Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ bằng số lần đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=0$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
- Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x=x_1<0$ và đổi dấu từ âm sang dương (hoặc tiếp xúc tại các điểm khác mà không đổi dấu).
- Tại các điểm khác trên đồ thị, đồ thị chỉ tiếp xúc với trục hoành hoặc không cắt đổi dấu.
Do đó $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu đúng 1 lần, suy ra hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=2,x=3$ (nghiệm đơn) và $x=4$ (nghiệm bội chẵn 4).
Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $x=2$ và $x=3$, nên hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị.

Ta thấy hàm số $y=-x^4+2x^2+3$ có $a\cdot b=-1\cdot 2<0$ nên đồ thị hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị suy ra loại câu A, C.

Mà hệ số $a=-1<0$ nên suy ra đồ thị hàm số có $1$ điểm cực tiểu và $2$ điểm cực đại.

Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x+m$, ta có ${\Delta }^{\prime }=9-3m$.

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff 9-3m>0\iff m<3$.

Vậy $m<3$.

Chọn A.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x^2(x+1)(x-1{)}^3=0⟺x=0,x=-1,x=1$.
Trong đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn (bậc 2) nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$.
Nghiệm $x=-1$ (bội 1) và $x=1$ (bội 3) là các nghiệm bội lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua chúng.
Vậy hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-2$ (từ $+$ sang $-$) và $x=0$ (từ $-$ sang $+$), không đổi dấu khi đi qua $x=2$. Do đó hàm số có $2$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$
Vì $a=1>0$ nên điểm cực đại của đồ thị hàm số đạt tại $x=0$, với $y(0)=2$. Vậy điểm cực đại là $(0;2)$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y_{\text{CĐ}}=2$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ ($y_{\text{CT}}=-1$). Do đó mệnh đề B đúng.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺(x+1{)}^2(x-1{)}^3(2-x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$.
Nghiệm $x=-1$ có bội chẵn (bậc 2) nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=-1$.
Các nghiệm $x=1$ (bội 3) và $x=2$ (bội 1) có bậc lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua chúng.
Vậy hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, nên điểm cực tiểu của hàm số là $x=-1$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+2ax+b=0$ có hai nghiệm $x=-1,x=2$, nên theo định lí Vi-ét: $\frac{2a}{3}=1\Rightarrow 2a=3$ và $-\frac{b}{3}=-2\Rightarrow b=6$. Vậy $T=b^2-2a=36-3=33$.

Dựa vào bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$ nên hoành độ điểm cực tiểu của hàm số đã cho bằng $1$.

Vì hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $3$ điểm $x_1,x_2,x_3$ nên đồ thị hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-4$, nên điểm cực đại của hàm số là $x=-4$.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1,x=0,x=2,x=4$ (tổng cộng 4 lần đổi dấu).
Do đó hàm số có 4 điểm cực trị.

Chọn D.
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua 2 điểm $x=-1$ và $x=1$.
Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu âm).
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+2a$.
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $A(2;-2)$ suy ra:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(2)=0\\ y(2)=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}3(2{)}^2-6(2)+2a=0\\ 2^3-3(2{)}^2+2a(2)+b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2a=0\\ -4+4a+b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=0\\ b=2\end{array}$.
Vậy $a+b=0+2=2$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =2\end{array}$
$y^{\prime \prime }=6x-6$.
Ta có $y^{\prime \prime }(0)=-6<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$, $y(0)=2$.

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;2)$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=1$ (nghiệm bội 1, bậc lẻ) $⟹f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$.
- $x=2$ (nghiệm bội 2, bậc chẵn) $⟹f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=2$.
- $x=3$ (nghiệm bội 3, bậc lẻ) $⟹f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=3$.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị (tại $x=1$ và $x=3$).

Chọn B.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1,x=0,x=2$.
Khi đi qua $x=4$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm).
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.