Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5.

a) Ta có $\sin (x-76^{\circ })=\sin (x+14^{\circ }-90^{\circ })=-\cos (x+14^{\circ })$ và $\sin (x-16^{\circ })=\sin (x+74^{\circ }-90^{\circ })=-\cos (x+74^{\circ })$. Do đó
$$A=\sin (x+14^{\circ })\sin (x+74^{\circ })+\cos (x+14^{\circ })\cos (x+74^{\circ })=\cos ((x+14^{\circ })-(x+74^{\circ }))=\cos (-60^{\circ })=\frac{1}{2}.$$

b) Vì $\tan (-\alpha +11\pi )=\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$ nên $1+{\tan }^2(-\alpha +11\pi )=1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$. Mặt khác $\sin \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \alpha$, nên ${\sin }^2\left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)={\cos }^2\alpha$. Vậy
$$C=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot {\cos }^2\alpha =1(\cos \alpha \ne 0).$$

d) Áp dụng công thức tổng thành tích:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$
Suy ra
$$D=\frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\tan 2x,$$
(với điều kiện biểu thức có nghĩa: $\cos 2x\ne 0$, $2\cos x+1\ne 0$, $\cos x\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $3\pi <a<\frac{7\pi }{2}$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0,\cos a<0$. Với $\tan a=5$ và ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ ta được $\sin a=-\frac{5}{\sqrt{26}},\cos a=-\frac{1}{\sqrt{26}}$.

a) $\sin a=-\frac{5\sqrt{26}}{26};\cos a=-\frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}-1}{2\sqrt{26}}$.

b) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5}{26}=\frac{5}{13}$.

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1-25}{26}=-\frac{12}{13}$.

$\sin 3a=3\sin a-4{\sin }^{3}a=\sin a(3-4{\sin }^{2}a)=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(3-\frac{100}{26}\right)=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{11}{13}\right)=\frac{55}{13\sqrt{26}}=\frac{55\sqrt{26}}{338}$.

$\tan 3a=\frac{3\tan a-{\tan }^{3}a}{1-3{\tan }^{2}a}=\frac{15-125}{1-75}=\frac{-110}{-74}=\frac{55}{37}$.

c) Vì $\frac{2023\pi }{2}=1011\pi +\frac{\pi }{2}$ nên
$\sin \left(2a-\frac{2023\pi }{2}\right)=\sin \left(2a-\frac{\pi }{2}-1011\pi \right)=-\sin \left(2a-\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2a=-\frac{12}{13}$.

$\cos (2a+2023\pi )=-\cos 2a=\frac{12}{13}$.

Vậy $\sin \left(2a-\frac{2023\pi }{2}\right)+\cos (2a+2023\pi )=-\frac{12}{13}+\frac{12}{13}=0$.

d) Ta có $\frac{3\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{7\pi }{4}$ nên $\frac{a}{2}$ thuộc góc phần tư thứ IV: $\sin \frac{a}{2}<0,\cos \frac{a}{2}>0$.

$\cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}}$; $\sin \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}}$.

Kiểm tra: ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ ✓ và $2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=-\frac{5}{\sqrt{26}}=\sin a$ ✓. Lời giải đã sửa lỗi $\cos 2a=-\frac{12}{13}$ (không phải $-\frac{6}{13}$) và các giá trị trung gian ở mục c) tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số ω = π/3, cùng biên độ A₁ = A₂ = 2 cm, độ lệch pha Δφ = π/6 − (−π/3) = π/2. Biên độ tổng hợp: A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(Δφ) = 4 + 4 + 2·2·2·cos(π/2) = 8, nên A = √8 = 2√2 ≈ 2.83 (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d=AH$ là khoảng cách từ vận động viên đến chân tường. Theo hình vẽ: $\tan \alpha =\frac{3}{d}$ và $\tan (\alpha +30^{\circ })=\frac{15}{d}$.

Dùng công thức cộng góc:
$$\tan (\alpha +30^{\circ })=\frac{\tan \alpha +\tan 30^{\circ }}{1-\tan \alpha \tan 30^{\circ }}=\frac{\frac{3}{d}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{\sqrt{3}}{d}}.$$

Suy ra $\frac{15}{d}=\frac{\frac{3}{d}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{\sqrt{3}}{d}}\Rightarrow 15-\frac{15\sqrt{3}}{d}=3+\frac{d}{\sqrt{3}}$.

Nhân hai vế với $\sqrt{3}d$: $12\sqrt{3}d=d^2+45\Rightarrow d^2-12\sqrt{3}d+45=0$.

Giải: $d=\frac{12\sqrt{3}\pm \sqrt{432-180}}{2}=6\sqrt{3}\pm 3\sqrt{7}$, tức $d\approx 2,46$ hoặc $d\approx 18,33$.

Khoảng cách lớn nhất là $d=6\sqrt{3}+3\sqrt{7}\approx 18,3$ m, khớp với đáp án nguồn 18.3.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) sin α = (√6+√2)/4 = sin75°, nhưng với α ∈ [0°;180°] thì sin α = sin(180°−α) nên α = 75° hoặc α = 105°, do đó khẳng định α = 75° là Sai. b) cot α = 1/2 ⇒ tan α = 2 ⇒ α ≈ 63,43° (không phải 26,57°), Sai. c) cot(180°−α) = cos(180°−α)/sin(180°−α) = (−cos α)/(sin α) = −cot α ≠ cot α, Sai. d) α = 36°26'16” = 36 + 26/60 + 16/3600 ≈ 36,4378°, tan(36,4378°) ≈ 0,7381 ≈ 0,738, Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin α = (√6+√2)/4 = sin75°. Vì 0° ≤ α ≤ 180° và sin(180°−α) = sin α nên α = 75° hoặc α = 105°. Do đó không kết luận được α = 75° → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 1/2 ⇒ tan α = 2 ⇒ α = arctan(2) ≈ 63,43°, không phải 26,57° → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cot(180°−α) = cos(180°−α)/sin(180°−α) = (−cos α)/sin α = −cot α ≠ cot α → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
α = 36°26'16” = 36° + (26/60)° + (16/3600)° ≈ 36,4378°. tan(36,4378°) ≈ 0,7381 ≈ 0,738 → Đúng.

Đáp án: 1. Giải thích: Ta có: $M=\sin \frac{\pi }{16}-\sin \frac{5\pi }{16}=2\cos \frac{\frac{\pi }{16}+\frac{5\pi }{16}}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{16}-\frac{5\pi }{16}}{2}=2\cos \frac{3\pi }{16}\sin \left(-\frac{\pi }{8}\right)$. Suy ra $a=-\frac{1}{8};b=\frac{3}{16}$. Vậy $4a+8b=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+8.\frac{3}{16}=1$

Đáp án: 1. Giải thích: Ta có: $M=\sin \frac{\pi }{16}-\sin \frac{5\pi }{16}=2\cos \frac{\frac{\pi }{16}+\frac{5\pi }{16}}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{16}-\frac{5\pi }{16}}{2}=2\cos \frac{3\pi }{16}\sin \left(-\frac{\pi }{8}\right)$. Suy ra $a=-\frac{1}{8};b=\frac{3}{16}$. Vậy $4a+8b=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+8.\frac{3}{16}=1$

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $M=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +2\sin \alpha }$ cho ${\cos }^3\alpha$ (với $\tan \alpha =5$ nên $\cos \alpha \ne 0$):
$$M=\frac{(\tan \alpha -1)\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}{{\tan }^3\alpha +3+2\tan \alpha \cdot \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=\frac{(\tan \alpha -1)(1+{\tan }^2\alpha )}{{\tan }^3\alpha +3+2\tan \alpha (1+{\tan }^2\alpha )}.$$
Thay $\tan \alpha =5$:
- Tử: $(5-1)(1+25)=4\cdot 26=104$.
- Mẫu: $125+3+2\cdot 5\cdot 26=128+260=388$.
$$M=\frac{104}{388}=\frac{26}{97}\approx 0,2680\approx 0,27.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,27.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\tan \alpha =5$, ta có $\sin \alpha =5\cos \alpha$ và ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{26}$.

Thay vào $M$:
$$M=\frac{5\cos \alpha -\cos \alpha }{125{\cos }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +10\cos \alpha }=\frac{4\cos \alpha }{128{\cos }^3\alpha +10\cos \alpha }=\frac{4}{128{\cos }^2\alpha +10}.$$

Thay ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{26}$:
$$M=\frac{4}{\frac{128}{26}+10}=\frac{4}{\frac{64}{13}+\frac{130}{13}}=\frac{4}{\frac{194}{13}}=\frac{52}{194}=\frac{26}{97}\approx 0,2680.$$

Quy tròn đến hàng phần trăm: $M\approx 0,27$, khớp với đáp án nguồn.

Chọn B

$\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff {\left(\sin x+\cos x\right)}^2=\frac{3}{4}\iff \sin 2x=-\frac{1}{4}$
$A=\sin 3x.\cos x+\cos 5x.\sin x$
$=\frac{1}{2}\left(\sin 2x+\sin 4x\right)+\frac{1}{2}\left[\sin \left(-4x\right)+\sin 6x\right]$
$=\frac{1}{2}\left(\sin 2x+\sin 6x\right)=\sin 4x.\cos 2x=2\sin 2x.{\cos }^{2}2x$
$=2\sin 2x\left(1-{\sin }^{2}2x\right)=-\frac{15}{32}$.

Chọn D. Hàm số xác định trên $R$ $\iff 6-2(m+1){\cos }^{2}x+m(\sin x-\cos x{)}^2>0$ với $\forall x\in R$ $\iff m\sin 2x+(m+1)\cos 2x<5$ với $\forall x\in R$ $\iff \underset{x\in R}{\max }\left(m\sin 2x+(m+1)\cos 2x\right)<5$. $\iff m^2+(m+1{)}^2<25\iff m^2+m-12<0\iff m\in (-4;3)$. Suy ra $a=-4;b=3\Rightarrow a^2-b^2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$. Khi đó $y={\sin }^{2}x+2\cos x+4=1-t^2+2t+4=-(t-1{)}^2+6$. Trên đoạn $[-1;1]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$ (tức $\cos x=1$) với $y_{\max }=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 18: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E={\sin }^{2}a{\tan }^{2}a+4{\sin }^{2}a-{\tan }^{2}a+3{\cos }^{2}a$ (với $\tan a$ xác định, tức $\cos a\ne 0$).
Ta có: ${\sin }^{2}a{\tan }^{2}a-{\tan }^{2}a={\tan }^{2}a({\sin }^{2}a-1)=-{\tan }^{2}a{\cos }^{2}a=-\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}\cdot {\cos }^{2}a=-{\sin }^{2}a$.
Do đó $E=-{\sin }^{2}a+4{\sin }^{2}a+3{\cos }^{2}a=3{\sin }^{2}a+3{\cos }^{2}a=3({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)=3$.
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào $a$ và có giá trị bằng $3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos (120^{\circ }-x)=\cos (120^{\circ })\cos x+\sin (120^{\circ })\sin x=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-\cos (x+60^{\circ })$ (do $\cos (x+60^{\circ })=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$).

Mặt khác, với mọi $x$ sao cho $\sin (x+60^{\circ })\ne 0$ ta có $\sin (x+60^{\circ })\cot (x+60^{\circ })=\cos (x+60^{\circ })$.

Do đó:
$$H=\cos (x+60^{\circ })-5\cdot (-\cos (x+60^{\circ }))-6\cos (x+60^{\circ })=\cos (x+60^{\circ })+5\cos (x+60^{\circ })-6\cos (x+60^{\circ })=0.$$

Kết quả không phụ thuộc vào $x$ (với $0^{\circ }\le x\le 90^{\circ }$, $x+60^{\circ }\in [60^{\circ },150^{\circ }]$ nên $\sin (x+60^{\circ })\ne 0$, biểu thức luôn xác định). Vậy $H=0$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{5}{2}$, suy ra $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2}{5}$. Khi đó $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{9}{5}$ và $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{5}$. Vì $\sin \alpha \cos \alpha >0$ với $\sin \alpha >0$ (do $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$) nên $\cos \alpha >0$, tức $\alpha$ nhọn, do đó $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}$. Vì $\sin \alpha >\cos \alpha$ nên $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$. Cộng lại: $2\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=\frac{16}{25}\Rightarrow 1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{16}{25}\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =\frac{9}{50}$. Khi đó $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+2\sin \alpha \cos \alpha =1+\frac{9}{25}=\frac{34}{25}$. Vì $\alpha$ tù nên $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0$ và $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ suy ra $\sin \alpha +\cos \alpha >0$, do đó $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{34}}{5}$. Suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{34}+4}{10}$, $\cos \alpha =\frac{\sqrt{34}-4}{10}$. Vậy $M=\sin \alpha -2\cos \alpha =\frac{\sqrt{34}+4-2\sqrt{34}+8}{10}=\frac{12-\sqrt{34}}{10}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với $x$ từ $0^{\circ }$ đến $180^{\circ }$:

A: $(\cos x+\sin x{)}^2+(\cos x-\sin x{)}^2=(1+2\sin x\cos x)+(1-2\sin x\cos x)=2$. Đúng.

B: ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x$ với $x\ne 90^{\circ }$. Đúng.

C: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$. Đúng.

D: Thử $x=45^{\circ }$: ${\sin }^{6}x-{\cos }^{6}x=0$ nhưng $1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\ne 0$. Thực tế ${\sin }^{6}x-{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)(1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x)$, không bằng $1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$. Vậy D là đẳng thức sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Sai vì đẳng thức tanα·cotα=1 chỉ đúng khi tanα và cotα xác định (α≠0°,90°,180°); ví dụ α=90° thì tanα không xác định. b) Sai vì tan²α·cot²α=(tanα·cotα)²=1, còn tan²α+cot²α≥2 theo AM-GM (với tanα, cotα xác định), nên tan²α+cot²α≠tan²α·cot²α nói chung. c) Đúng: P=tan²α+cot²α=(tanα+cotα)²−2tanα·cotα=(tanα+cotα)²−2=m²−2. d) Đúng: P=7 ⇔ m²−2=7 ⇔ m²=9 ⇔ m=±3; và m=tanα+cotα=1/(sinαcosα) có thể nhận giá trị ±3 (ví dụ sin2α=2/3 cho m=3), nên điều kiện 'khi và chỉ khi' thỏa mãn.
a) (AI giải đề cho tôi)
tanα·cotα=1 chỉ đúng khi cả tanα, cotα xác định; tại α=0°,90°,180° biểu thức không xác định nên khẳng định 'với mọi góc α' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan²α·cot²α=(tanα·cotα)²=1, trong khi tan²α+cot²α≥2 (AM-GM) khi xác định, nên đẳng thức sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
P=tan²α+cot²α=(tanα+cotα)²−2tanα·cotα=(tanα+cotα)²−2.
d) (AI giải đề cho tôi)
P=m²−2=7 ⇔ m²=9 ⇔ m=±3; giá trị m=tanα+cotα=1/(sinαcosα) đạt được ±3 (ví dụ sin2α=2/3 hoặc −2/3), nên khẳng định đúng.