Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

Lời giải (nguồn: trang 20, bảng hướng dẫn giải mã đề 1002, 1004):

$△SAB$ đều có $SK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SK\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SK\subset (SAB)\\ SK\perp AB\end{array}$



$\Rightarrow SK\perp (ABCD)$

Mà $CD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SK\perp CD$

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

Tam giác $SAB$ đều có $SI$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SI\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SI\subset (SAB)\\ SI\perp AB\end{array}$

$\Rightarrow SI\perp (ABCD)$

Mà $BC\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SI\perp BC$

$△ABC$ đều có $SK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $SK\perp AB$

Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\perp (ABCD)\\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\\ SK\subset (SAB)\\ SK\perp AB\end{array}$



$\Rightarrow SK\perp (ABCD)$

Mà $CD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SK\perp CD$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$, $SA\perp AC$ và $AB,AC$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SA\perp (ABC)$. Các phương án khác sai vì: $AB$ không vuông góc với $SA$ trong $(SAC)$ (thực tế $AB$ chỉ vuông góc $SA$, không vuông góc với cả $AC$ nói chung), $BC$ không vuông góc $(SAC)$, $AC$ không vuông góc $(SBC)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $△OAB$ đều nên đường trung tuyến $OI\perp AB$. Vì $△ABC$ đều nên đường trung tuyến $CI\perp AB$. Trong mặt phẳng $(OIC)$ có hai đường thẳng cắt $OI$ và $CI$ cùng vuông góc với $AB$, nên $AB\perp (OIC)$. Các khẳng định khác không suy ra được: $OI$ không chắc vuông góc $(ABC)$ (chỉ khi thêm điều kiện), $AB$ không vuông góc $(OBC)$ vì $AB$ không vuông góc $OB$, và $CI$ không chắc vuông góc $(OAB)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102: câu 6 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $△ABC$ và $△OAB$ đều chung cạnh $AB$ nên $CI\perp AB$ và $OI\perp AB$ (đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Suy ra $AB\perp (OIC)$. Các khẳng định B, C, D sai vì $CI$ không vuông góc $OI$ nên không thể vuông góc mặt $(OAB)$ hay $(ABC)$; tương tự $AB$ không vuông góc $(OBC)$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; mặt khác $AB\perp BC$ (đáy là hình vuông) nên $BC\perp (SAB)$ → A đúng. Tương tự $SA\perp CD$ và $AD\perp CD$ nên $CD\perp (SAD)$ → C đúng. Vì $SA\perp BD$ và $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$) nên $BD\perp (SAC)$ → B đúng. Xét D: nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SB$. Nhưng do $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$, suy ra tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (có $BC\perp SB$), nên góc tại $S$ không thể là góc vuông, tức $SC$ không vuông góc với $SB$. Vậy khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, $SA\perp CD$, $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $BC\perp AB$, $CD\perp AD$, $BD\perp AC$.
- $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$: đúng.
- $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$: đúng.
- $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$: đúng.
- Xét $SC$ và $(SBD)$: giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$. Nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SO$. Nhưng trong tam giác $SOC$, $SO\perp OC$ (tính chất đường chéo hình vuông) nên tam giác $SOC$ vuông tại $O$, do đó $SC$ là cạnh huyền, không thể vuông góc với $SO$. Vậy $SC$ không vuông góc với $(SBD)$, khẳng định B là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$, $SA\perp BD$, $SA\perp BC$. Đáy là hình vuông nên $CD\perp AD$, $BD\perp AC$, $BC\perp AB$. Do đó: $CD\perp (SAD)$ (A đúng); $BD\perp (SAC)$ (B đúng); $BC\perp (SAB)$ (D đúng). Với C: nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SB$, nhưng tam giác $SBC$ có $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SB$, tức tam giác $SBC$ vuông tại $B$, không thể vuông tại $S$. Vậy khẳng định $SC\perp (SBD)$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\parallel a$ (hai đường thẳng phân biệt) nên theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề A đúng, còn mệnh đề B ('Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$') là sai — đây là mệnh đề cần chọn. Kiểm tra các mệnh đề còn lại: C đúng vì nếu $b\parallel (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, nói riêng $b\perp a$; D đúng vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau (và $a,b$ phân biệt nên không trùng nhau). Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$, xét từng mệnh đề: A đúng vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ không vuông góc với $(P)$, mà đường thẳng vuông góc với $a$ khi $a\perp (P)$... cụ thể: mọi đường thẳng song song với $(P)$ đều vuông góc với pháp tuyến $a$ của $(P)$. D đúng vì nếu $b//a$ và $a\perp (P)$ thì $b\perp (P)$. C sai: nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$ (không thể $b//(P)$ vì $b$ vuông góc với $(P)$). Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ vì $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$. Kiểm tra các phương án khác: $BC$ không vuông góc với $SC$ nên A sai; $AC$ không vuông góc với $SA$... thực tế $AC$ không vuông góc với $BD$ theo chiều chung nên B sai; $BC$ không vuông góc với $SA$... $BC\parallel AD$ và $BC$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại $C$ nên C sai. Đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Mặt khác $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi và chỉ khi $\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$. Vì $(P)$ chứa hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$, điều kiện đủ là $\Delta \perp a$, $\Delta \perp b$ và $a$ cắt $b$. Các phương án khác không đủ: nếu $a\parallel b$ thì $\Delta \perp a$, $\Delta \perp b$ chỉ cho $\Delta \perp a$ mà không kết luận được $\Delta \perp (P)$; nếu chỉ $\Delta \perp a$ và $a$ cắt $b$ cũng chưa đủ. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (câu 4 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$, do đó $AC\perp AB$ (đúng). Từ $BC\perp AC$ và $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAC)$, nên $BC\perp SC$, kết hợp $AB\perp AC$ và $AB\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) suy ra $AB\perp (SAC)$, tức $AB\perp SC$ (đúng). Vậy C và D đúng. Mệnh đề A sai: $BC\perp (SAC)$ chỉ kéo theo $BC$ vuông với các đường thẳng nằm trong $(SAC)$, còn $SB$ không nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ nên không kết luận được $BC\perp SB$. Đáp án: A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Các khẳng định khác sai: $AC$ không vuông góc với $AB$ nên $AC$ không vuông góc $(SAB)$; $BC$ không vuông góc với $AD$ nên không vuông góc $(SAD)$; $SA$ nằm trong $(SBC)$... thực tế $SA$ cắt $(SBC)$ tại $S$ và không vuông góc. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp AB$. Từ đó $AD\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy khẳng định C đúng. Các phương án khác sai: $BC$ không vuông góc với $(SAD)$ vì $BC\parallel AD$ nhưng $BC$ không nằm trong mặt phẳng đó và không vuông góc với $SA$ tại một điểm chung; $SA$ không thể vuông góc với $(SBC)$ hay $(SCD)$ vì $SA$ cắt các mặt phẳng đó tại $S$ và không vuông góc với mọi đường thẳng trong chúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (A đúng). Đáy $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$ (B đúng). Ta có $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, với $AB$ và $SA$ cắt nhau tại $A$ cùng thuộc $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$; vì $SB\subset (SAB)$ nên $BC\perp SB$, tức $SB\perp BC$ (C đúng). Với mệnh đề D: từ $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ chỉ suy ra $AB$ vuông góc với các đường thẳng trong mặt phẳng $(SAC)$... thực chất $AB$ không vuông góc với $AC$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên góc $BAC\ne 90^{\circ }$), do đó không thể có $AB\perp SC$; nói chung góc giữa $AB$ và $SC$ không phải $90^{\circ }$. Vậy mệnh đề sai là D, khớp đáp án chính thức mã đề 1101 (D).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông tại $B$ nên mặt $(ABC)$ là tam giác vuông. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AC$, do đó mặt $(SAB)$ vuông tại $A$ và mặt $(SAC)$ vuông tại $A$. Mặt khác, $BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$, tức mặt $(SBC)$ vuông tại $B$. Vậy cả 4 mặt đều là tam giác vuông. Khớp với đáp án nguồn: D.