Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi bạn gieo hai đồng xu nên mỗi bạn có 4 kết quả, tổng không gian mẫu có $4\times 4=16$ phần tử (kết quả của An và Bình độc lập về vật lý).

- Biến cố A: cả hai đồng xu của An đều sấp. Chỉ có 1 kết quả của An thỏa mãn, Bình tùy ý: $n(A)=1\times 4=4$, nên $P(A)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
- Biến cố B: hai đồng xu của Bình có một sấp một ngửa. Bình có 2 kết quả (SN, NS), An tùy ý: $n(B)=4\times 2=8$, nên $P(B)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.
- Biến cố AB: An cả hai sấp và Bình một sấp một ngửa: $n(AB)=1\times 2=2$, nên $P(AB)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.

Ta có $P(AB)=\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=P(A)\cdot P(B)$.

Vậy $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập (điều này cũng hiển nhiên vì hai phép gieo của An và Bình là độc lập về vật lý).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}=P(A\cap B)$ nên $A$ và $B$ độc lập (và vì $P(A\cap B)\ne 0$ nên không xung khắc). Với $A$ và $C$: $P(A)P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}\ne \frac{2}{3}=P(A\cap C)$ nên không độc lập; cũng không xung khắc vì $P(A\cap C)\ne 0$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người thứ nhất bắn trúng' với P(A)=0,8; B là biến cố 'người thứ hai bắn trúng' với P(B)=0,6. Hai biến cố độc lập. Xác suất để cả hai người cùng bắn trượt là P(A̅∩B̅)=P(A̅)·P(B̅)=(1−0,8)(1−0,6)=0,2·0,4=0,08. Vậy xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là P(A∪B)=1−0,08=0,92. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,92.

Theo bài ra xác suất để cả ba vận động viên ném trúng rổ là 0,21 nên ta có phương trình $x.y.0,7=0,21\iff xy=0,3$.

Và xác suất có hai vận động viên ném bóng trúng rổ là 0,44 nên ta có phương trình
$$x.y(1-0,7)+x.(1-y).0,7+(1-x).y.0,7=0,44$$
$$\iff 0,3xy+0,7x-0,7xy+0,7y-0,7xy=0,44$$
$$\iff 0,7(x+y)-1,1xy=0,44.$$

Khi đó ta có hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}xy=0,3\\ 0,7(x+y)-1,1xy=0,44\end{array}\iff \{\begin{array}{l}xy=0,3\\ 0,7(x+y)-0,33=0,44\end{array}\iff \{\begin{array}{l}xy=0,3\\ x+y=1,1\end{array}$$

Suy ra $\{\begin{array}{l}x=0,6\\ y=0,5\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}x=0,5\\ y=0,6\end{array}$.

Vì $x>y$ nên $\{\begin{array}{l}x=0,6\\ y=0,5\end{array}$.

Vậy xác suất chỉ có vận động viên thứ nhất ném bóng trúng rổ là
$$0,6.(1-0,5)(1-0,7)=0,09$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hai biến cố độc lập: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Các khẳng định khác sai vì $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ chỉ bằng $P(A)+P(B)$ khi $A,B$ xung khắc (không phải độc lập), còn $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$ và $P(A\cup B)=P(A)\cdot P(B)$ không đúng nói chung. Khớp với đáp án nguồn: 3D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,5\cdot 0,4=0,2$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$ (tức $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$). Do đó đáp án là B. Đáp án này trùng với bảng đáp án mã đề 1010 (Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,5\cdot 0,4=0,2$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'Thành đỗ nguyện vọng 1', $B$ là biến cố 'Đạt đỗ nguyện vọng 1'. Vì hai bạn có nguyện vọng 1 khác nhau nên kết quả xét tuyển của hai bạn độc lập, do đó $P(A)=0,8$, $P(B)=0,9$ và $P(\overline{A})=0,2$, $P(\overline{B})=0,1$.

Biến cố 'có ít nhất một trong hai bạn đỗ nguyện vọng 1' là $A\cup B$, với biến cố đối là 'cả hai bạn đều trượt nguyện vọng 1' $=\overline{A}\overline{B}$.

Vì độc lập:
$$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0,2\cdot 0,1=0,02.$$

Suy ra:
$$P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-0,02=0,98.$$

Vậy xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Thành và Đạt đỗ nguyện vọng 1 là $0,98$ (tức $98\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất trúng vòng 10, 9, 8 lần lượt là $P(10)=0,25$; $P(9)=0,3$; $P(8)=0,4$; hai lần bắn độc lập.
a) Đạt 18 điểm khi cả hai lần trúng vòng 9 hoặc một lần vòng 10 và một lần vòng 8: $P=0,3^2+2\cdot 0,25\cdot 0,4=0,09+0,2=0,29$ → đúng.
b) Đạt 19 điểm khi một lần vòng 10 và một lần vòng 9: $P=2\cdot 0,25\cdot 0,3=0,15\ne 0,075$ → sai.
c) Điểm lớn hơn 17 gồm 18, 19, 20 điểm: $P=0,29+0,15+0,25^2=0,29+0,15+0,0625=0,5025$ → đúng.
d) Hai lần độc lập nên $P=0,3\cdot 0,3=0,09\ne 0,6$ → sai.
Kết quả khớp với dòng đáp án nguồn tương ứng (D, S, D, S).
a) Đạt 18 điểm khi cả hai lần đều trúng vòng 9 hoặc một lần trúng vòng 10 và một lần trúng vòng 8: $P=0,3^2+2\cdot 0,25\cdot 0,4=0,09+0,2=0,29$. Khẳng định đúng.
b) Đạt 19 điểm khi một lần trúng vòng 10 và một lần trúng vòng 9: $P=2\cdot 0,25\cdot 0,3=0,15\ne 0,075$. Khẳng định sai.
c) Số điểm lớn hơn 17 gồm 18, 19, 20 điểm: $P=0,29+0,15+0,25^2=0,29+0,15+0,0625=0,5025$. Khẳng định đúng.
d) Hai lần bắn độc lập nên $P=0,3\cdot 0,3=0,09\ne 0,6$. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố ông Thiện bị bệnh sau hai lần tiếp xúc. Xác suất không bị bệnh ở lần không đeo khẩu trang là $1-0,76=0,24$; ở lần có đeo khẩu trang là $1-0,09=0,91$. Hai lần tiếp xúc độc lập nên $P(\overline{A})=0,24\cdot 0,91=0,2184$. Vậy $P(A)=1-0,2184=0,7816\approx 0,78$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'viên đạn thứ nhất trúng đích' với $P(A)=0,76$, $B$ là biến cố 'viên đạn thứ hai trúng đích' với $P(B)=0,78$. Vì hai lần bắn độc lập nên xác suất cả hai lần đều trúng đích là $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,76\times 0,78=0,5928\approx 0,59$. Kết quả này khớp với đáp án D (đáp án nguồn cho đề 1102, câu 8 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'viên thứ nhất trúng đích', B là biến cố 'viên thứ hai trúng đích'. Hai lần bắn độc lập nên P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0,76 · 0,78 = 0,5928 ≈ 0,59. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất bắn trúng vòng 10, 9, 8 lần lượt là P(10)=0,25; P(9)=0,3; P(8)=0,4 (còn lại 0,05). Hai lần bắn độc lập.
a) Số điểm lớn hơn 17 nghĩa là tổng ≥ 18: các trường hợp (10,10): 0,25²=0,0625; (10,9) và (9,10): 2·0,25·0,3=0,15; (10,8) và (8,10): 2·0,25·0,4=0,2; (9,9): 0,3²=0,09. Tổng = 0,0625+0,15+0,2+0,09 = 0,5025. Đúng.
b) Đạt 19 điểm: (10,9) hoặc (9,10): 2·0,25·0,3 = 0,15 ≠ 0,075. Sai.
c) Đạt 18 điểm: (10,8), (8,10), (9,9): 2·0,25·0,4 + 0,09 = 0,2+0,09 = 0,29. Đúng.
d) Cả hai lần trúng vòng 9: 0,3·0,3 = 0,09 ≠ 0,6. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm > 17 gồm (10,10), (10,9), (9,10), (10,8), (8,10), (9,9): 0,0625+0,15+0,2+0,09=0,5025.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạt 19 điểm: (10,9) hoặc (9,10), xác suất 2·0,25·0,3=0,15 ≠ 0,075.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạt 18 điểm: (10,8), (8,10), (9,9): 0,2+0,09=0,29.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai lần trúng vòng 9: 0,3²=0,09 ≠ 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố ông Thiện bị bệnh sau hai lần tiếp xúc. Hai lần tiếp xúc độc lập: một lần không đeo khẩu trang với xác suất lây 0,76, một lần có đeo khẩu trang với xác suất lây 0,09. Xác suất không bị bệnh ở lần không đeo khẩu trang là 1 - 0,76 = 0,24; xác suất không bị bệnh ở lần có đeo khẩu trang là 1 - 0,09 = 0,91. Vậy P(A) = 1 - 0,24 × 0,91 = 1 - 0,2184 = 0,7816 ≈ 0,78. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,78.

(AI giải đề cho tôi)
Chuồng I: 5 trống, 10 mái (15 con); chuồng II: 3 mái, 7 trống (10 con). Hai phép bắt gà từ hai chuồng khác nhau nên độc lập. a) Đúng: A, B phụ thuộc vào hai phép thử khác nhau nên độc lập. b) Đúng: P(A)=10/15=2/3. c) Sai: P(B)=7/10 (không phải 3/10). d) Sai: P(A·B)=P(A)P(B)=2/3·7/10=14/30≈0,467, làm tròn đến hàng phần chục là 0,5, không phải 0,2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai biến cố A, B liên quan đến hai phép bắt gà từ hai chuồng khác nhau, kết quả một phép không ảnh hưởng phép kia nên A, B độc lập.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chuồng I có 10 gà mái trên tổng 15 con nên P(A)=10/15=2/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chuồng II có 7 gà trống trên tổng 10 con nên P(B)=7/10, không phải 3/10 (3/10 là xác suất bắt được gà mái từ chuồng II).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì A, B độc lập: P=P(A)P(B)=2/3·7/10=14/30≈0,467≈0,5 (làm tròn đến hàng phần chục), không phải 0,2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A,B,C$ lần lượt là biến cố 'Nam đạt từ 8 điểm trở lên', 'Tiền đạt từ 8 điểm trở lên', 'Ngân đạt từ 8 điểm trở lên'. Vì ba bạn làm bài độc lập nên $P(A)=0,6$, $P(B)=0,7$, $P(C)=0,85$.

a) Biến cố $D$ 'cả ba bạn đều đạt từ 8 điểm trở lên' tương ứng $A\cap B\cap C$. Do tính độc lập:
$$P(D)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=0,6\cdot 0,7\cdot 0,85=0,357.$$

b) Biến cố $E$ 'có ít nhất một bạn đạt từ 8 điểm trở lên'. Xét biến cố đối $\overline{E}$ 'không bạn nào đạt từ 8 điểm trở lên', tức $\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}$ với $P(\overline{A})=0,4$, $P(\overline{B})=0,3$, $P(\overline{C})=0,15$:
$$P(\overline{E})=0,4\cdot 0,3\cdot 0,15=0,018.$$
Suy ra $P(E)=1-0,018=0,982$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,6\cdot 0,8=0,48$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lô đất thí nghiệm độc lập nên $A$ và $B$ độc lập; do đó các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B$, $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập → a) Đúng. $C=\overline{A}\cap B$ và $D=A\cap \overline{B}$ không thể đồng thời xảy ra (cây không thể phát triển bình thường chỉ trên lô $M$ và chỉ trên lô $N$ cùng lúc), nên chúng xung khắc; khẳng định 'không xung khắc' sai → b) Sai. $P(\overline{A})=1-0,56=0,44$; $P(\overline{B})=1-0,62=0,38$ → c) Sai. Xác suất cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất: $P(C\cup D)=P(C)+P(D)=0,44\cdot 0,62+0,56\cdot 0,38=0,2728+0,2128=0,4856$ → d) Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1105: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì hai lô đất độc lập nên $A$, $B$ độc lập; suy ra $\overline{A}$ và $B$, $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C=\overline{A}\cap B$ và $D=A\cap \overline{B}$ không thể đồng thời xảy ra nên là hai biến cố xung khắc; khẳng định 'không xung khắc' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A})=1-0,56=0,44$ và $P(\overline{B})=1-0,62=0,38$, không phải 0,56 và 0,62.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(C\cup D)=P(C)+P(D)=0,44\cdot 0,62+0,56\cdot 0,38=0,2728+0,2128=0,4856$.

(AI giải đề cho tôi)
Túi I có 5 xanh, 5 đỏ nên $P(A)=\frac{5}{10}=0,5$, do đó mệnh đề a) $P(A)=0,7$ là SAI. Túi II có 12 xanh, 3 đỏ nên $P(B)=\frac{12}{15}=0,8$, mệnh đề d) ĐÚNG. Hai bi cùng màu: $P(A)P(B)+P(\overline{A})P(\overline{B})=0,5\cdot 0,8+0,5\cdot 0,2=0,4+0,1=0,5\ne 0,4$, mệnh đề b) SAI. Luôn có bi đỏ (ít nhất một viên đỏ): $1-P(A)P(B)=1-0,5\cdot 0,8=0,6$, mệnh đề c) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=\frac{5}{10}=0,5\ne 0,7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất hai bi cùng màu $=0,5\cdot 0,8+0,5\cdot 0,2=0,5\ne 0,4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất luôn có bi đỏ $=1-P(A)P(B)=1-0,4=0,6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{12}{15}=0,8$.