Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-16}{x-2}=12$ tồn tại hữu hạn nên $f(2)=16$ (do $f$ liên tục tại $x=2$). Khi đó $2f(x)-16\to 16$ nên $\sqrt{2f(x)-16}\to 4$.

Nhân tử số với liên hợp:
$$\sqrt{2f(x)-16}-4=\frac{2f(x)-16}{\sqrt{2f(x)-16}+4}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-16}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x-2)(x+3)}$$
$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f(x)-16}{x-2}\right)\cdot \frac{2}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x+3)}=12\cdot \frac{2}{(4+4)(2+3)}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-16}{x-2}=12$ và $f$ liên tục tại $x=2$ nên $f(2)=16$ và $f^{\prime }(2)=12$. Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2(f(x)-16)}{(x-2)\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)}=\frac{2\cdot 12}{4+4}=3$. Mặt khác $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}=0,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=2025$ suy ra $f(1)=2$ và $f^{\prime }(1)=2025$ (định nghĩa đạo hàm). Để $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}$ hữu hạn, tử số phải tiến về 0 khi $x\to 1$: $\sqrt{2a+1}+b=0$, tức $b=-\sqrt{2a+1}$ với $s=\sqrt{2a+1}>0$. Khi đó, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}=\frac{a{f}^{\prime }(1)}{2\sqrt{2a+1}}=\frac{2025a}{2s}=1350$. Vì $a=\frac{s^2-1}{2}$, thay vào: $2025(s^2-1)=5400s\Rightarrow 3s^2-8s-3=0\Rightarrow s=3$ (nghiệm dương). Suy ra $a=\frac{9-1}{2}=4$, $b=-3$. Vậy $a^2+b^2=16+9=25$. Kiểm tra lại: $\sqrt{4\cdot 2+1}-3=0$ đúng, và $\frac{4\cdot 2025}{2\cdot 3}=1350$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

1) Thay $x=-3$: tử số $-3+\sqrt{2(-3)+15}=-3+3=0$; mẫu số $-2(9)-5(-3)+3=-18+15+3=0$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Rút gọn mẫu: $-2x^2-5x+3=-(2x^2+5x-3)=-(2x-1)(x+3)$.

Nhân liên hợp tử số:
$$x+\sqrt{2x+15}=\frac{x^2-(2x+15)}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{x^2-2x-15}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{(x-5)(x+3)}{x-\sqrt{2x+15}}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-5)(x+3)}{(x-\sqrt{2x+15})\cdot (-(2x-1)(x+3))}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x-5}{-(2x-1)(x-\sqrt{2x+15})}.$$

Thay $x=-3$: $\frac{-8}{-(2(-3)-1)(-3-3)}=\frac{-8}{-(-7)(-6)}=\frac{-8}{-42}=\frac{4}{21}$.

Vậy $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+\sqrt{2x+15}}{-2x^2-5x+3}=\frac{4}{21}$.

2) Với $n\ge 2$, cộng dồn:
$$u_n=u_1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1+1-\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$$

(Công thức đúng cả với $n=1$: $u_1=2-1=1$.)

Suy ra $u_n-2=-\frac{1}{2^{n-1}}\to 0$ khi $n\to \infty$.

Vậy $\lim \left(u_n-2\right)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{4x^2-x+1}=|x|\sqrt{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-2x\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2}}$. Dùng khai triển $\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$ với $t=-\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2}\to 0$, ta được $\sqrt{4x^2-x+1}\approx -2x\left(1-\frac{1}{8x}\right)=-2x+\frac{1}{4}$. Do đó $y\approx (m-2)x+\frac{13}{4}$. Để giới hạn hữu hạn khi $x\to -\infty$ thì $m-2=0$, tức $m=2$. Khi đó giới hạn bằng $\frac{1}{4}+3=\frac{13}{4}$. (Lưu ý: bước khai triển đúng cho hệ số $\frac{1}{x}$ là $\frac{1}{4}$, không phải $\frac{1}{8}$ như một bản giải sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Tính giới hạn: $4\sqrt{9-3x}-12=4(\sqrt{9-3x}-3)=\frac{4(9-3x-9)}{\sqrt{9-3x}+3}=\frac{-12x}{\sqrt{9-3x}+3}$. Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4\sqrt{9-3x}-12}{2x^2-10x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-12x}{(\sqrt{9-3x}+3)\cdot x(2x-10)}=\frac{-12}{6\cdot (-10)}=\frac{1}{5}$. Vậy $a=1,b=5$ (phân số tối giản), $a+b=6$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=\frac{a}{b+1}=30$ và $P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{{\left(b+e^{-0,75t}\right)}^2}$ nên $P^{\prime }(0)=\frac{0,75a}{(b+1{)}^2}=15$. Chia hai phương trình: $\frac{0,75}{b+1}=\frac{15}{30}=0,5\Rightarrow b+1=1,5\Rightarrow b=0,5$, suy ra $a=30(b+1)=45$. Hàm $P(t)=\frac{45}{0,5+e^{-0,75t}}$ tăng liên tục, $P(0)=30$ và ${\lim }_{t\to +\infty }P(t)=\frac{45}{0,5}=90$, nên số lượng tế bào luôn thuộc $[30;90)$, tức $\alpha =30,\beta =90$. Vậy $2\alpha -\beta =60-90=-30$.

* $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x\sqrt{2}}-\sqrt[3]{x^3+1}\right)$
* Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2+x\sqrt{2}}-x+x-\sqrt[3]{x^3+1}\right]$
* Ta có $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x\sqrt{2}}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+x\sqrt{2}}+x}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
* Ta có $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt[3]{x^3+1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x^2+x\sqrt[3]{x^3+1}+{\left(\sqrt[3]{x^3+1}\right)}^2}=0$$
Vậy kết quả bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{9x^2+2}=|x|\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}=-x\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}\to -3x$. Do đó tử số $ax-b\sqrt{9x^2+2}\approx ax-b(-3x)=(a+3b)x$. Suy ra $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{ax-b\sqrt{9x^2+2}}{cx+1}=\frac{a+3b}{c}=5$. Vậy $\frac{2a+6b}{c}=\frac{2(a+3b)}{c}=2\cdot 5=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các giới hạn một bên tại $x=0$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\left(mx+m+\frac{1}{4}\right)=m+\frac{1}{4}$.
Hàm số có giới hạn tại $x=0$ khi và chỉ khi hai giới hạn một bên bằng nhau: $m+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow m=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $\sqrt{3\cdot 2+3}+a=\sqrt{9}+a=0\Rightarrow a=-3$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{3(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x+3}+3)}=\frac{3}{\sqrt{9}+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Vậy $b=1,c=2$ (tối giản), tổng $a+b+c=-3+1+2=0$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 70: Tìm các giới hạn dạng vô định 0/0, xử lý bằng nhân liên hợp hoặc dùng hằng đẳng thức $a^3-b^3$.

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$.

b) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\sqrt{x-3})}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\frac{1}{14\cdot 4}=-\frac{1}{28}$.

c) Nhân liên hợp: tử số thành $(x^2-2x+6)-(x^2+2x-6)=-4(x-3)$; mẫu $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}$. Khi $x\to 3$: $\sqrt{9-6+6}=3$ và $\sqrt{9+6-6}=3$, nên mẫu tiến về $2\cdot (3+3)=12$. Giới hạn $=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$.

d) $\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$, nên giới hạn $=\frac{3+3}{2+2}=\frac{3}{2}$.

e) Dùng $\sqrt[3]{4x}-2=\frac{4x-8}{\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4}$. Khi $x\to 2$, mẫu tiến về $\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4=4+4+4=12$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)\left(\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4\right)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

f) $\sqrt[3]{5x-3}+2=\frac{(5x-3)+8}{\sqrt[3]{(5x-3{)}^2}-2\sqrt[3]{5x-3}+4}=\frac{5(x+1)}{4+4+4}$ khi $x\to -1$ (vì $\sqrt[3]{-8}=-2$). Giới hạn $=\frac{5}{12}$.

g) $1-\sqrt[3]{1-x}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}=\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}$. Giới hạn $=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}$.

h) Tách: $\frac{\sqrt{2x+2}-2}{x-1}+\frac{\sqrt{5x+4}-3}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+\frac{5}{\sqrt{5x+4}+3}\to \frac{2}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{4}{3}$.

i) $\sqrt[3]{3x+2}-2=\frac{3(x-2)}{\sqrt[3]{(3x+2{)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}\to \frac{3}{12}=\frac{1}{4}$; $\sqrt{5x-6}-2=\frac{5(x-2)}{\sqrt{5x-6}+2}\to \frac{5}{4}$. Vậy giới hạn $=\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-1$.

Kiểm tra lại: các kết quả a) $\frac{1}{4}$, b) $-\frac{1}{28}$, c) $-\frac{1}{3}$, d) $\frac{3}{2}$, e) $\frac{1}{3}$, f) $\frac{5}{12}$, g) $\frac{1}{3}$, h) $\frac{4}{3}$, i) $-1$ đều đúng (riêng phần c và e đã được xác nhận đúng: $-\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{3}$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 71: Tính từng giới hạn.

a. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}$: chia tử và mẫu cho $x^3$, ta được $\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{1}{x^3}}\to \frac{0}{2}=0$.

b. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)$: với $x<0$ thì $\sqrt{2x^2+1}=-x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\right)$. Vì $1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\to 1-\sqrt{2}<0$ và $x\to -\infty$ nên giới hạn bằng $+\infty$.

c. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+3}{x-4}$: bậc tử lớn hơn bậc mẫu, chia cho $x$ ta được $\frac{3x-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x}}\to +\infty$.

d. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}+1}=\frac{-4}{2}=-2$.

e. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$.

f. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-3x+2}+x\right)$: với $x<0$, $\sqrt{x^2-3x+2}=-x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\right)$. Dùng khai triển $\sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}$ với $u=-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\to 0$, ta có $1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\approx \frac{3}{2x}$, do đó giới hạn bằng $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot \frac{3}{2x}=\frac{3}{2}$.

Vậy: a) $0$; b) $+\infty$; c) $+\infty$; d) $-2$; e) $0$; f) $\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 73:

a) Chia tử và mẫu cho $\sqrt{x}$ (với $x\to 0^{+}$, $x>0$):
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1.$$

b) Với $x\to (-1{)}^{+}$ thì $x<0$ và $x+1>0$, nên $\sqrt{x^3+x^2}=\sqrt{x^2(x+1)}=|x|\sqrt{x+1}=-x\sqrt{x+1}$. Khi đó
$$\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{\sqrt{x^3+x^2}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{(x+1)(x+3)}{-x\sqrt{x+1}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\left(-\frac{(x+3)\sqrt{x+1}}{x}\right)=-\frac{(2)\cdot 0}{-1}=0.$$

c) Với $x\to -\infty$, xét biểu thức trong căn:
$$\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}=\frac{x^3\left(\frac{4}{x^3}-4\right)}{x^2\left(3+\frac{5}{x}\right)}=x\cdot \frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}.$$
Khi $x\to -\infty$ thì $x\to -\infty$, còn $\frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}\to \frac{-4}{3}<0$, do đó tích $x\cdot \frac{-4}{3}\to +\infty$. Vậy biểu thức trong căn tiến đến $+\infty$ (dương), nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}}=+\infty .$$

(AI giải đề cho tôi)
Lượng muối sau $t$ phút: $S(t)=30\cdot 25t=750t$ (gam). Thể tích nước trong bể: $V(t)=5000+25t$ (lít). Nồng độ muối: $c(t)=\frac{750t}{5000+25t}=\frac{30t}{200+t}$. Khi $t\to +\infty$: $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{200+t}=30$. Vậy nồng độ muối không vượt quá 30 gam/lít. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{x+x^2+\dots +x^{50}-50}{x-1}$, tử số triệt tiêu tại $x=1$ nên $x+x^2+\dots +x^{50}-50$ phân tích được theo $(x-1)$. Giới hạn bằng tổng giới hạn ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^k-1}{x-1}=k$ với $k=1,2,\dots ,50$ (chú ý $x-1=x^1-1$). Vậy $A=1+2+3+\dots +50=\frac{50\cdot 51}{2}=1275$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giới hạn phải khi $x\to -2^{+}$: ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=-2+1=-1$. Để giới hạn trái ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4}$ hữu hạn, mẫu số $x^2-4\to 0$ nên tử số phải triệt tiêu tại $x=-2$: $4-2a+b=0\Rightarrow b=2a-4$. Khi đó tử và mẫu cùng chia hết cho $(x+2)$, giới hạn trái tính bằng quy tắc: ${\lim }_{x\to -2}\frac{2x+a}{2x}=\frac{-4+a}{-4}=\frac{4-a}{4}$. Cho bằng $-1$: $\frac{4-a}{4}=-1\Rightarrow a=8$, suy ra $b=2\cdot 8-4=12$. Vậy $3a-b=24-12=12$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-x^2=(1-x)(1+x)$. Khi $x\to 1^{-}$ thì $x-1=-(1-x)$ với $1-x>0$, nên
$$(x-1)\sqrt{\frac{x+2}{1-x^2}}=-(1-x)\sqrt{\frac{x+2}{(1-x)(1+x)}}=-\sqrt{\frac{(1-x{)}^2(x+2)}{(1-x)(1+x)}}=-\sqrt{\frac{(1-x)(x+2)}{1+x}}.$$
Khi $x\to 1^{-}$, ta có $1-x\to 0^{+}$, $x+2\to 3$, $1+x\to 2$, do đó
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)\sqrt{\frac{x+2}{1-x^2}}=-\sqrt{\frac{0\cdot 3}{2}}=0.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khối lượng NaOH ban đầu: 25 × 100 = 2500 mg. Sau khi trộn x ml dung dịch nồng độ 9 mg/ml, tổng khối lượng NaOH là 2500 + 9x (mg) và thể tích dung dịch là 25 + x (ml). Do đó $C(x)=\frac{2500+9x}{25+x}=9+\frac{2275}{25+x}$. Hàm số $C(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì $C^{\prime }(x)=\frac{-2275}{(25+x{)}^2}<0$, tức nồng độ luôn giảm theo $x$, và $C(x)>9={\lim }_{x\to +\infty }C(x)$ với mọi $x>0$. Vậy nồng độ luôn lớn hơn số $a=9$ (mg/ml).