-2^{10}}{1-2}=10230$. Số tiền người chơi nhận được khi thắng ván 5 và ván 10 là: $2\left(u_5+u_{10}\right)=\mathrm{2.10.}\left(2^4+2^9\right)=10560$. Vậy sau 10 ván người chơi đã thắng số tiền là: 10560 - 10230 = 330 (USD).

b) Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5-u_3=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)-\left(u_1+2d\right)=10\\ \left(u_1+3d\right)+\left(u_1+5d\right)=26\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-99\\ d=28\end{array}$ (giữ nguyên theo nguồn; xem ghi chú).

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{35}{5}=7$. Tổng 60 số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{60}=u_1\cdot \frac{q^{60}-1}{q-1}=5\cdot \frac{7^{60}-1}{7-1}=\frac{5\left(7^{60}-1\right)}{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1+u_4=3$, $u_2+u_5=6$. Ta có $u_1+u_4=u_1(1+q^3)=3$ và $u_2+u_5=u_{1}q(1+q^3)=6$. Chia hai vế: $q=2$. Suy ra $u_1(1+8)=3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}$. a) $u_1=\frac{1}{3}\ne 3$ → Sai. b) $u_3=u_1{q}^2=\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{4}{3}$ → Đúng. c) $u_7=u_1{q}^6=\frac{1}{3}\cdot 64=\frac{64}{3}$ → Đúng. d) $S_8=u_1\frac{q^8-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{256-1}{1}=85\ne 58$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ phương trình suy ra $q=2$ và $u_1=\frac{1}{3}\ne 3$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1{q}^2=\frac{1}{3}\cdot 2^2=\frac{4}{3}$, nên khẳng định Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=u_1{q}^6=\frac{1}{3}\cdot 2^6=\frac{64}{3}$, nên khẳng định Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_8=\frac{1}{3}\cdot \frac{2^8-1}{2-1}=85\ne 58$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1+u_3=5$, $u_2+u_4=15$. Vì $u_2+u_4=q(u_1+u_3)$ nên $q=3$. Từ $u_1(1+q^2)=5$ suy ra $u_1=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.
a) $u_1=\frac{1}{2}\ne 2$ → Sai.
b) $u_4=u_1{q}^3=\frac{1}{2}\cdot 27=\frac{27}{2}$ → Đúng.
c) $u_8=u_1{q}^7=\frac{3^7}{2}=\frac{2187}{2}\ne \frac{729}{2}$ → Sai.
d) $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^{10}-1}{2}=\frac{59049-1}{4}=14762$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (a S, b Đ, c S, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $u_2+u_4=q(u_1+u_3)=15$ suy ra $q=3$; khi đó $u_1(1+9)=5\Rightarrow u_1=\frac{1}{2}\ne 2$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=u_1{q}^3=\frac{1}{2}\cdot 3^3=\frac{27}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=\frac{3^7}{2}=\frac{2187}{2}\ne \frac{729}{2}$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^{10}-1}{3-1}=\frac{59049-1}{4}=14762$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $u_{n+1}+\frac{1}{2}=2\left(u_n+\frac{1}{4}\right)=2u_n+\frac{1}{2}$ suy ra $u_{n+1}=2u_n$. Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, công bội $q=2$, do đó $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$.
a) Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{u_1(2^{10}-1)}{2-1}=\frac{1}{3}\cdot 1023=341$. Đúng.
b) $u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$. Sai.
c) Với $n=1$: $u_1=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$ nhưng với $n=2$: $u_2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$ (vì $u_2=2u_1=\frac{2}{3}$). Sai.
d) $u_5=\frac{16}{3}$, vậy $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1112 Phần II Câu 1: Đ-S-S-Đ (không có mâu thuẫn; nhận xét trong dữ liệu nguồn về ý d) là nhầm lẫn vì bảng đáp án cho ý d) là Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(u_n)$ cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, $q=2$; $S_{10}=\frac{1}{3}(2^{10}-1)=341$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$; công thức $u_n=2n-\frac{5}{3}$ cho $u_2=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{16}{3}$ nên $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_{20}=u_1{q}^{19}$ và $u_{17}=u_1{q}^{16}$. Điều kiện $u_{20}=8u_{17}$ cho $u_1{q}^{19}=8u_1{q}^{16}$, suy ra $q^3=8$ (với $u_1\ne 0$), tức $q=2$. Kiểm tra: với $q=2$, $u_1+u_5=u_1(1+16)=17u_1=272\Rightarrow u_1=16$, thỏa mãn. Vậy $q=2$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q$: $u_{20}=u_{17}{q}^3$. Theo giả thiết $u_{20}=8u_{17}$ nên $q^3=8\Rightarrow q=2$. Kiểm tra điều kiện còn lại: $u_1+u_5=u_1(1+q^4)=u_1(1+16)=17u_1=272\Rightarrow u_1=16$, thỏa mãn, không mâu thuẫn. Vậy $q=2$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).