Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông thứ $n$ là $a_n$. Cạnh hình vuông thứ 2 là đường chéo của hình vuông thứ nhất: $a_2=\sqrt{1^2+1^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2$... chính xác là trung điểm nối hai trung điểm hai cạnh kề nên $a_2=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Mỗi lần nối trung điểm, cạnh mới bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ lần cạnh cũ, nên $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
a) $a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$: Đúng.
b) $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$: Sai, vì với $n=1$ ta được $\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1=a_1$; đúng phải là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
c) Chu vi $u_n=4a_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=4\sqrt{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$: Đúng.
d) Tổng chu vi $S={\sum }_{n=1}^{\infty }4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}=4(2+\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}$. Vậy $a=8,b=4\Rightarrow a+b=12$: Đúng. Khớp đáp án nguồn (Đ, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông thứ 2 bằng đường nối trung điểm hai cạnh kề của hình vuông cạnh 1: $a_2=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$; với $n=1$ biểu thức đề cho cho $\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=4\sqrt{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chu vi là cấp số nhân vô hạn: $S=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=8+4\sqrt{2}$, nên $a+b=8+4=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=\frac{1}{2}$, $q=3$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_5=u_1\cdot q^{5-1}=\frac{1}{2}\cdot 3^4=\frac{81}{2}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+0,0091=1,0091$. Từ năm 2020 đến năm 2030 là 10 năm, nên dân số năm 2030 là $P=97\cdot (1,0091{)}^{10}$. Tính $(1,0091{)}^{10}\approx 1,0949$, suy ra $P\approx 97\cdot 1,0949\approx 106,2$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần mười: $106,2$, và đáp án nguồn là 106 (khớp với kết quả tính toán).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-3$, $q=\frac{2}{3}$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_5=u_1\cdot q^4=-3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=-3\cdot \frac{16}{81}=-\frac{48}{81}=-\frac{16}{27}$. Vậy $u_5=-\frac{16}{27}$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 2: D).

a) Số tiền người chơi đặt cược theo thứ tự lập thành cấp số nhân có $u_1=10,q=2$. Tổng số tiền người chơi đặt cược sau 10 vòng là: $S_{10}=10.\frac{1-2^{10}}{1-2}=10230$. Số tiền người chơi nhận được khi thắng ván 5 và ván 10 là: $2\left(u_5+u_{10}\right)=\mathrm{2.10.}\left(2^4+2^9\right)=10560$. Vậy sau 10 ván người chơi đã thắng số tiền là: 10560 - 10230 = 330 (USD).

b) Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5-u_3=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)-\left(u_1+2d\right)=10\\ \left(u_1+3d\right)+\left(u_1+5d\right)=26\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-99\\ d=28\end{array}$ (giữ nguyên theo nguồn; xem ghi chú).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{3}{5}\cdot 2^{n-1}$, ta có $u_1=\frac{3}{5}\cdot 2^0=\frac{3}{5}$ và công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=2$. Vậy $u_1=\frac{3}{5},q=2$, khớp với đáp án C (mã đề 102, Câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ có số hạng tổng quát $u_n=u_1{q}^{n-1}$ (với $n\ge 2$, do đề phát biểu theo dạng đó). Kiểm tra: $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, ... đúng theo định nghĩa cấp số nhân. Các phương án khác sai: A là $q(u_1{)}^{n-1}$, B là $u_1/q^{n-1}$, C là công thức của cấp số cộng. Đáp án khớp với mã đề 102 trong bảng đáp án (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{3}{5}\cdot 2^{n-1}$, ta có $u_1=\frac{3}{5}\cdot 2^0=\frac{3}{5}$ và công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=2$. Vậy $u_1=\frac{3}{5},q=2$, khớp với đáp án D (bảng đáp án mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ có số hạng tổng quát $u_n=u_1{q}^{n-1}$ với $n\ge 2$ (đúng cả với $n=1$). Kiểm tra: $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, ... khớp định nghĩa $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$. Các phương án khác sai: A là $q(u_1{)}^{n-1}$ (nhầm vị trí $q$), B là công thức của cấp số cộng, C là $\frac{u_1}{q^{n-1}}$ (sai dấu mũ). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101: D.

Chọn D. Tổng lương sau tròn 25 năm là $S=\mathrm{36.45.1}{0}^5\left[1+1,33+(1,33{)}^2+\dots +(1,33{)}^7\right]+\mathrm{12.45.1}{0}^5.(1,33{)}^8$ $=\mathrm{36.45.1}{0}^5\cdot \frac{1-(1,33{)}^8}{1-1,33}+\mathrm{12.45.1}{0}^5.(1,33{)}^8=4844124782$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng dãy: A: $1;-1;1;-1;1;\dots$ có $rac{u}_{n+1}{u}_n=-1$ không đổi với mọi $n$, nên là cấp số nhân với công bội $q=-1$. B: $-1;-3;-5;-7;\dots$ là cấp số cộng với công sai $d=-2$, không phải cấp số nhân. C: $-1;2;4;8;16;\dots$ có $rac2-1=-2$ nhưng $rac42=2$, tỷ số không không đổi nên không phải cấp số nhân. D: $-2;4;8;-16;32$ có $rac4-2=-2$, $rac84=2$, tỷ số không không đổi nên không phải cấp số nhân. Vậy dãy là cấp số nhân là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=4$, $q=-3$. Số hàng thứ hai $u_2=u_1\cdot q=4\cdot (-3)=-12$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{35}{5}=7$. Tổng 60 số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{60}=u_1\cdot \frac{q^{60}-1}{q-1}=5\cdot \frac{7^{60}-1}{7-1}=\frac{5\left(7^{60}-1\right)}{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=2$ nên số hạng tổng quát là $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2^{n-1}$. Ta cần $2^{n-1}=1024=2^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 1024 là số hạng thứ 11, đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 7115, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=102$, công bội $q=1,2$. a) $u_3=102\cdot 1,2^2=146,88\ne 122,4$ (122,4 là $u_2$) → sai. b) $S_6=102\frac{1,2^6-1}{0,2}=510(2,985984-1)\approx 1012,85$ triệu $>1000$ → đúng. c) Đúng theo định nghĩa cấp số nhân. d) Cần $0,35S_n\ge 537\iff S_n\ge 1534,29$. $S_7=510(1,2^7-1)\approx 1317,42<1534,29$; $S_8=510(1,2^8-1)\approx 1682,90\ge 1534,29$ → sau ít nhất 8 năm đủ tiền → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=102\cdot 1,2^2=146,88$ triệu đồng, không phải 122,4 (đó là $u_2=102\cdot 1,2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_6=102\frac{1,2^6-1}{1,2-1}=510\cdot 1,985984\approx 1012,85$ triệu đồng $>1$ tỉ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lương năm sau gấp 1,2 lần năm trước nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=102$, $q=1,2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiết kiệm $0,35S_n\ge 537\Rightarrow S_n\ge 1534,29$. $S_7\approx 1317,42$ (chưa đủ), $S_8=510(1,2^8-1)\approx 1682,90\ge 1534,29$ nên sau ít nhất 8 năm đủ tiền.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân là dãy mà tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi. Xét từng dãy: A: $\frac{3}{1}=3$, $\frac{5}{3}\ne 3$ (cấp số cộng sai số 2) nên không phải. B: $\frac{2}{1}=2$, $\frac{3}{2}\ne 2$ nên không phải. C: $\frac{2}{1}=2$, $\frac{4}{2}=2$, $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\ne 2$ nên không phải. D: $\frac{2}{1}=2$, $\frac{4}{2}=2$, $\frac{8}{4}=2$, $\frac{16}{8}=2$, công bội $q=2$ không đổi, vậy dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Các lần quét từ trái sang phải là lần quét thứ nhất, thứ ba, thứ năm,... Quãng đường các lần quét liên tiếp giảm theo cấp số nhân với công bội 0,9, nên các lần quét trái→phải lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=30$ và công bội $q=0,9^2=0,81$. Tổng quãng đường từ trái sang phải cho đến khi dừng hẳn: $S=\frac{30}{1-0,81}=\frac{30}{0,19}\approx 157,89\approx 158$ cm. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1+u_4=3$, $u_2+u_5=6$. Ta có $u_1+u_4=u_1(1+q^3)=3$ và $u_2+u_5=u_{1}q(1+q^3)=6$. Chia hai vế: $q=2$. Suy ra $u_1(1+8)=3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}$. a) $u_1=\frac{1}{3}\ne 3$ → Sai. b) $u_3=u_1{q}^2=\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{4}{3}$ → Đúng. c) $u_7=u_1{q}^6=\frac{1}{3}\cdot 64=\frac{64}{3}$ → Đúng. d) $S_8=u_1\frac{q^8-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{256-1}{1}=85\ne 58$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ phương trình suy ra $q=2$ và $u_1=\frac{1}{3}\ne 3$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1{q}^2=\frac{1}{3}\cdot 2^2=\frac{4}{3}$, nên khẳng định Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=u_1{q}^6=\frac{1}{3}\cdot 2^6=\frac{64}{3}$, nên khẳng định Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_8=\frac{1}{3}\cdot \frac{2^8-1}{2-1}=85\ne 58$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1+u_3=5$, $u_2+u_4=15$. Vì $u_2+u_4=q(u_1+u_3)$ nên $q=3$. Từ $u_1(1+q^2)=5$ suy ra $u_1=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.
a) $u_1=\frac{1}{2}\ne 2$ → Sai.
b) $u_4=u_1{q}^3=\frac{1}{2}\cdot 27=\frac{27}{2}$ → Đúng.
c) $u_8=u_1{q}^7=\frac{3^7}{2}=\frac{2187}{2}\ne \frac{729}{2}$ → Sai.
d) $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^{10}-1}{2}=\frac{59049-1}{4}=14762$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (a S, b Đ, c S, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $u_2+u_4=q(u_1+u_3)=15$ suy ra $q=3$; khi đó $u_1(1+9)=5\Rightarrow u_1=\frac{1}{2}\ne 2$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=u_1{q}^3=\frac{1}{2}\cdot 3^3=\frac{27}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=\frac{3^7}{2}=\frac{2187}{2}\ne \frac{729}{2}$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^{10}-1}{3-1}=\frac{59049-1}{4}=14762$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $u_{n+1}+\frac{1}{2}=2\left(u_n+\frac{1}{4}\right)=2u_n+\frac{1}{2}$ suy ra $u_{n+1}=2u_n$. Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, công bội $q=2$, do đó $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$.
a) Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{u_1(2^{10}-1)}{2-1}=\frac{1}{3}\cdot 1023=341$. Đúng.
b) $u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$. Sai.
c) Với $n=1$: $u_1=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$ nhưng với $n=2$: $u_2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$ (vì $u_2=2u_1=\frac{2}{3}$). Sai.
d) $u_5=\frac{16}{3}$, vậy $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1112 Phần II Câu 1: Đ-S-S-Đ (không có mâu thuẫn; nhận xét trong dữ liệu nguồn về ý d) là nhầm lẫn vì bảng đáp án cho ý d) là Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(u_n)$ cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{3}$, $q=2$; $S_{10}=\frac{1}{3}(2^{10}-1)=341$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{1}{3}\cdot 2^4=\frac{16}{3}\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}$; công thức $u_n=2n-\frac{5}{3}$ cho $u_2=\frac{7}{3}\ne \frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{16}{3}$ nên $\frac{16}{3}$ là số hạng thứ 5 của dãy.