Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$ và $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$. Khi đó $A=\frac{2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)}{2\cos x(\cos 2x+\sin 2x)}=\tan 2x$ (với điều kiện biểu thức xác định). Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

a) Ta có: $\cot \alpha =\frac{5}{4}$. Do $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{16}{41}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{4\sqrt{41}}{41}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{4\sqrt{41}}{41}$.
b) Viết công thức khai triển: $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{1-\frac{4}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{1}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)+\sin (a+b)\right]$; $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$; $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]$. So sánh với các phương án: B, C, D đều đúng. Phương án A viết $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)-\cos (a+b)\right]$ là sai (vế phải phải là tổng hai sin, không phải hiệu sin và cos). Vậy công thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x và cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x. Khi đó A = [sin 2x(2 cos x + 1)]/[cos 2x(2 cos x + 1)] = tan 2x (với điều kiện các mẫu khác 0). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0, cosα=-√(1-1/9)=-2√2/3, tanα=sinα/cosα=-√2/4, cotα=-2√2.
a) sin(α+π/3)=sinα·cos(π/3)+cosα·sin(π/3)=1/3·1/2+(-2√2/3)(√3/2)=1/6-2√6/6=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 → Sai.
b) α thuộc góc phần tư thứ II nên cosα<0 → Đúng.
c) (2cotα+3tanα)/(5cotα-4tanα)=(2(-2√2)+3(-√2/4))/(5(-2√2)-4(-√2/4))=(-19√2/4)/(-9√2)=19/36≠7/12 → Sai.
d) cos2α=1-2sin²α=1-2/9=7/9≠-7/9 → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3)=1/6-2√6/6=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên α ở góc phần tư thứ II, cosα<0, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay tanα=-√2/4, cotα=-2√2, biểu thức bằng 19/36≠7/12 nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=7/9≠-7/9 nên Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{2}\approx -1,414$, làm tròn đến hàng phần mười: $-1,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cosα<0. a) Đúng. Với sinα=1/3, ta có cosα=-√(1-1/9)=-2√2/3. b) cos2α=1-2sin²α=1-2/9=7/9≠-7/9 nên Sai. c) sin(α+π/3)=sinα·cos(π/3)+cosα·sin(π/3)=1/6+(-2√2/3)(√3/2)=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 nên Sai. d) tanα=sinα/cosα=-1/(2√2), cotα=-2√2. Tử số: 2cotα+3tanα=-4√2-3/(2√2)=-19/(2√2). Mẫu số: 5cotα-4tanα=-10√2+2/√2=-18/√2. Thương bằng (-19/(2√2))·(√2/(-18))=19/36≠7/12 nên Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng; b), c), d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
α∈(π/2,π) nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó cosα<0. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=1-2·(1/9)=7/9≠-7/9. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosα=-2√2/3 nên sin(α+π/3)=(1/3)(1/2)+(-2√2/3)(√3/2)=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=-1/(2√2), cotα=-2√2. Biểu thức=(2·(-2√2)+3·(-1/(2√2)))/(5·(-2√2)-4·(-1/(2√2)))=(-19/(2√2))/(-18/√2)=19/36≠7/12. Sai.

Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{7}{16}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\\ \sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}$ (0.25 điểm)

Do $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$. Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (0.25 điểm)

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\sqrt{7}}{3}$ (0.25 điểm)

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=-3\sqrt{7}$ (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx -0,9428\approx -0,9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Do đó $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144}{169}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{12}{13}\\ \cos \alpha =-\frac{12}{13}\end{array}$ (0.25 điểm)

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{12}{13}$ (0.25 điểm)

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-5}{12}$ (0.25 điểm)

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{-120}{119}$ (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai sin: $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Với $A=x+\frac{\pi }{3}$, $B=x-\frac{\pi }{3}$ ta có $f(x)=2\sin x\cos \frac{\pi }{3}=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x$. Do đó $\max f(x)=1$, đạt khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đáp số Câu 1 Phần III là 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần ba, do đó $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$.

Áp dụng công thức hiệu hai góc:
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}+4}{10}.$$

So sánh với $\frac{a\sqrt{3}+b}{10}$ ta được $a=-3$, $b=4$, suy ra $a+2b=-3+8=5$. Kết quả khớp với đáp án đề 102, Phần III Câu 2 = 5.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cos: $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Với $A=x+\frac{\pi }{3}$, $B=x-\frac{\pi }{3}$ ta được $f(x)=2\cos x\cos \frac{\pi }{3}=2\cos x\cdot \frac{1}{2}=\cos x$. Do đó $\max f(x)=1$, đạt khi $x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III Câu 1, đề 101: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos x<0$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$. Suy ra $a=-3$, $b=-4$, do đó $2a-b=2(-3)-(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, góc $\alpha$ ở góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha >0$. b) Đúng: $\cot \alpha =3\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{3}$; $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4/3}{2/3}=2$. c) Đúng: đồ thị $y=\cos x$ đi qua $(0;1)$, đạt đỉnh $1$ tại $x=2k\pi$ và $-1$ tại $x=\pi +2k\pi$, khớp với hình vẽ. d) Sai: $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{5\pi }{3}+k2\pi$, không phải $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$). Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha >0$, do đó khẳng định $\sin \alpha <0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =3\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{3}$. Áp dụng công thức cộng: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=\cos x$ có $y(0)=1$, đạt giá trị $1$ tại $x=2k\pi$ và $-1$ tại $x=\pi +2k\pi$, đúng như hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \alpha =2>0$ và $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{2}$. Với $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$: ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$, nên $\sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức: $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{3\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x}$ cho $\cos x\ne 0$ (vì $\tan x=2$), ta được $P=\frac{3\tan x-1}{\tan x+2}=\frac{3\cdot 2-1}{2+2}=\frac{5}{4}$. Vậy đáp án A.