Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=0,x=-1$ và một nghiệm kép $x=2$.
Vì $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=-1$ nên hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x+1)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1{)}^2$.
$f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=1</td></tr></tbody></table>$
Từ bảng xét dấu ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-2$. Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.

Từ đồ thị hàm số y = f ^\prime ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f ^\prime ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Do
đó, phương trình f ^\prime ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này f ^\prime ( x ) đều đổi dấu nên số
cực trị của hàm số y = f ( x ) là 4 cực trị.

x = 0
Ta có: f ^\prime ( x ) = 0 \iff x ( x - 1)( x - 2 ) = 0 \iff x = 1 .
x = 2
Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu hàm số có 1 cực đại.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$. Mệnh đề 'đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$' là sai.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Điểm cực đại của đồ thị là $A(1;5)$, tổng hoành độ và tung độ bằng $1+5=6$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua đúng một điểm $x=0$, nên hàm số có $1$ điểm cực đại.

Chọn C.
Theo định lý dấu hiệu cực trị: Nếu $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x_0$ và hàm số liên tục tại $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=4x^3+8x=4x(x^2+2)$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff x=0$ (nghiệm đơn duy nhất).
Vì $y^{\prime }$ đổi dấu khi qua $x=0$ nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại là $y(0)=3$.

Xét hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$.
Ta có $y^{\prime }(1)=3(1{)}^2-12(1)+9=0$ và $y^{\prime \prime }(1)=6(1)-12=-6<0$.
Do đó $x=1$ là điểm cực đại của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+3m+1$ và $y^{\prime \prime }=2x-2m$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(1)=0\\ y^{\prime \prime }(1)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-2m+3m+1=0\\ 2-2m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m+2=0\\ m<1\end{array}\iff m=-2$.

Chọn đáp án B.

Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm đó theo chiều tăng của $x$.
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=3$. Tại các điểm $x=-1,x=4$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu), còn tại $x=2$, đạo hàm không đổi dấu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

Chọn đáp án D.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $y=4$, và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $y=0$.
Điểm cực đại của hàm số là $x=0$, còn $y=4$ là giá trị cực đại. Do đó mệnh đề "Hàm số đạt cực đại tại $x=4$" là sai.

Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và $x=2$ (từ $-$ sang $+$).
Tại $x=1$, đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ là $A(0;1)$ và $B(2;-3)$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $\Delta :y=-2x+1$. Để $d\perp \Delta$ thì $(2m-1)(-2)=-1\iff m=\frac{3}{4}$.

Chọn A.
Điểm cực tiểu là điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại 2 điểm là $x=-1$ và $x=4$.
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2)(x-1{)}^3(x+5)=0⟺x\in \{2;1;-5\}$.
Cả ba nghiệm đều có bậc lẻ (bội 1, bội 3, bội 1) nên đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả ba nghiệm đó. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là một điểm cực tiểu.
- Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại.
- Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=4$ là một điểm cực tiểu nữa.
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu là $x=1$ và $x=4$.

Ta có $y^{\prime }=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$. Đạo hàm $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.