Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-9;3)\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=(3;-1)$.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ Δ₂: x−4y+3=0, một vectơ pháp tuyến là n₂=(1;−4), không phải (4;1). b) Đúng: n₁=(4;1), n₂=(1;−4), n₁·n₂=4−4=0 nên Δ₁⊥Δ₂, hai đường thẳng cắt nhau. c) Sai: vì Δ₁⊥Δ₂ nên góc giữa hai đường thẳng bằng 90°, không phải 45°. d) Đúng: bán kính R=d(A,Δ₁)=|4·1+4+9|/√(4²+1²)=17/√17=√17, nên đường tròn tâm A(1;4) có phương trình (x−1)²+(y−4)²=17.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ Δ₂: x−4y+3=0, vectơ pháp tuyến là n₂=(1;−4), không phải (4;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
n₁=(4;1), n₂=(1;−4), n₁·n₂=4·1+1·(−4)=0 nên Δ₁⊥Δ₂, do đó hai đường thẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì n₁·n₂=0 nên Δ₁ vuông góc Δ₂, góc giữa hai đường thẳng bằng 90° chứ không phải 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=d(A,Δ₁)=|4·1+4+9|/√17=17/√17=√17, nên đường tròn tâm A(1;4) tiếp xúc Δ₁ có phương trình (x−1)²+(y−4)²=17.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-y-4=0$ và $d_2:-2x+2y+6=0$. Chia hai vế của $d_2$ cho $-2$ ta được $d_2:x-y-3=0$. Cả hai đường có cùng vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1={\vec{n}}_2=(1;-1)$ nên chúng song song hoặc trùng nhau. Vì các hệ số tự do khác nhau ($-4\ne -3$), hai đường không trùng nhau mà song song. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$, suy ra vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$. Đường thẳng vuông góc với $d$ phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với $\vec{u}=(2;1)$, tức dạng $2x+y+c=0$. Xét đáp án C: $4x+2y+1=0$ có pháp tuyến $(4;2)=2(2;1)$, cùng phương với $(2;1)$, nên vuông góc với $d$. Kiểm tra: tích vô hướng $(1;-2)\cdot (4;2)=4-4=0$. Các đáp án khác: A có pháp tuyến $(1;2)$, tích $(1;-2)\cdot (1;2)=1-4=-3\ne 0$; B có pháp tuyến $(2;-1)$, tích $2+2=4\ne 0$; D có pháp tuyến $(-2;4)$ cùng phương với $(1;-2)$ nên song song với $d$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$ và ${\Delta }_2:3x-y+7=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;-1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\cdot 3+(-2)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\phi =45^{\circ }$ (hoặc $\frac{\pi }{4}$ rad).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;-4)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-1=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+16-1|}{5}=\frac{24}{5}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;1)$ và $C(2;7)$ có hệ số góc $k_{AC}=\frac{7-1}{2-0}=3$, nên phương trình: $y=3x+1$. Đường thẳng $BD$ đi qua $B(1;3)$ và $D(0;3)$ có hệ số góc $k_{BD}=\frac{3-3}{1-0}=0$, nên phương trình: $y=3$. Giao điểm thỏa $3=3x+1\Rightarrow x=\frac{2}{3}$. Vậy giao điểm là $\left(\frac{2}{3};3\right)$, chọn đáp án D.

Phương trình đường thẳng $MN$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1⟺2x+y-2=0$. Thay tọa độ điểm $A\left(\frac{1}{2};1\right)$ vào phương trình đường thẳng $MN$: $2\cdot \frac{1}{2}+1-2=0$, điều này chứng tỏ $A\in MN$. Do đó đường thẳng đi qua $A$ và có cùng phương với $MN$ chính là đường thẳng $MN$ (trùng nhau), không thể song song với $MN$. Vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$: $-5x-5=4x+4⟺9x=-9⟺x=-1⟹y=0$. Giao điểm là $M(-1;0)$. Để ba đường thẳng đồng quy thì $M\in d_3⟹0=a(-1)+3⟺a=3$.

Khoảng cách từ điểm $M(3;-4)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+16-1|}{\sqrt{25}}=\frac{24}{5}$. Chọn B.

Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d$ có phương trình $x-2y+c=0$. Vì qua $A(1;2)$ nên $1-4+c=0⟹c=3$, tức $x-2y+3=0$. Giao điểm của $2x+y+1=0$ và $x-2y+3=0$ là $(-1;1)$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn đi qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ ($a,b\ne 0$) là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-3;6)=-3(1;-2)$. Đường cao qua $A$ vuông góc với $BC$: $1(x-5)-2(y-3)=0\iff x-2y+1=0$.
$\overrightarrow{AC}=(-6;2)=-2(3;-1)$. Đường cao qua $B$ vuông góc với $AC$: $3(x-2)-1(y+1)=0\iff 3x-y-7=0$.
Tọa độ trực tâm $H(x;y)$ thỏa mãn hệ:
$\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 3x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$.
Vậy $2x+y=2(3)+2=8$.

Từ $3x+5y+2018=0⟺y=-\frac{3}{5}x-\frac{2018}{5}$, suy ra hệ số góc của $d$ là $k=-\frac{3}{5}\ne \frac{5}{3}$. Chọn đáp án B.

Gọi $M(2+2t;3+t)\in d$. Ta có $AM=5⟺(2+2t{)}^2+(2+t{)}^2=25⟺5t^2+12t-17=0⟺t=1$ hoặc $t=-\frac{17}{5}$. Vì $M$ có hoành độ âm nên $t=-\frac{17}{5}⟹M\left(-\frac{24}{5};-\frac{2}{5}\right)$. Chọn đáp án B.

Đường thẳng đi qua các điểm $(0;-1)$, $(-3;4)$ và $(3;-6)$, nên có phương trình $y=\frac{-5x}{3}-1$. Chọn đáp án A.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1)$. Phương trình đường thẳng qua $M(2;-1)$ là $(x-2)+(y+1)=0⟺x+y-1=0$. Chọn đáp án C.

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3a+b=-1\\ -4a+b=13\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=5\end{array}$. Chọn đáp án C.

Cạnh của hình vuông bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$: $a=d(AB,CD)=\frac{|-3-10|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\sqrt{13}$. Diện tích hình vuông là $S=a^2=13$. Chọn đáp án D.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;2)$ nên đường thẳng $d$ nhận $\vec{u}=-2\overrightarrow{AB}=(6;-4)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua $A(1;3)$. Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{l}x=1+6t\\ y=3-4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Chọn đáp án C.