Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất câu được cá của ba người lần lượt là $p_1=0,7$, $p_2=0,9$, $p_3=0,8$ (vì người thứ ba không câu được cá là $0,2$). Xác suất để có đúng một người câu được cá: $$P=0,7\cdot 0,1\cdot 0,2+0,3\cdot 0,9\cdot 0,2+0,3\cdot 0,1\cdot 0,8=0,014+0,054+0,024=0,092.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $0,09$.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Khi đó $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B})$, nên $A$ và $\overline{B}$ độc lập; tương tự $\overline{A}$ và $B$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập. Vậy A, B sai, C đúng. Với D: $P(A\cap (A\cup B))=P(A)$, còn $P(A)P(A\cup B)=P(A)(P(A)+P(B)-P(A)P(B))=P(A)$ chỉ khi $P(A)=1$ hoặc $P(B)=0$, nên D không đúng nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi L là biến cố 'bạn Liêm đi tiếp' với P(L)=0,8; T là biến cố 'bạn Tài đi tiếp' với P(T)=0,3. Hai biến cố độc lập. Xác suất để Liêm đi tiếp đồng thời Tài bị loại là P(L)·P(T̄)=0,8·(1−0,3)=0,8·0,7=0,56. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất không vào cầu môn mỗi lần là $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Hai lần sút độc lập nên xác suất hai lần đều không vào là ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố “bệnh nhân X bị biến chứng nặng” với P(A)=0,2; B là biến cố “bệnh nhân Y bị biến chứng nặng” với P(B)=0,9. Hai biến cố độc lập nên P(A∩B)=P(A)·P(B)=0,2·0,9=0,18. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'học sinh tỉnh X đạt yêu cầu', P(A)=0,93; B là biến cố 'học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu', P(B)=0,87. Hai biến cố độc lập.
a) Cả hai đều đạt yêu cầu: P(A∩B)=P(A)·P(B)=0,93·0,87=0,8091.
d) Có ít nhất một học sinh đạt yêu cầu: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,93+0,87−0,8091=0,9909. (Cách khác: 1−P(Ā)·P(B̄)=1−0,07·0,13=1−0,0091=0,9909.)

(AI giải đề cho tôi)
Chỉ cầu thủ cuối cùng sút trượt, 4 cầu thủ đầu sút thành công (các lần sút độc lập): $P=0,8\cdot 0,8\cdot 0,76\cdot 0,72\cdot (1-0,68)=0,8\cdot 0,8\cdot 0,76\cdot 0,72\cdot 0,32=0,11206656\approx 0,1$. Vậy xác suất làm tròn đến hàng phần mười là $0,1$.

a) Đúng. Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là $1-0,7=0,3$.
b) Đúng. Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là $0,7\cdot 0,4\cdot 0,3=0,084$.
c) Sai. Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là $1-0,3\cdot 0,6\cdot 0,7=0,874$.
d) Đúng (theo lời giải chính thức trang 8). Trường hợp 1: Phương trả lời đúng câu Tự nhiên, số điểm là 230 điểm, Phương thành quán quân cho dù trả lời sai hai câu kia; xác suất 0,7. Trường hợp 2: Phương trả lời sai câu tự nhiên, số điểm là 170 điểm, muốn trở thành quán quân thì phải trả lời đúng hai câu còn lại; xác suất $0,3\cdot 0,4\cdot 0,3=0,036$. Do đó xác suất để Phương trở thành quán quân là $0,7+0,036=0,736$.
a) Đúng. Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là $1-0,7=0,3$.
b) Đúng. Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là $0,7\cdot 0,4\cdot 0,3=0,084$.
c) Sai. Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là $1-0,3\cdot 0,6\cdot 0,7=0,874$.
d) Đúng (theo lời giải chính thức trang 8). Nếu Phương chọn "Ngôi sao hy vọng" ở câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên: Trường hợp 1: Phương trả lời đúng câu Tự nhiên. Khi đó số điểm sẽ là 230 điểm, vì vậy Phương sẽ thành quán quân cho dù trả lời sai hai câu kia. Xác suất của trường hợp này là 0,7. Trường hợp 2: Phương trả lời sai câu tự nhiên. Khi đó số điểm sẽ là 170 điểm, vì vậy muốn trở thành quán quân thì Phương phải trả lời đúng hai câu còn lại. Xác suất của trường hợp này là $0,3\cdot 0,4\cdot 0,3=0,036$. Do đó xác suất để Phương trở thành quán quân của cuộc thi này là $0,7+0,036=0,736$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lần lấy bi từ hai bình độc lập. Xác suất lấy viên bi từ bình thứ nhất màu trắng: $P(A)=\frac{6}{11}$. Xác suất lấy viên bi từ bình thứ hai màu đen: $P(B)=\frac{5}{11}$. Vì hai biến cố độc lập nên $P(A\cap B)=\frac{6}{11}\cdot \frac{5}{11}=\frac{30}{121}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 1101, câu 17: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất làm bàn của ba cầu thủ lần lượt là $x$, $y$, $0,6$ (các lần đá độc lập, $x>y$).

Xác suất cả ba đều ghi bàn: $0,6xy=0,336\Rightarrow xy=0,56$.

Xác suất ít nhất một người ghi bàn: $1-(1-x)(1-y)(1-0,6)=0,976\Rightarrow (1-x)(1-y)\cdot 0,4=0,024\Rightarrow (1-x)(1-y)=0,06$.

Suy ra $1-(x+y)+xy=0,06\Rightarrow x+y=1+0,56-0,06=1,5$.

Vậy $x,y$ là nghiệm của $t^2-1,5t+0,56=0$, có $\Delta =2,25-2,24=0,01$, nên $t=\frac{1,5\pm 0,1}{2}$, tức $t=0,8$ hoặc $t=0,7$. Vì $x>y$ nên $x=0,8$, $y=0,7$.

Xác suất có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn = xác suất đúng hai người ghi bàn + xác suất cả ba ghi bàn:
- Đúng hai người ghi bàn: $xy(0,4)+x(1-y)(0,6)+y(1-x)(0,6)=0,8\cdot 0,7\cdot 0,4+0,8\cdot 0,3\cdot 0,6+0,7\cdot 0,2\cdot 0,6=0,224+0,144+0,084=0,452$.
- Cả ba ghi bàn: $0,336$.

Vậy $P(C)=0,452+0,336=0,788$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ với $P(B)>0$. Suy ra $P(AB)=P(A|B)\cdot P(B)$. Vậy mệnh đề A đúng. Các phương án B, C, D đều sai vì không khớp công thức nhân xác suất (D đúng chỉ khi $P(A)=P(B)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)=0,2024$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'học sinh tỉnh X đạt yêu cầu', P(A)=0,93; B là biến cố 'học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu', P(B)=0,87. Vì chất lượng học tập hai tỉnh độc lập nên A, B độc lập. Biến cố 'chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu' là $A\bar{B}\cup \bar{A}B$, với $A\bar{B}$ và $\bar{A}B$ xung khắc. Do đó:
$$P=P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)=0,93\cdot 0,13+0,07\cdot 0,87=0,1209+0,0609=0,1818.$$
Vậy xác suất cần tính là $0,1818$ (tức $18,18\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$, tức $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Các phương án A, B, D đều sai vì độc lập không đồng nghĩa với quan hệ kéo theo, tương quan cùng tăng, hay xung khắc.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'viên thứ nhất không trúng', B là biến cố 'viên thứ hai không trúng', với P(A)=0,14, P(B)=0,25 và A, B độc lập. Biến cố 'có ít nhất một viên đạn không trúng đích' là A ∪ B, nên P(A ∪ B) = 1 − P(both trúng) = 1 − (1−0,14)(1−0,25) = 1 − 0,86 · 0,75 = 1 − 0,645 = 0,355. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,36.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'An lọt vào vòng chung kết' với $P(A)=0,6$, H là biến cố 'Hà lọt vào vòng chung kết' với $P(H)=0,7$. Hai biến cố độc lập. Xác suất cả hai đều không lọt vào vòng chung kết là $P(\overline{A})P(\overline{H})=(1-0,6)(1-0,7)=0,4\cdot 0,3=0,12$. Vậy xác suất có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết là $1-0,12=0,88$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$ là biến cố 'xạ thủ thứ nhất bắn trúng', $H_2$ là biến cố 'xạ thủ thứ hai bắn trúng'. Theo đề: $P(H_1)=0,8$, $P(H_2)=0,9$, suy ra $P(\overline{H_1})=0,2$, $P(\overline{H_2})=0,1$. Vì hai xạ thủ bắn độc lập nên $H_1$ và $H_2$ độc lập.

a) Biến cố A: 'xạ thủ thứ nhất trúng, xạ thủ thứ hai trượt': $A=H_1\cap \overline{H_2}$, nên $P(A)=P(H_1)\cdot P(\overline{H_2})=0,8\times 0,1=0,08$.

b) Biến cố B: 'cả hai đều trúng': $B=H_1\cap H_2$, nên $P(B)=0,8\times 0,9=0,72$.

c) Biến cố C: 'cả hai đều trượt': $C=\overline{H_1}\cap \overline{H_2}$, nên $P(C)=0,2\times 0,1=0,02$.

d) Biến cố D: 'có ít nhất một xạ thủ trúng': $D=B\cup A$ hay dùng biến cố đối $\overline{D}=C$ (cả hai đều trượt), nên $P(D)=1-P(C)=1-0,02=0,98$. (Kiểm tra: $P(D)=P(A)+P(B)=0,08+0,72+0,18$ trường hợp chỉ xạ thủ hai trúng $=0,2\times 0,9=0,18$; tổng $0,08+0,72+0,18=0,98$ đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố Hùng trúng, B là biến cố Hậu trúng, P(A)=0,6; P(B)=0,7, độc lập.
a) P(A∩B)=0,6·0,7=0,42 → đúng.
b) P(A'∩B')=0,4·0,3=0,12 ≠ 0,7 → sai.
c) Chỉ Hùng trúng: P(A∩B')=0,6·0,3=0,18 ≠ 0,6 → sai.
d) Đúng một bạn trúng: 0,18+0,4·0,7=0,18+0,28=0,46 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì hai biến cố độc lập: P(cả hai trúng)=0,6×0,7=0,42.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(cả hai trượt)=0,4×0,3=0,12, không phải 0,7.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(chỉ Hùng trúng)=0,6×0,3=0,18, không phải 0,6.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(đúng một bạn trúng)=0,6×0,3+0,4×0,7=0,18+0,28=0,46.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất Hùng bắt thỏ trắng từ lồng 1: $\frac{6}{10}=0,6$. Xác suất Hậu bắt thỏ trắng từ lồng 2: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Hai biến cố độc lập nên xác suất cả hai cùng bắt thỏ trắng là $0,6\cdot \frac{1}{3}=0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng, $B$ là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng. Hai biến cố độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Vậy chọn đáp án D.