Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy các số tự nhiên lẻ tăng dần là 1; 3; 5; 7; ... Số hạng đầu $u_1=1$, mỗi số hạng tăng thêm 2 đơn vị nên đây là cấp số cộng với công sai $d=2$. Do đó $u_n=u_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$. Kiểm tra: $u_1=1$, $u_2=3$, $u_3=5$, đều là số lẻ và tăng dần, thỏa mãn. Các phương án khác: $u_n=2n$ cho số chẵn; $u_n=2(n-1)=2n-2$ cho số chẵn; $u_n=2n+1$ cho dãy 3; 5; 7; ... thiếu số 1. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 021, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1$: $u_1=\frac{1}{2^1-1}=1$. Thay $n=2$: $u_2=\frac{2}{2^2-1}=\frac{2}{3}$. Vậy hai số hạng đầu tiên là $u_1=1;u_2=\frac{2}{3}$, khớp với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 021).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy A giảm (các số hạng dương nhỏ dần), dãy B không đơn điệu (dấu đổi liên tục), dãy C không đổi, dãy D: 1; 3; 5; 7; 9;⋯ có $u_{n+1}-u_n=2>0$ với mọi $n$, nên là dãy số tăng. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 267, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số tăng là dãy có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. A: hằng số (không tăng). B: giảm. C: không đơn điệu. D: $1<3<5<7<9<\dots$ với $u_{n+1}-u_n=2>0$, nên dãy tăng. Khớp đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy với $n\ge 2$ (để các số hạng xác định):
- A: $u_n=\frac{2n+1}{n-1}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+3}{n}-\frac{2n+1}{n-1}=\frac{(2n+3)(n-1)-(2n+1)n}{n(n-1)}=\frac{2n^2+n-3-2n^2-n}{n(n-1)}=\frac{-3}{n(n-1)}<0$ với mọi $n\ge 2$. Vậy dãy A giảm.
- B: $u_n=2n$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2>0$.
- C: $u_n=n^2$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$.
- D: $u_n=n^3-1$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=3n^2+3n+1>0$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: A) $u_n=2^n$ đơn điệu tăng và $u_n\to +\infty$, không bị chặn trên. B) $u_n=n^2$ tăng vô hạn, không bị chặn trên. C) $u_n=\frac{1}{n}$: với mọi $n$ ta có $0<\frac{1}{n}\le 1$, nên dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1 → dãy bị chặn. D) $u_n=\sqrt{n}$ tăng vô hạn, không bị chặn trên. Vậy chỉ dãy $u_n=\frac{1}{n}$ là dãy bị chặn, khớp đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=6$ vào công thức: $u_6=\frac{(-1{)}^6}{2^6+1}=\frac{1}{64+1}=\frac{1}{65}$. Kết quả trùng với đáp án A đã cho trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=-1$, $u_2=u_1+3=2$, $u_3=u_2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu là $-1;2;5$, khớp với đáp án D (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-1$ và $u_{n+1}=u_n+3$: $u_2=u_1+3=-1+3=2$; $u_3=u_2+3=2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu là $-1;2;5$, khớp với đáp án A (bảng đáp án mã đề 2512, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=6$ vào công thức: $u_6=\frac{(-1{)}^6}{2^6+1}=\frac{1}{64+1}=\frac{1}{65}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 2512, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=6$ vào công thức: $u_6=\frac{(-1{)}^6}{2^6+1}=\frac{1}{64+1}=\frac{1}{65}$. Vậy số hạng thứ 6 của dãy là $\frac{1}{65}$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 2511, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-1$ và $u_{n+1}=u_n+3$: $u_2=-1+3=2$, $u_3=2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu là $-1;2;5$, khớp đáp án D (bảng đáp án mã đề 2511, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$. Với $n\ge 1$ thì $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$, nên $\frac{1}{2}\le u_n<1$. Do đó dãy vừa bị chặn dưới (bởi $\frac{1}{2}$) vừa bị chặn trên (bởi $1$), tức là dãy bị chặn. Đáp án D khớp với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 17: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức: $u_5=\frac{2\cdot 5^2-1}{5^2+3}=\frac{50-1}{25+3}=\frac{49}{28}=\frac{7}{4}$. Kết quả trùng với đáp án B và với đáp án của đề (mã đề 1131, câu 22: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_5=2(25+5)=60$ → Đúng. b) Giải $2(n^2+n)=4150\iff n^2+n-2075=0$, $\Delta =1+8300=8301$ không là số chính phương nên không có $n$ nguyên → Sai. c) $u_{n+1}-u_n=2[(n+1{)}^2+(n+1)-n^2-n]=4(n+1)>0$ nên dãy tăng → Sai. d) $\frac{6}{u_n}=\frac{6}{2n(n+1)}=3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$, nên $S_n=3\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<3$ với mọi $n$, tức dãy bị chặn trên tại 3 → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 469: Đ – S – S – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=2(5^2+5)=2\cdot 30=60$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2(n^2+n)=4150\iff n^2+n-2075=0$ có $\Delta =8301$ không chính phương, không có nghiệm nguyên $n$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=4(n+1)>0$ nên dãy tăng, không phải dãy giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{6}{u_n}=3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ nên $S_n=3\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<3$: dãy bị chặn trên tại 3.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_7=7^2+7=56\ne 65$ → Sai.
b) Giải $n^2+n=5800$ → $n^2+n-5800=0$, $\Delta =1+23200=23201$, $\sqrt{23201}\approx 152,32$ không chính phương nên $n$ không nguyên → 5800 không là số hạng của dãy → Sai.
c) $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2+(n+1)-n^2-n=2n+2>0$ với mọi $n\ge 1$ → dãy tăng → Đúng.
d) $\frac{5}{u_k}=\frac{5}{k(k+1)}=5\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$, nên $S_n=5\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5n}{n+1}$, dãy tăng và tiến tới 5. Vì $S_{50}=\frac{250}{51}\approx 4,902>\frac{49}{10}=4,9$ nên dãy không bị chặn trên tại $\frac{49}{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 357: S – S – Đ – S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=7^2+7=56\ne 65$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $n^2+n=5800$ có $\Delta =23201$, $\sqrt{23201}\approx 152,32$ không nguyên, nên không có $n$ nguyên thỏa mãn; 5800 không là số hạng của dãy.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n+2>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy số tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{5}{k(k+1)}=5\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ nên $S_n=5\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5n}{n+1}\to 5$. Dãy tăng và $S_{50}=\frac{250}{51}\approx 4,902>4,9=\frac{49}{10}$, nên dãy không bị chặn trên tại $\frac{49}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n+1$ thì $v_n=2v_{n-1}$, $v_1=2$, nên $v_n=2^n$, tức $u_n=2^n-1$. Khi đó $S={\sum }_{n=1}^{20}(2^n-1)=(2^{21}-2)-20=2^{21}-22$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=3$ vào công thức tổng quát: $u_3=\frac{3\cdot 3+1}{3+2}=\frac{10}{5}=2$. Vậy số hàng thứ ba bằng 2, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 126, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1$ vào hệ thức truy hồi: $u_2=5u_1-3=5\cdot 6-3=30-3=27$. Vậy số hàng thứ hai bằng 27, tương ứng đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 126, câu 9: B).