Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề với giả thiết $a//(P)$:
- (1) SAI: $a$ chỉ song song (hoặc chéo) với các đường thẳng trong $(P)$; $a$ có thể chéo với nhiều đường thẳng nằm trong $(P)$.
- (2) ĐÚNG: Theo định lý, qua một điểm bất kỳ của $(P)$ ta vẽ được đường thẳng $d\subset (P)$ sao cho $d//a$ (lấy điểm $M\in (P)$, trong $(P)$ vẽ đường thẳng qua $M$ song song với hình chiếu của $a$; khi đó $d//a$).
- (3) ĐÚNG: Trong $(P)$ có vô số đường thẳng song song với $d$ nói trên, và tất cả đều song song với $a$.
- (4) ĐÚNG: Đường thẳng $d$ ở mệnh đề (2) cùng với $a$ tạo thành một mặt phẳng, tức $a$ và $d$ đồng phẳng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$; tương tự $\overrightarrow{G_{2}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{G_{2}M}-\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AC$ và $G_1{G}_2\parallel AC$. Do đó $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ (vì $AC$ cắt mặt $(ABD)$ tại $A$... xét kỹ: $G_1{G}_2\parallel AC$, mà $AC$ nằm trong $(ABC)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$; tương tự $G_1{G}_2$ không song song $(ABD)$? Kiểm tra lại: $G_1{G}_2\parallel AC$, $AC\subset (ABC)$ và $AC\cap (ABD)=A$, nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ đúng; với $(ABD)$: $G_1{G}_2\parallel AC$ và $AC$ không nằm trong $(ABD)$, $G_1$ không thuộc $(ABD)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ cũng đúng vì đường thẳng song song với một đường trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó — thực tế $AC$ không song song với $(ABD)$ nhưng $G_1{G}_2$ vẫn có thể song song $(ABD)$ nếu $G_1{G}_2$ song song một đường nào đó trong $(ABD)$. Tính lại bằng tọa độ: đặt $A,B,C,D$ tùy ý, $G_1=\frac{B+C+D}{3}$, $G_2=\frac{A+C+D}{3}$, nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}(\vec{A}-\vec{B})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$ và $G_1{G}_2\parallel AB$. Suy ra $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ và $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ (vì $AB$ nằm trong cả hai mặt phẳng, còn $G_1,G_2$ không thuộc các mặt phẳng đó), nên A, B đúng. Hai trung tuyến $B{G}_1$ (của tam giác $BCD$) và $A{G}_2$ (của tam giác $ACD$) cùng đi qua trung điểm $M$ của $CD$, nên ba đường thẳng $B{G}_1$, $A{G}_2$, $CD$ đồng quy tại $M$, tức C đúng. Khẳng định D sai vì $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB\ne \frac{2}{3}AB$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $M\in BC$ với $MB=2MC$ nên $\vec{M}=\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}-\vec{B}-2\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right)$. Vậy $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CD}$ (hai vectơ không cùng phương cùng xuất phát từ $C$), tức $MG\parallel (ACD)$. Mặt khác $MG$ không nằm trong $(ACD)$ vì $M\notin (ACD)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$). Ta có phân tích $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=-(\vec{a}+\vec{c})+2\left(\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}\right)=-\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{AM}$, tức $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(A{C}^{\prime }M)$, nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$ hoặc $C{B}^{\prime }\subset (A{C}^{\prime }M)$. Vì $C\notin (A{C}^{\prime }M)$ (nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{AM}$ thì so sánh hệ số theo $\vec{b}$ cho $\beta =0$, theo $\vec{c}$ cho $\alpha =1$, nhưng khi đó hệ số theo $\vec{a}$ là $1\ne 0$, vô lý) nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$. Kiểm tra các đáp án khác: với $\vec{a}=(0,0,1),\vec{b}=(1,0,0),\vec{c}=(0,1,0)$ thì $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(1,-1,1)$; $(B{C}^{\prime }M)$ có pháp tuyến $(1,0.5,0.5)$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}\cdot \vec{n}=1\ne 0$ nên $C{B}^{\prime }$ cắt $(B{C}^{\prime }M)$; $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\vec{c}-\frac{\vec{a}}{2}=(0,1,-0.5)$ và $\overrightarrow{AM}=(0.5,0,1)$ đều không cùng phương với $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$. Vậy đáp án A đúng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Trong tam giác ABC, I trung điểm AB, J trung điểm BC nên IJ là đường trung bình, do đó IJ ∥ AC. Vì IJ ⊂ (SIJ) và AC ⊄ (SIJ) nên AC ∥ (SIJ).
b) Sai. IJ ⊂ (ABC), SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B, mà B ∉ IJ (IJ là đoạn nối hai trung điểm không qua B), nên IJ không cắt SB; thực tế IJ ∥ AC và AC chéo với SB.
c) Đúng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. H là trọng tâm tam giác SAB nên SH = (2/3)SM; K là trọng tâm tam giác SBC nên SK = (2/3)SN. Trong tam giác SMN, ta có HK ∥ MN. Mà MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN ∥ AC, và IJ ∥ AC. Vậy HK ∥ IJ.
d) Đúng. HK ∥ AC (theo ý c), HK ⊂ (BHK), AC ⊂ (ABC). Hai mặt phẳng (BHK) và (ABC) có điểm chung B, nên giao tuyến là đường thẳng qua B và song song với AC (vì đường thẳng qua B trong (ABC) song song với HK chính là đường qua B song song AC).
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ ∥ AC; IJ ⊂ (SIJ), AC ⊄ (SIJ) suy ra AC ∥ (SIJ).
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ⊂ (ABC) và SB cắt (ABC) tại B, nhưng B ∉ IJ nên IJ không cắt SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gọi M, N trung điểm AB, BC. SH = (2/3)SM, SK = (2/3)SN nên HK ∥ MN ∥ AC; cũng có IJ ∥ AC, vậy HK ∥ IJ.
d) (AI giải đề cho tôi)
HK ∥ AC, HK ⊂ (BHK), AC ⊂ (ABC), hai mặt phẳng chung điểm B nên giao tuyến là đường thẳng qua B song song với AC.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Vì $MG\parallel (ACD)$ và giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là $AD$, đường thẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ trong mặt phẳng $(ABD)$ phải song song với $AD$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng qua $G$ song song với $AD$ với $BD$. Trong tam giác $ABD$, vì $G$ là trọng tâm (nằm trên trung tuyến từ $A$, cách $A$ bằng $2/3$ trung tuyến), ta có $N$ thuộc $BD$ với $BN=2\cdot ND$ (tỉ số phân đoạn $2/3$ từ $B$). Mặt phẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ theo giao tuyến qua $N$ song song với $CD$, cắt $BC$ tại $M$. Trong tam giác $BCD$, vì $NM\parallel CD$ theo định lý Thales: $BM/MC=BN/ND=2$. Vậy $MB=2\cdot MC$ nên $x=2$. Kiểm tra: với $x=2$, $M$ chia $BC$ theo tỉ số $BM:MC=2:1$, đường $MG$ nằm trong mặt phẳng qua $N$ song song $CD$ và qua $G$ song song $AD$, mặt phẳng này song song với $(ACD)$, do đó $MG\parallel (ACD)$. Thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ ba vectơ không đồng phẳng: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $AD//BC$ và $AD=xBC$ nên $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{x}\vec{d}$, suy ra $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\frac{1}{x}\vec{d}$.

Vì $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{d}}{3}$. Vì $\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}=\vec{s}+\frac{1}{3}(\vec{d}-\vec{s})=\frac{2\vec{s}+\vec{d}}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{s}}{3}$, do đó $MN//AS$ nên $MN//(SAB)$ luôn đúng với mọi $x$.

Xét $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{d}}{3}-\vec{b}-\frac{\vec{d}}{x}=-\vec{b}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}\right)\vec{d}$.

Để $CM//(SAB)$, vì $\vec{b}$ nằm trong $(SAB)$ còn $\vec{d}$ không nằm trong $(SAB)$, cần hệ số của $\vec{d}$ bằng 0: $\frac{1}{3}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x=3$.

Khi đó $MN//(SAB)$, $CM//(SAB)$ với $MN$ và $CM$ cắt nhau tại $M$ nên $(CMN)//(SAB)$. Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SMC$: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\in CM$ với $CG=\frac{2}{3}CM$; $H$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $H\in SM$ với $SH=\frac{2}{3}SM$. Suy ra $\frac{HG}{GC}$... xét theo $M$: $\frac{MH}{MS}=\frac{1}{3}=\frac{MG}{MC}$, do đó $GH\parallel SC$ (định lí Thales trong tam giác $SMC$). Vì $SC\subset (SAC)$, $SC\subset (SBC)$, $G\notin (SAC)$, $G\notin (SBC)$ nên $GH\parallel (SAC)$ và $GH\parallel (SBC)$. Lưu ý $H\in (SAB)$ nên $GH$ không song song $(SAB)$, loại D. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $MB=2MC$ nên $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ lệ $\vec{M}=\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{D}-2\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD})$. Vậy $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}$ cùng phương với mặt phẳng $(ACD)$, mà $M\notin (ACD)$ (vì $M\in BC$, $B\notin (ACD)$). Do đó $MG\parallel (ACD)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng vectơ: $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}-\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}=\frac{(\vec{A}-\vec{C})+(\vec{D}-\vec{C})}{3}$. Hai vectơ $\overrightarrow{CA}=\vec{A}-\vec{C}$ và $\overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C}$ đều nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và không cùng phương, nên $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của $(ACD)$. Mặt khác $M\in BC$ không thuộc $(ACD)$, do đó $MG//(ACD)$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng phương pháp toạ độ hoá hình. Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{c}}{2}$.

Điểm $E$ trên đường thẳng $SC$: $\overrightarrow{AE}=(1-t)\vec{s}+t\vec{c}$, khi đó $\frac{SE}{SC}=|t|$.

Vì $(\alpha )$ qua $M,N$ và song song $SP$, vectơ $\overrightarrow{ME}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}$ và $\overrightarrow{SP}=\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}$:
$$\overrightarrow{ME}=\lambda \left(\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}\right)+\mu \left(\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}\right).$$
So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $-\frac{1}{3}=\frac{\lambda }{6}\Rightarrow \lambda =-2$.
So sánh theo $\vec{s}$: $1-t=\mu$.
So sánh theo $\vec{c}$: $t=\frac{\lambda }{2}-\frac{\mu }{2}=-1-\frac{1-t}{2}$, suy ra $\frac{t}{2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow t=-3$.

Vậy $E$ nằm trên đường thẳng $SC$ (phía ngoài đoạn $SC$, qua phía $S$) và $\frac{SE}{SC}=|t|=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC$ và $AD$ (hai cạnh bên của hình thang). Vì $AB//CD$ nên tam giác $KCD$ đồng dạng với $KBA$, suy ra $\frac{KC}{KB}=\frac{CD}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$. Đặt $KB=5x$ thì $KC=3x$, do đó $BC=KB-KC=2x$ và $\frac{BC}{CK}=\frac{2}{3}$.

Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường thẳng $CE$. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $SK$ (vì $S$ thuộc cả hai mặt phẳng, $K=BC\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng). Vì $CE//(SAD)$ và $CE$ nằm trong $(SBC)$ nên $CE//SK$.

Trong tam giác $SBK$, $C$ thuộc $BK$ và $CE//SK$ nên theo định lý Thales: $\frac{BE}{ES}=\frac{BC}{CK}=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{ES}{EB}=\frac{3}{2}$, tức $m=3$, $n=2$ (phân số tối giản).

Do đó $2m+3n=2\cdot 3+3\cdot 2=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Trong mặt phẳng $(SAC)$, vì $SM=\frac{2}{3}SA$ và $SN=\frac{2}{3}SC$ nên theo định lý Thales (hoặc hệ thức: $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SC}$), ta có $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$, do đó $MN\parallel (ABC)$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).

Câu b) Ta tìm giao điểm của $AB$ với $(MNP)$ bằng phương pháp toạ độ vectơ (khẳng định điểm).

Bước 1: Tìm điểm $Q$ thuộc $(MNP)$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, cụ thể trên đường thẳng $NP$. Biểu diễn các điểm theo $S,A,B,C$:
- Vì $SM=\frac{2}{3}SA$ nên $M=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}A$.
- Vì $SN=\frac{2}{3}SC$ nên $N=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}C$.
- $P$ trung điểm $BC$: $P=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C$.

Điểm trên đường thẳng $NP$ có dạng $\lambda N+\mu P$ với $\lambda +\mu =1$:
$$\lambda N+\mu P=\frac{\lambda }{3}S+\frac{\mu }{2}B+\left(\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}\right)C.$$
Để điểm này thuộc đường thẳng $SB$ thì hệ số của $C$ bằng $0$: $\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}=0$, kết hợp $\lambda +\mu =1$ giải được $\lambda =-3,\mu =4$. Suy ra
$$Q=-3N+4P=2B-S,$$
tức $B$ là trung điểm của $SQ$ (vì $\overrightarrow{SQ}=2\overrightarrow{SB}$). Rõ ràng $Q\in NP\subset (MNP)$.

Bước 2: Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $MQ$ cắt $AB$ tại $I$. Điểm trên $MQ$ có dạng $M+t(Q-M)$:
$$M+t(Q-M)=\left(\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}\right)S+\frac{2}{3}A+2tB.$$
Để thuộc $AB$ thì hệ số của $S$ bằng $0$: $\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}$. Khi đó
$$I=\frac{3}{4}M+\frac{1}{4}Q=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B,$$
tức $I$ là trung điểm của $AB$.

Vì $M,Q\in (MNP)$ nên $MQ\subset (MNP)$, do đó $I\in (MNP)$ và $I\in AB$.

Kết luận: Giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(MNP)$ là trung điểm $K$ của cạnh $AB$ (với $K$ là giao điểm của $MQ$ và $AB$, trong đó $Q$ trên tia đối tia $SB$ sao cho $B$ là trung điểm $SQ$).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $D=(2;0;0)$, $B=(0,5;2;0)$, $C=(1,5;2;0)$ (hình thang với $AD\parallel BC$), $S=(0;0;3)$.

- $M$ là trọng tâm $△SAD$: $M=\left(\frac{S+D}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};0;1\right)$.
- $NA=\frac{NC}{2}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$, nên $N=A+\frac{1}{3}(C-A)=\left(0,5;\frac{2}{3};0\right)$.
- $PD=\frac{PC}{2}\Rightarrow \frac{DP}{DC}=\frac{1}{3}$, nên $P=D+\frac{1}{3}(C-D)=\left(\frac{11}{6};\frac{2}{3};0\right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-0,5;-2;3)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(0;-3;-2)$, phương trình $3y+2z=6$.

- $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MN\parallel (SBC)$; vì $M$ có $3\cdot 0+2\cdot 1=2\ne 6$ nên $M\notin (SBC)$.
- $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{7}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MP}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MP\parallel (SBC)$.

Vậy $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MP$ cùng song song với $(SBC)$, và $M\notin (SBC)$, suy ra $(MNP)\parallel (SBC)$.

Xét các phương án:
- A sai: hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến.
- B sai: $MN\parallel (SBC)$.
- C sai: $(MNP)$ không thể song song $(SAD)$ vì $M\in (SAD)$ mà $N,P\notin (SAD)$ (nếu song song thì $(MNP)$ phải trùng $(SAD)$, vô lý).
- D đúng: $MN\parallel (SBC)$ và $(MNP)\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18 (tự luận).

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$. $M$ là trung điểm $AB$ nên $MB=\frac{AB}{2}$; $N$ là trung điểm $CD$ nên $CN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=MB$. Tứ giác $MBCN$ có $MB\parallel CN$ (vì $AB\parallel CD$) và $MB=CN$ nên $MBCN$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $(SBC)$: $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ (vì $M\notin (SBC)$) và $MN\parallel BC$, do đó $MN\parallel (SBC)$. Tương tự, vì $AD\parallel BC$ (hình bình hành $ABCD$) nên $MN\parallel AD$; mà $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.

b) Dùng vectơ. Chọn điểm $O$ bất kỳ làm gốc. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Vì $G_2$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_2}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Suy ra $$\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{O{G}_2}-\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}.$$ Vậy $\overrightarrow{G_1{G}_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{AS}$, tức là $G_1{G}_2\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAC)$ và $G_1{G}_2\not\subset (SAC)$ (vì $G_1$ nằm trong mặt đáy $(ABC)$ và không thuộc đường thẳng $AC$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $G_1{G}_2\parallel (SAC)$. Điều phải chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ là trung điểm của $BI$ (đường trung tuyến từ $B$). Xét tam giác $BCI$: $G$ là trung điểm $BI$, đường thẳng qua $G$ song song với $CI$ cắt $BC$ tại trung điểm của $BC$. Do đó $MG\parallel (ACD)$ khi và chỉ khi $MG\parallel CI$ (vì $MG$ nằm trong mặt phẳng $(BCI)$ chứa $CI\subset (ACD)$), tức $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $MB=MC$, vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) ĐÚNG. Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AB\parallel CD$, mà $CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, suy ra $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.

b) SAI. Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (AC{D}^{\prime })$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ (vì $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$). Hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime },B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, đồng thời $A^{\prime },B$ không thuộc $(AC{D}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$ và $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song với nhau. Do đó chúng không có giao tuyến (không thể là đường thẳng $O{O}^{\prime }$).

c) SAI. Trong hình hộp, cạnh đối diện với cạnh $BC$ là cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (cạnh song song với $BC$, nằm trên mặt đối diện và không cùng thuộc một mặt nào với $BC$). Cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng nằm trong mặt $(ABCD)$, chỉ là cạnh kề song song trong hình bình hành $ABCD$, không phải cạnh đối diện của hình hộp.

d) ĐÚNG. $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$? Xét kỹ: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng $BD,B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng song song với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, còn $D\notin (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BD{C}^{\prime })$.

Đường chéo $C{A}^{\prime }$: với hệ gốc $A$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ (vector chỉ lên trên). Điểm trên $C{A}^{\prime }$: $M=\overrightarrow{AC}+t(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AC})$. Giải $M\in (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tức $M=s(\overrightarrow{AB}+\vec{u})+u(\overrightarrow{AD}+\vec{u})$ cho $s=u=\frac{1}{3}$, $t=\frac{2}{3}$, nên $M=\frac{2\vec{u}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$, đúng bằng trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với $(AC{D}^{\prime })$, nên $(AC{D}^{\prime })\parallel (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$; hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến là $O{O}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh đối diện của $BC$ trong hình hộp là $A^{\prime }{D}^{\prime }$; cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng thuộc mặt $(ABCD)$, không phải cạnh đối diện.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ nên $(BD{C}^{\prime })\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; đường chéo $C{A}^{\prime }$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$ đúng là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:

- A: $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung; ở đây $MN\subset (SAC)$ nên $MN$ KHÔNG song song với $(SAC)$. Vậy mệnh đề A là sai.

- B: Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SCD)$, $OM\not\subset (SCD)$, suy ra $OM\parallel (SCD)$. Mệnh đề đúng.

- C: $O$ cũng là trung điểm $BD$ (tâm hình bình hành), $P$ là trung điểm $SB$ nên trong tam giác $SBD$ có $PO\parallel SD$; kết hợp $OM\parallel SC$ với $OM\cap PO=O$, $SC\cap SD=S$, suy ra $(OMP)\parallel (SCD)$. Mệnh đề đúng.

- D: Trong tam giác $SAC$: $MN\parallel AC$; trong tam giác $SAB$: $MP\parallel AB$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN,MP$ trong $(MNP)$ lần lượt song song với $AC,AB$ trong $(ABCD)$, suy ra $(MNP)\parallel (ABCD)$. Mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn.