Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 Phần I: Công thức biến đổi tổng thành tích chuẩn là $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ (đúng, phương án A). Phương án B sai vì đổi vai trò sin/cos; phương án C sai vì $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ (dấu cộng, không phải trừ); phương án D sai vì $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. Đáp án khớp với key nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x$; $\cos 3x+\cos 5x=2\cos 4x\cos x$. Do đó $$A=\frac{2\sin 4x\cos x+\sin 4x}{2\cos 4x\cos x+\cos 4x}=\frac{\sin 4x(2\cos x+1)}{\cos 4x(2\cos x+1)}=\tan 4x$$ (với mẫu khác 0 và $2\cos x+1\ne 0$). Khớp đáp án nguồn: $\tan 4x$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos (a+b)-\cos (a-b)=-2\sin a\sin b$, suy ra $\sin a\sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$. Kiểm tra: với $a=b=45^{\circ }$, vế trái $=\frac{1}{2}$; vế phải $=-\frac{1}{2}[\cos 90^{\circ }-\cos 0^{\circ }]=-\frac{1}{2}(0-1)=\frac{1}{2}$, đúng. Các phương án A, C dùng nhầm sin thay cos; B sai dấu (đúng phải là $+\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$ dạng khác). Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu II/Câu 3: a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ, chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn (cả hai đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$). b) Đúng theo công thức hạ bậc: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn. Nên khẳng định 'đều là hàm chẵn' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, do đó $\sin x-\cos x=3$ vô nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức hiệu hai góc: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, đúng với mọi $a,b$. Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức nhân đôi: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1$ nên B, C, D đúng. Còn $2\sin a\cos a=\sin 2a\ne \cos 2a$ (ví dụ $a=0$: $2\sin a\cos a=0$ còn $\cos 2a=1$), do đó mệnh đề A sai.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Với $\sin x=\frac{1}{2}$ ta có $\cos 2x=1-2\cdot \frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là D (khớp với đáp án D được gạch chân trong đề).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A đúng vì $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$. C đúng vì $\sin 2a=2\sin a\cos a$. D đúng vì $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$. B sai vì $1-{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a$, không phải $\cos 2a$ (ví dụ với $a=0$: $\cos 0=1$ nhưng $1-{\sin }^{2}0=1$... xét $a=\pi /3$: $\cos (2\pi /3)=-1/2$ còn $1-{\sin }^2(\pi /3)=1/4$, khác nhau). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ ta có $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{7}{25}$, suy ra $2{\sin }^2\alpha =1+\frac{7}{25}=\frac{32}{25}$, tức ${\sin }^2\alpha =\frac{16}{25}$. Vì $\alpha$ nhọn nên $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, do đó $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$. Vậy $\tan \alpha =\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}\approx 1,3$ (làm tròn đến hàng thập phân thứ nhất).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=13-10\sin x\cos x=13-5\sin 2x$. Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $-5\le 5\sin 2x\le 5$, suy ra $-5\le -5\sin 2x\le 5$. Do đó $8\le y\le 18$.

- Giá trị nhỏ nhất $\min y=8$, đạt được khi $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Giá trị lớn nhất $\max y=18$, đạt được khi $\sin 2x=-1\iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kết luận: $\max y=18$, $\min y=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức cộng: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{2+1}{1-2\cdot 1}=\frac{3}{-1}=-3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (dương) và $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$ (dương).
a) Sai: $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) Sai: $\sin \beta =\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) Đúng: $\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$.
d) Đúng: $\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{48+15}{65}=\frac{63}{65}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}>0$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A sai vì $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }\ne 1$ (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{4}$ thì bằng 2). B đúng vì $1+{\tan }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. C sai vì $\frac{1}{{\cot }^2\alpha }={\tan }^2\alpha \ne 1+{\sin }^2\alpha$. D sai vì đồng nhất thức đúng là ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ (cùng góc). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}-1=-\frac{4}{9}\approx -0,4$. Giá trị âm phù hợp vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0<\cos \alpha$. Vậy $A\approx -0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Vì π/2 < α < π nên sinα > 0. sinα = √(1 − cos²α) = √(1 − 25/169) = 12/13.
cos2α = 2cos²α − 1 = 2·(25/169) − 1 = −119/169.
sin(α − π/6) = sinα·cos(π/6) − cosα·sin(π/6) = (12/13)(√3/2) − (−5/13)(1/2) = (12√3 + 5)/26.
sin2α = 2 sinα cosα = 2·(12/13)(−5/13) = −120/169; tan2α = sin2α/cos2α = (−120/169)/(−119/169) = 120/119.
Vì α/2 ∈ (π/4, π/2) nên cos(α/2) > 0: cos(α/2) = √((1 + cosα)/2) = √((1 − 5/13)/2) = √(4/13) = 2√13/13.
Bài 2) Bình phương hai vế: (sinα + cosα)² = 1/4 ⇒ 1 + 2sinαcosα = 1/4 ⇒ sin2α = −3/4.
Từ sinαcosα = −3/8 < 0 và sinα + cosα = 1/2 > 0 suy ra α ở góc phần tư thứ II (sinα > 0, cosα < 0), do đó 2α ∈ (π, 3π/2) và sin2α < 0 ⇒ cos2α < 0: cos2α = −√(1 − 9/16) = −√7/4.
Vậy sin4α = 2 sin2α cos2α = 2·(−3/4)·(−√7/4) = 3√7/8.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (Phần 4 — Tự luận), lời giải đầy đủ:

1a) VT $=\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}=\frac{(\sin x+\cos x{)}^2+\cos 2x}{(\sin x+\cos x{)}^2-\cos 2x}$. Ta có $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$, nên:
Tử số $=(\sin x+\cos x{)}^2+(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=(\sin x+\cos x)[(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)]=2\cos x(\sin x+\cos x)$.
Mẫu số $=(\sin x+\cos x{)}^2-(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=(\sin x+\cos x)[(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)]=2\sin x(\sin x+\cos x)$.
Vậy VT $=\frac{2\cos x(\sin x+\cos x)}{2\sin x(\sin x+\cos x)}=\cot x$ (điều kiện $\sin x\ne 0$, $\sin x+\cos x\ne 0$). Đpcm.

1b) VT $=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha }=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )}={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =$ VP (với $\sin \alpha \cos \alpha \ne 0$, ${\cos }^2\alpha \ne {\sin }^2\alpha$). Đpcm.

1c) VT $=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\frac{1}{\tan \beta }-\frac{1}{\tan \alpha }}=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\tan \alpha \tan \beta }}=\tan \alpha \tan \beta =$ VP (với $\tan \alpha \tan \beta \ne 0$, $\tan \alpha \ne \tan \beta$). Đpcm.

1d) VT $=\frac{1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x}=\frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2}{1+2\sin x\cos x}=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2(\sin x+\cos x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2=$ VP (với $\sin x+\cos x\ne 0$). Đpcm.

2) Vì $A,B,C$ là ba góc của tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Do đó:
$\sin (A+B+2C)=\sin [(A+B+C)+C]=\sin (\pi +C)=-\sin C$. Đpcm.