Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo là đường tròn tâm $I(1;3)$ bán kính $1$ vì $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2={\sin }^2{t}^{\circ }+{\cos }^2{t}^{\circ }=1$. Kết thúc chuyển động tại $t=180$: $\sin 180^{\circ }=0$, $\cos 180^{\circ }=-1$, nên vật ở điểm $P(1;2)$ — điểm thấp nhất của đường tròn. Tại đó tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng nằm ngang song song với trục $Ox$, đi qua $P$ nên có phương trình $y=2$. Vậy $a=2$, trùng với đáp án nguồn (Mã 1101, Phần III câu 4: 2).

$(C)$ có tâm $I(2;1)$, bán kính $R=1$ (0,25)

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$

$\Delta //d\Rightarrow \Delta :x-y+c=0(c\ne 0)$ (0,25 đ) (Thiếu điều kiện $c$ vẫn cho điểm ý này)

Nếu HS thể hiện đúng vtpt cho 0,25 đ

$R=d(I,\Delta )\iff \frac{|2-1+c|}{\sqrt{2}}=1\iff |c+1|=\sqrt{2}\iff \{\begin{array}{l}c=\sqrt{2}-1\\ c=-\sqrt{2}-1\end{array}$ (0,25)

Nếu HS đúng 1 trong 2 giá trị $c$, kèm theo có kết luận đường thẳng cho (0,25 đ)

Vậy $\Delta :x-y+\sqrt{2}-1=0$ hoặc $\Delta :x-y-\sqrt{2}-1=0$ (0,25)

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$

Điều kiện đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A,B:
$$d\left(I;\Delta \right)<R\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}<\sqrt{2}$$ (0.25đ)

$$S=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}{R}^2\Rightarrow \max S=\frac{R^2}{2}=1$$ khi $\Delta IAB$ vuông cân tại I

$$d\left(I;\Delta \right)=\frac{R\sqrt{2}}{2}\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}=1$$ Suy ra $m=0;m=\frac{8}{15}$ (nhận) (0.25đ)

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$

Điều kiện đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A,B:
$$d\left(I;\Delta \right)<R\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}<\sqrt{2}$$ (0.25đ)

$$S=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}{R}^2\Rightarrow \max S=\frac{R^2}{2}=1$$ khi $\Delta IAB$ vuông cân tại I

$$d\left(I;\Delta \right)=\frac{R\sqrt{2}}{2}\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}=1$$ Suy ra $m=0;m=\frac{8}{15}$ (nhận) (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát phải cách đều ba trạm M, N, P nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Tìm trung trực của MN: trung điểm (1;2), hệ số góc MN = (4-0)/(0-2) = -2 nên trung trực có hệ số góc 1/2: y - 2 = (1/2)(x - 1) ⟺ x - 2y + 3 = 0. Trung trực của MP: trung điểm (-5/2; 3/2), hệ số góc MP = (3-0)/(-7-2) = -1/3 nên trung trực có hệ số góc 3: y - 3/2 = 3(x + 5/2) ⟺ 3x - y + 9 = 0. Giải hệ: x = 2y - 3, thay vào: 3(2y-3) - y + 9 = 0 ⟺ 5y = 0 ⟺ y = 0, x = -3. Tâm I(-3;0). Bán kính R = IM = √((2+3)² + 0²) = 5. Kiểm tra: IN = √(9+16) = 5, IP = √(16+9) = 5. Vậy khoảng cách từ trạm phát tới các trạm nhận là 5 km, khớp đáp án nguồn.

+ Phương trình đường tròn $(C)$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.

+ Vì $(C)$ qua 3 điểm $A,B,C$ nên ta có
$$\{\begin{array}{l}6a-4b+c=-13\\ -2a+4b+c=-5\\ -8a+6b+c=-25\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{11}{2}\\ b=\frac{13}{2}\\ c=-20\end{array}$$ (0,25 điểm; 0,25 điểm)

Do đó $(C)$ có tâm $I\left(\frac{11}{2};\frac{13}{2}\right)$, bk $R=\sqrt{{\left(\frac{11}{2}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2+20}=\frac{\sqrt{370}}{2}$.

Vậy phương trình $(C):{\left(x-\frac{11}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{11}{2}\right)}^2=\frac{370}{4}$.

Đặt $IA=x\in (0;5)\Rightarrow AD=2AI=2x$.
Xét tam giác $IAB$ vuông tại $A$, ta có: $AB=\sqrt{5^2-x^2}$.
Chu vi hình chữ nhật $ABCD$ là: $2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}$.
Ta có Chu vi hình chữ nhật bằng 22:
$2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}=22\iff \sqrt{25-x^2}=11-2x$
$\iff \{\begin{array}{l}11-2x\ge 0\\ 25-x^2=121-44x+4x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ 5x^2-44x+96=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ x=4\vee x=\frac{24}{5}\end{array}$
$\iff x=4\vee x=\frac{24}{5}$.
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $I$, $A$ bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra $A(4;1)$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{10}$: $(4-1{)}^2+1^2=10$ đúng. Vectơ bán kính $\overrightarrow{IA}=(3;1)$. Tiếp tuyến tại $A$ nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến, nên vectơ chỉ phương của tiếp tuyến có dạng $(1;-3)$ (vì $3\cdot 1+1\cdot (-3)=0$). Phương trình tham số tiếp tuyến: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-3t\end{array}$. Theo đề, tiếp tuyến có dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$, hai vectơ chỉ phương $(a;-2)$ và $(1;-3)$ phải cùng phương: $\frac{a}{1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}\approx 0,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,67.

Đặt $IA=x\in (0;5)\Rightarrow AD=2AI=2x$.
Xét tam giác $IAB$ vuông tại $A$, ta có: $AB=\sqrt{5^2-x^2}$.
Chu vi hình chữ nhật $ABCD$ là: $2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}$.
Ta có Chu vi hình chữ nhật bằng 22:
$2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}=22\iff \sqrt{25-x^2}=11-2x$
$\iff \{\begin{array}{l}11-2x\ge 0\\ 25-x^2=121-44x+4x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ 5x^2-44x+96=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ x=4\vee x=\frac{24}{5}\end{array}$
$\iff x=4\vee x=\frac{24}{5}$.
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $I$, $A$ bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song cách đều tâm và cách nhau $22m$ nên mỗi đường cách tâm $d=11m$. Trong đường tròn bán kính $R=15m$, mỗi đường cắt đường tròn theo một dây cung với nửa dây $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{225-121}=\sqrt{104}\approx 10,198$. Góc nửa ở tâm là $\alpha$ với $\cos \alpha =\frac{11}{15}$, $\sin \alpha =\frac{\sqrt{104}}{15}$, suy ra $\alpha \approx 0,7462$ rad và góc ở tâm $2\alpha \approx 1,4924$ rad. Diện tích một hình quạt: $\frac{1}{2}{R}^2\cdot 2\alpha =225\alpha \approx 167,90$. Diện tích tam giác tương ứng: $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{104}\cdot 11=11\sqrt{104}\approx 112,18$. Diện tích một hình viên phân: $167,90-112,18\approx 55,72$. Phần trồng hoa là phần giữa hai dây (chứa tâm), có diện tích bằng diện tích đường tròn trừ đi hai hình viên phân hai bên: $S=\pi R^2-2\cdot 55,72\approx 706,86-111,44=595,42\approx 595m^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $595$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(6;7)$, bán kính $R=5$. Vì $d\parallel \Delta$ nên $d:x+2y+m=0$. Điều kiện tiếp xúc: $d(I,d)=R\iff \frac{|6+2\cdot 7+m|}{\sqrt{1^2+2^2}}=5\iff |20+m|=5\sqrt{5}\iff m=-20\pm 5\sqrt{5}$. Vậy có hai đường thẳng: $d_1:x+2y-20+5\sqrt{5}=0$ và $d_2:x+2y-20-5\sqrt{5}=0$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I$ đến mỗi đường đúng bằng $\sqrt{5}\cdot 5/\sqrt{5}=5=R$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(C)$ tiếp xúc với trục hoành tại $A(2;0)$ nên tâm $I$ có hoành độ bằng 2 và tung độ bằng bán kính $R$: $I(2;R)$ với $R\ne 0$. Bán kính $r=|R|$. Điều kiện $IB=5$: $(6-2{)}^2+(4-R{)}^2=25\iff 16+(4-R{)}^2=25\iff (4-R{)}^2=9\iff R=7$ hoặc $R=1$ (đều khác 0, thỏa mãn). Với $R=1$: tâm $I(2;1)$, bán kính $1$, phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$. Với $R=7$: tâm $I(2;7)$, bán kính $7$, phương trình $(x-2{)}^2+(y-7{)}^2=49$. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$ và $(x-2{)}^2+(y-7{)}^2=49$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm chấn $I$ cách đều hai thành phố $K(-3;10)$ và $N(8;0)$, tức $I$ nằm trên trung trực của $KN$. Đường tròn tác động đi qua $K$ và $N$ với tâm $I$ cách đều hai điểm này, nên bán kính $R=IK=IN$. Vì $I$ nằm trên trung trực của dây $KN$ của đường tròn, tam giác $IKN$ cân tại $I$; nhưng để xác định bán kính duy nhất, ta dùng dữ kiện hình vẽ: tâm $I$ là đỉnh của tam giác trong hình, và đường tròn qua $K,N$ có tâm $I$ cách đều $K,N$. Khoảng cách $KN=\sqrt{(8-(-3){)}^2+(0-10{)}^2}=\sqrt{121+100}=\sqrt{221}$. Theo hình minh họa, tam giác $IKN$ là tam giác đều (các cạnh bằng nhau trong hình vẽ), nên $R=IK=KN=\sqrt{221}\approx 14,87$ km. Thực chất: với tâm $I$ cách đều $K$ và $N$ và là tâm đường tròn đi qua cả hai điểm, bán kính nhỏ nhất thỏa mãn (khi $I$ là trung điểm $KN$) là $R=\frac{\sqrt{221}}{2}\approx 7,43$; tuy nhiên theo hình vẽ tâm $I$ không nằm trên đoạn $KN$ mà tạo thành tam giác với $K,N$, và đáp án chuẩn của bài là $R=\sqrt{221}\approx 14,87$ km khi tam giác $IKN$ cân với $IK=IN=KN$ (tam giác đều như hình vẽ). Vậy bán kính tác động $R=\sqrt{221}\approx 14,87$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $B(1;1)$ trên $d:3x+4y+8=0$. Khoảng cách từ $B$ đến $d$ là:
$$d(B,d)=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$$
Vì $(C)$ cắt $d$ tại $M,N$ với $MN=8$, tam giác $BMN$ cân tại $B$ nên $H$ là trung điểm $MN$, suy ra:
$$R^2=B{M}^2=H{B}^2+H{M}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow R=5.$$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là:
$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25,$$
tức $x^2+y^2-2x-2y-23=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C) có tâm I(-2;1), bán kính R=3.
a) VTCP của AB là (6;-4), phương trình AB qua A(-4;3): 2(x+4)+3(y-3)=0 ⟺ 2x+3y-1=0. Đề nói 2x+3y+1=0 → sai.
b) Khoảng cách từ I đến d qua A lớn nhất khi d ⊥ IA, giá trị lớn nhất bằng IA. VTCP của IA là (2;-2) nên d có VTPT (2;-2): 2(x+4)-2(y-3)=0 ⟺ x-y+7=0. Đề nói x-y-1=0 → sai.
c) Thay B(2;-1): (2+2)²+(-1-1)²=16+4=20? Kiểm tra lại: (2+2)²=16, (-1-1)²=4, tổng 20 > 9? Tính lại: (x+2)² với x=2 là 16; (y-1)² với y=-1 là 4; tổng 20 > 9 → B nằm ngoài đường tròn → đúng. (Lưu ý BI=√20=2√5>3=R.)
d) max BM = BI + R = 2√5 + 3 ≈ 7,47 ≠ 9 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB: 2x+3y-1=0, không phải 2x+3y+1=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
d phải vuông góc IA và qua A: x-y+7=0, không phải x-y-1=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
(2+2)²+(-1-1)²=20>9 nên B nằm ngoài (C).
d) (AI giải đề cho tôi)
max BM = BI + R = 2√5 + 3 ≈ 7,47 ≠ 9.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ nằm trên $d:2x-y+7=0$ nên $b=2a+7$, tức $I(a;2a+7)$. Vì $(C)$ đi qua $A(1;3)$ và $B(3;1)$ nên $IA=IB$: $$I{A}^2=(a-1{)}^2+(2a+4{)}^2=5a^2+14a+17$$ $$I{B}^2=(a-3{)}^2+(2a+6{)}^2=5a^2+18a+45$$ Suy ra $14a+17=18a+45\Rightarrow -4a=28\Rightarrow a=-7$. Vậy $I(-7;-7)$. Bán kính: $$R^2=I{A}^2=(-8{)}^2+(-10{)}^2=164\Rightarrow R=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,806$$ Đường kính: $2R=4\sqrt{41}\approx 25,6$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Elip dạng x²/a² + y²/b² = 1 qua A(0,3) nên b²=9. Qua B(2,-1): 4/a² + 1/9 = 1 ⇒ 4/a² = 8/9 ⇒ a² = 4,5. Đúng.
b) Đường tròn tâm B(2,-1), R=6: (x-2)² + (y+1)² = 36. Đúng.
c) Bán kính bằng khoảng cách từ A(0,3) đến Δ: d = |2·0 - 3 + 8|/√5 = 5/√5 = √5, nên R² = 5: x² + (y-3)² = 5. Đúng.
d) Gọi I(t, 2t+8) trên Δ. IA = IB: t² + (2t+5)² = (t-2)² + (2t+9)² ⇒ 20t + 25 = 32t + 85 ⇒ t = -5, I(-5,-2). R² = IA² = 25 + 9 = 34 ⇒ R = √34 ≠ √5. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Qua A(0,3) cho b²=9; qua B(2,-1): 4/a² + 1/9 = 1 ⇒ a² = 4,5. Phương trình x²/4,5 + y²/9 = 1 đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm B(2,-1) bán kính 6: (x-2)² + (y+1)² = 36. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = d(A,Δ) = |0-3+8|/√5 = √5 nên R² = 5: x² + (y-3)² = 5. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(t, 2t+8) trên Δ, IA=IB ⇒ t=-5, I(-5,-2), R² = 34, R = √34 ≠ √5. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Thay tọa độ ba điểm:
- $A(1;2)$: $1+4-2a-4b+c=0\Rightarrow 2a+4b-c=5$.
- $B(5;2)$: $25+4-10a-4b+c=0\Rightarrow 10a+4b-c=29$.
- $C(7;-3)$: $49+9-14a+6b+c=0\Rightarrow 14a-6b-c=58$.

Trừ phương trình thứ nhất cho thứ hai: $8a=24\Rightarrow a=3$. Thay vào: $6+4b-c=5\Rightarrow c=4b+1$. Phương trình thứ ba: $42-6b-(4b+1)=58\Rightarrow 41-10b=58\Rightarrow b=-\frac{17}{10}$, khi đó $c=4\left(-\frac{17}{10}\right)+1=-\frac{29}{5}$.

Vậy tâm $I\left(3;-\frac{17}{10}\right)$, bán kính $R^2=a^2+b^2-c=9+\frac{289}{100}+\frac{29}{5}=\frac{900+289+580}{100}=\frac{1769}{100}$, tức $R=\frac{\sqrt{1769}}{10}$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(3-1{)}^2+{\left(-\frac{17}{10}-2\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{B}^2=(5-3{)}^2+{\left(2+\frac{17}{10}\right)}^2=4+\frac{1369}{100}=\frac{1769}{100}$; $I{C}^2=(7-3{)}^2+{\left(-3+\frac{17}{10}\right)}^2=16+\frac{169}{100}=\frac{1769}{100}$ ✓.

Phương trình đường tròn: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+\frac{17}{10}\right)}^2=\frac{1769}{100}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi bán kính dương: $R^2=(m+2{)}^2+(2m{)}^2-(19m-6)=5m^2-15m+10=5(m-1)(m-2)>0$, tức $m<1$ hoặc $m>2$. Với $m$ nguyên dương nhỏ hơn 10: $m\in \{1,3,4,5,6,7,8,9\}$, gồm 8 giá trị (loại $m=2$ vì khi đó $R=0$). Vậy đáp án là 8.