Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố thẻ thứ nhất trúng thưởng, $B$ là biến cố thẻ thứ hai trúng thưởng. Xác suất bốc được thẻ trúng thưởng lần đầu: $P(A)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$. Sau khi đã lấy 1 thẻ trúng thưởng (không trả lại), còn lại 29 thẻ trong đó 1 thẻ trúng thưởng, nên $P(B|A)=\frac{1}{29}$. Xác suất cả hai thẻ đều trúng thưởng: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{2}{30}\cdot \frac{1}{29}=\frac{1}{435}$. Vậy chọn đáp án D.

a) Khả năng xạ thủ thứ hai không bắn trúng bia là $1-0,8=0,2=20\%$ nên a) sai.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là $P=0,85\times 0,8=0,68=68\%$. Vậy b) đúng.

c) Xác suất có đúng một viên đạn trúng bia là $0,85\times 0,2+0,15.0,8=0,29$. Vậy c) sai.

d) Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:
- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,29.
- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,68
$\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là $0,29+0,68=0,97=97\%$. Vậy d) đúng.
a) Khả năng xạ thủ thứ hai không bắn trúng bia là $1-0,8=0,2=20\%$ nên a) sai.
b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là $P=0,85\times 0,8=0,68=68\%$. Vậy b) đúng.
c) Xác suất có đúng một viên đạn trúng bia là $0,85\times 0,2+0,15.0,8=0,29$. Vậy c) sai.
d) Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:
- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,29.
- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,68
$\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là $0,29+0,68=0,97=97\%$. Vậy d) đúng.

a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là $1-0,9=0,1=10\%$ nên a) đúng.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là $P=0,9\times 0,75=0,675=67,5\%$. Vậy b) sai.

c) Xác suất có đúng một viên đạn trúng bia là $0,9\times 0,25+0,1.0,75=0,3$. Vậy c) đúng.

d) Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:
- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,3.
- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,675

$\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là $0,3+0,675=0,975=97,5\%$. Vậy d) sai.
a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là $1-0,9=0,1=10\%$ nên a) đúng.
b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là $P=0,9\times 0,75=0,675=67,5\%$. Vậy b) sai.
c) Xác suất có đúng một viên đạn trúng bia là $0,9\times 0,25+0,1.0,75=0,3$. Vậy c) đúng.
d) Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:
- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,3.
- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,675

$\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là $0,3+0,675=0,975=97,5\%$. Vậy d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$, $B$ lần lượt là biến cố hai khẩu pháo bắn trúng với $P(A)=\frac{1}{4}$, $P(B)=\frac{1}{3}$. Hai khẩu bắn độc lập nên xác suất cả hai cùng bắn trượt là $P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$. Vậy xác suất mục tiêu bị trúng đạn là $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 202, câu 6).

Gọi $A$: “Xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu”, $B$: “Xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu”, $M$: “Mục tiêu bị bắn trúng”. Theo giả thiết ta có: $P(A)=\frac{1}{4}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ và $P(B)=\frac{1}{3}\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Ta có $\overline{M}=\overline{A}\cap \overline{B}$. Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng là hai biến cố độc lập. Do đó $P\left(\overline{M}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=\frac{3}{4}.\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$. $P(M)=1-P\left(\overline{M}\right)=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)=0,2024$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A|B)=P(A)=0,2024$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba xạ thủ bắn độc lập, xác suất cả ba cùng bắn trúng là $P=0,6\times 0,7\times 0,8=0,336$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'động cơ $I$ hoạt động được' với $P(A)=0,9$, $B$ là biến cố 'động cơ $II$ hoạt động được' với $P(B)=0,95$. Hai động cơ hoạt động độc lập nên $P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0,1\cdot 0,05=0,005$. Tổ hợp máy chạy được khi ít nhất một động cơ hoạt động, do đó xác suất để tổ hợp máy chạy được là $P=1-P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-0,005=0,995$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p=0,7$ là xác suất bắn trúng, $q=0,3$ là xác suất trượt. Hai viên đạn bắn độc lập. Xác suất để có đúng một viên trúng và một viên trượt là: $P=2\times 0,7\times 0,3=0,42$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_i$ là biến cố người thứ $i$ bắn trúng, với $P(A_1)=0,6$, $P(A_2)=0,8$, $P(A_3)=0,9$; các lần bắn độc lập nên $P(\overline{A_1})=0,4$, $P(\overline{A_2})=0,2$, $P(\overline{A_3})=0,1$. Xác suất có đúng một người bắn trúng là:
$$P=P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3})+P(\overline{A_1}{A}_2\overline{A_3})+P(\overline{A_1}\overline{A_2}{A}_3)$$
$$=0,6\cdot 0,2\cdot 0,1+0,4\cdot 0,8\cdot 0,1+0,4\cdot 0,2\cdot 0,9=0,012+0,032+0,072=0,116.$$
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3. A, B độc lập.
(1) Vì A, B độc lập nên P(B) = P(AB)/P(A) = 0,2/0,8 = 0,25. Khi đó P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0,8 + 0,25 − 0,2 = 0,85.
(2) Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A)·P(B) = 0,3·P(A). Theo công thức cộng: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + 0,3 − 0,3·P(A) = 0,6. Suy ra 0,7·P(A) = 0,3, tức P(A) = 3/7 ≈ 0,4286.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi bạn gieo hai đồng xu nên mỗi bạn có 4 kết quả, tổng không gian mẫu có $4\times 4=16$ phần tử (kết quả của An và Bình độc lập về vật lý).

- Biến cố A: cả hai đồng xu của An đều sấp. Chỉ có 1 kết quả của An thỏa mãn, Bình tùy ý: $n(A)=1\times 4=4$, nên $P(A)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
- Biến cố B: hai đồng xu của Bình có một sấp một ngửa. Bình có 2 kết quả (SN, NS), An tùy ý: $n(B)=4\times 2=8$, nên $P(B)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
- Biến cố AB: An cả hai sấp và Bình một sấp một ngửa: $n(AB)=1\times 2=2$, nên $P(AB)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.

Ta có $P(AB)=\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=P(A)\cdot P(B)$.

Vậy $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập (điều này cũng hiển nhiên vì hai phép gieo của An và Bình là độc lập về vật lý).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}=P(A\cap B)$ nên $A$ và $B$ độc lập (và vì $P(A\cap B)\ne 0$ nên không xung khắc). Với $A$ và $C$: $P(A)P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}\ne \frac{2}{3}=P(A\cap C)$ nên không độc lập; cũng không xung khắc vì $P(A\cap C)\ne 0$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người thứ nhất bắn trúng' với P(A)=0,8; B là biến cố 'người thứ hai bắn trúng' với P(B)=0,6. Hai biến cố độc lập. Xác suất để cả hai người cùng bắn trượt là P(A̅∩B̅)=P(A̅)·P(B̅)=(1−0,8)(1−0,6)=0,2·0,4=0,08. Vậy xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là P(A∪B)=1−0,08=0,92. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,92.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'Thành đỗ nguyện vọng 1', $B$ là biến cố 'Đạt đỗ nguyện vọng 1'. Vì hai bạn có nguyện vọng 1 khác nhau nên kết quả xét tuyển của hai bạn độc lập, do đó $P(A)=0,8$, $P(B)=0,9$ và $P(\overline{A})=0,2$, $P(\overline{B})=0,1$.

Biến cố 'có ít nhất một trong hai bạn đỗ nguyện vọng 1' là $A\cup B$, với biến cố đối là 'cả hai bạn đều trượt nguyện vọng 1' $=\overline{A}\overline{B}$.

Vì độc lập:
$$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0,2\cdot 0,1=0,02.$$

Suy ra:
$$P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-0,02=0,98.$$

Vậy xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Thành và Đạt đỗ nguyện vọng 1 là $0,98$ (tức $98\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố ông Thiện bị bệnh sau hai lần tiếp xúc. Xác suất không bị bệnh ở lần không đeo khẩu trang là $1-0,76=0,24$; ở lần có đeo khẩu trang là $1-0,09=0,91$. Hai lần tiếp xúc độc lập nên $P(\overline{A})=0,24\cdot 0,91=0,2184$. Vậy $P(A)=1-0,2184=0,7816\approx 0,78$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố ông Thiện bị bệnh sau hai lần tiếp xúc. Hai lần tiếp xúc độc lập: một lần không đeo khẩu trang với xác suất lây 0,76, một lần có đeo khẩu trang với xác suất lây 0,09. Xác suất không bị bệnh ở lần không đeo khẩu trang là 1 - 0,76 = 0,24; xác suất không bị bệnh ở lần có đeo khẩu trang là 1 - 0,09 = 0,91. Vậy P(A) = 1 - 0,24 × 0,91 = 1 - 0,2184 = 0,7816 ≈ 0,78. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,78.

(AI giải đề cho tôi)
Chuồng I: 5 trống, 10 mái (15 con); chuồng II: 3 mái, 7 trống (10 con). Hai phép bắt gà từ hai chuồng khác nhau nên độc lập. a) Đúng: A, B phụ thuộc vào hai phép thử khác nhau nên độc lập. b) Đúng: P(A)=10/15=2/3. c) Sai: P(B)=7/10 (không phải 3/10). d) Sai: P(A·B)=P(A)P(B)=2/3·7/10=14/30≈0,467, làm tròn đến hàng phần chục là 0,5, không phải 0,2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai biến cố A, B liên quan đến hai phép bắt gà từ hai chuồng khác nhau, kết quả một phép không ảnh hưởng phép kia nên A, B độc lập.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chuồng I có 10 gà mái trên tổng 15 con nên P(A)=10/15=2/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chuồng II có 7 gà trống trên tổng 10 con nên P(B)=7/10, không phải 3/10 (3/10 là xác suất bắt được gà mái từ chuồng II).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì A, B độc lập: P=P(A)P(B)=2/3·7/10=14/30≈0,467≈0,5 (làm tròn đến hàng phần chục), không phải 0,2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A,B,C$ lần lượt là biến cố 'Nam đạt từ 8 điểm trở lên', 'Tiền đạt từ 8 điểm trở lên', 'Ngân đạt từ 8 điểm trở lên'. Vì ba bạn làm bài độc lập nên $P(A)=0,6$, $P(B)=0,7$, $P(C)=0,85$.

a) Biến cố $D$ 'cả ba bạn đều đạt từ 8 điểm trở lên' tương ứng $A\cap B\cap C$. Do tính độc lập:
$$P(D)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=0,6\cdot 0,7\cdot 0,85=0,357.$$

b) Biến cố $E$ 'có ít nhất một bạn đạt từ 8 điểm trở lên'. Xét biến cố đối $\overline{E}$ 'không bạn nào đạt từ 8 điểm trở lên', tức $\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}$ với $P(\overline{A})=0,4$, $P(\overline{B})=0,3$, $P(\overline{C})=0,15$:
$$P(\overline{E})=0,4\cdot 0,3\cdot 0,15=0,018.$$
Suy ra $P(E)=1-0,018=0,982$.