Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Quan sát đồ thị của hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$:
- Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành và đổi dấu tại 3 điểm phân biệt (qua 3 giao điểm này $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm).
- Đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại 1 điểm, qua điểm này $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu nên không tạo thành điểm cực trị.
Do đó hàm số $y=f(x)$ có đúng 3 điểm cực trị.
Chọn D.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(3m+7)$.
Hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt, tương đương:
$${\Delta }^{\prime }=[3(m+1){]}^2-3\cdot 3(3m+7)>0\iff 9(m^2+2m+1-3m-7)>0\iff m^2-m-6>0\iff [\begin{array}{c}m<-2\\ m>3\end{array}$$

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=-1$ (bội 1) và $x=\frac{5}{2}$ (bội 3). Mẫu số $x^2>0,\forall x\ne 0$. Đạo hàm đổi dấu khi qua $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2-3$.
$y^{\prime }=0\iff 3(x^2-1)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =-1\end{array}$
Bảng biến thiên cho thấy đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$.
Do đó $x=-1$ là điểm cực đại của hàm số, và giá trị cực đại là:
$y_{\text{cđ}}=y(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$.
Chọn D.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Với $x\ne 0$, ta có $y=x^{2/3}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{2}{3}{x}^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Tại $x=0$, $y^{\prime }$ không xác định, nhưng hàm số $y$ liên tục tại $x=0$ và $y(0)=0$.
Xét dấu của $y^{\prime }$:
- Khi $x<0$ thì $\sqrt[3]{x}<0\Rightarrow y^{\prime }<0$ (hàm số nghịch biến).
- Khi $x>0$ thì $\sqrt[3]{x}>0\Rightarrow y^{\prime }>0$ (hàm số đồng biến).
Đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, do đó $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
Chọn B.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Quan sát bảng xét dấu:
- Khi qua $x=-1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là một điểm cực trị (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu $+$).
- Khi qua $x=3$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=3$ là một điểm cực trị (điểm cực đại).
Vậy hàm số có tất cả 2 điểm cực trị.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có đạo hàm:
$$y^{\prime }=x^2+2x-3.$$
$$y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-3</td></tr></tbody></table>$$
Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=2x+2$.
- Tại $x=1$: $y^{\prime \prime }(1)=4>0⟹x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại $x=-3$: $y^{\prime \prime }(-3)=-4<0⟹x=-3$ là điểm cực đại của hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ và đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$. Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=1$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2$ chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=0$ (nghiệm $x=2$ là nghiệm bội chẵn), nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff x=-1\Rightarrow y=6$ hoặc $x=3\Rightarrow y=-26$. Đường thẳng $AB$ đi qua $(-1;6)$ và $(3;-26)$ có phương trình $y=-8x-2$, đi qua điểm $N(1;-10)$.

Chọn A.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=-2$ (nghiệm bội 1), $x=0$ (nghiệm bội 2), $x=1$ (nghiệm bội 3). Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ $x=-2$ và $x=1$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.
$y^{\prime \prime }=2x+2\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3+2bx=2x(2x^2+b)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x^2& =-\frac{b}{2}\end{array}$
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có 3 nghiệm phân biệt, tức là $-\frac{b}{2}>0\iff b<0$.
Chọn C.

Quan sát bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=0$ và $x=2$.
Do đó số điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là 2.
Chọn D.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=6x^2-6x=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\end{array}$
Qua $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
Với $x=0\Rightarrow y=-1$.
Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(0;-1)$.
Chọn B.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số có điểm cực đại tại $x=x_1$ và điểm cực tiểu tại $x=x_3$. Tại $x=x_2$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Căn cứ vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=-1$ và $x=1$.
Do đó hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
Chọn B.

Chọn B.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-3$ (từ âm sang dương) và khi qua $x=2$ (từ dương sang âm).
Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu dương).
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=0$, do đó hàm số có 1 điểm cực đại là $x=0$.
Chọn A.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm đơn/bội lẻ là $x=0,x=1$ và $x=2$ (bội 3). Qua cả 3 nghiệm này $f^{\prime }(x)$ đều đổi dấu, do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn C.