Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử và mẫu: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-3}{x+2}=\frac{2-3}{2+2}=-\frac{1}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi x→-∞, √(x²+2) = -x√(1+2/x²), nên f(x) = (3x + x√(1+2/x²))/(x+4) = (3+√(1+2/x²))/(1+4/x) → 4. Đúng.
b) g(x) = (x+2)(x+3)/(x+2) = x+3 với x≠-2, nên lim_{x→2} g(x) = 5 ≠ -5. Sai.
c) Cần h(2) = lim_{x→2} g(x) = 5, tức m + f(2) = 5 với f(2) = (6-√6)/6. Suy ra m = 5 - (6-√6)/6 = (24+√6)/6. Đúng.
d) Với x→-∞: √(x²+ax+5) + x = (ax+5)/(√(x²+ax+5) - x) → a/(-1-1) = -a/2. Để -a/2 = -6 thì a = 12. Phương trình x²+11x-12=0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -12, không có nghiệm 12. Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án DSDS của mã đề 111.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với x→-∞, √(x²+2) = -x√(1+2/x²), do đó f(x) = (3+√(1+2/x²))/(1+4/x) → 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x) = (x+2)(x+3)/(x+2) = x+3 với x≠-2, nên lim_{x→2} g(x) = 5 ≠ -5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=2 yêu cầu m + f(2) = 5, với f(2) = (6-√6)/6, suy ra m = (24+√6)/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng -a/2 = -6 nên a = 12; nghiệm của x²+11x-12=0 là 1 và -12, không phải 12.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: $\underset{x\to 3}{\lim }\left[f(x)+2x+3\right]=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)+\underset{x\to 3}{\lim }(2x+3)=-5+(2\cdot 3+3)=-5+9=4$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: $\underset{x\to 3}{\lim }\left[f(x)+4x-1\right]=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)+4\cdot 3-1=-2+12-1=9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-27}{x-3}=9$ và $f$ là đa thức suy ra $f(3)=27$, $f^{\prime }(3)=9$. Đặt $g(x)=2f(x)-19x+3$ thì $g(3)=54-57+3=0$ và $g^{\prime }(3)=2f^{\prime }(3)-19=18-19=-1$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}=-1$. Mặt khác $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x(x-3)}=\frac{x-1}{x(x-3)}$. Do đó $L=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}\cdot \frac{x-1}{x}=(-1)\cdot \frac{3-1}{3}=-\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$ thì $f(x)=2-x$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=2-1=1$ (A sai). Với $x>1$ thì $f(x)=x^2-x+3$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1-1+3=3$. Vì $1\ne 3$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ (B sai), do đó giới hạn tại $x=1$ không tồn tại và hàm số không liên tục tại $x=1$ (D sai). Ta có $f(1)=3={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$, nên phát biểu C đúng. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-16}{x-2}=12$ tồn tại hữu hạn nên $f(2)=16$ (do $f$ liên tục tại $x=2$). Khi đó $2f(x)-16\to 16$ nên $\sqrt{2f(x)-16}\to 4$.

Nhân tử số với liên hợp:
$$\sqrt{2f(x)-16}-4=\frac{2f(x)-16}{\sqrt{2f(x)-16}+4}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-16}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x-2)(x+3)}$$
$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f(x)-16}{x-2}\right)\cdot \frac{2}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x+3)}=12\cdot \frac{2}{(4+4)(2+3)}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=2x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó ${\lim }_{x\to 1}(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 212, câu 6).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: ${\lim }_{x\to 3}\left[f(x)+4x-1\right]={\lim }_{x\to 3}f(x)+{\lim }_{x\to 3}(4x-1)=-2+(4\cdot 3-1)=-2+11=9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=2x^2-3x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó ${\lim }_{x\to 1}(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 211, Câu 12 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-16}{x-2}=12$ và $f$ liên tục tại $x=2$ nên $f(2)=16$ và $f^{\prime }(2)=12$. Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2(f(x)-16)}{(x-2)\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)}=\frac{2\cdot 12}{4+4}=3$. Mặt khác $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}=0,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất giới hạn: ${\lim }_{x\to 3}\left[f(x)+4x-1\right]={\lim }_{x\to 3}f(x)+{\lim }_{x\to 3}(4x-1)=-2+(4\cdot 3-1)=-2+11=9$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 211, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=2025$ suy ra $f(1)=2$ và $f^{\prime }(1)=2025$ (định nghĩa đạo hàm). Để $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}$ hữu hạn, tử số phải tiến về 0 khi $x\to 1$: $\sqrt{2a+1}+b=0$, tức $b=-\sqrt{2a+1}$ với $s=\sqrt{2a+1}>0$. Khi đó, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}=\frac{a{f}^{\prime }(1)}{2\sqrt{2a+1}}=\frac{2025a}{2s}=1350$. Vì $a=\frac{s^2-1}{2}$, thay vào: $2025(s^2-1)=5400s\Rightarrow 3s^2-8s-3=0\Rightarrow s=3$ (nghiệm dương). Suy ra $a=\frac{9-1}{2}=4$, $b=-3$. Vậy $a^2+b^2=16+9=25$. Kiểm tra lại: $\sqrt{4\cdot 2+1}-3=0$ đúng, và $\frac{4\cdot 2025}{2\cdot 3}=1350$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

1) Thay $x=-3$: tử số $-3+\sqrt{2(-3)+15}=-3+3=0$; mẫu số $-2(9)-5(-3)+3=-18+15+3=0$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Rút gọn mẫu: $-2x^2-5x+3=-(2x^2+5x-3)=-(2x-1)(x+3)$.

Nhân liên hợp tử số:
$$x+\sqrt{2x+15}=\frac{x^2-(2x+15)}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{x^2-2x-15}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{(x-5)(x+3)}{x-\sqrt{2x+15}}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-5)(x+3)}{(x-\sqrt{2x+15})\cdot (-(2x-1)(x+3))}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x-5}{-(2x-1)(x-\sqrt{2x+15})}.$$

Thay $x=-3$: $\frac{-8}{-(2(-3)-1)(-3-3)}=\frac{-8}{-(-7)(-6)}=\frac{-8}{-42}=\frac{4}{21}$.

Vậy $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+\sqrt{2x+15}}{-2x^2-5x+3}=\frac{4}{21}$.

2) Với $n\ge 2$, cộng dồn:
$$u_n=u_1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1+1-\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$$

(Công thức đúng cả với $n=1$: $u_1=2-1=1$.)

Suy ra $u_n-2=-\frac{1}{2^{n-1}}\to 0$ khi $n\to \infty$.

Vậy $\lim \left(u_n-2\right)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a: Vì f là đa thức nên liên tục. Giới hạn lim_{x→1} f(2x+1)/(x−1) = 2026 tồn tại hữu hạn, trong khi mẫu x−1 → 0, do đó tử số phải triệt tiêu: f(2·1+1) = f(3) = 0. Khi đó f(2x+1) = f(2x+1) − f(3) và 2x+1 → 3 khi x → 1, nên 2026 = lim_{x→1} [f(2x+1) − f(3)]/(x−1) = lim_{x→1} 2·[f(2x+1) − f(3)]/(2x+1 − 3) = 2f'(3), suy ra f'(3) = 1013. Xét giới hạn cần tính: đặt g(u) = (u+1)^{5/6}, ta có √(f(x)+1)·∛(f(x)+1) = (f(x)+1)^{1/2+1/3} = (f(x)+1)^{5/6}. Vì f(3) = 0 nên tử số tại x = 3 bằng (0+1)^{5/6} − 1 = 0 (dạng 0/0). Đạo hàm: [(f(x)+1)^{5/6} − 1]' = (5/6)(f(x)+1)^{−1/6}·f'(x), tại x = 3 cho (5/6)f'(3). Mẫu: x² − 4x + 3 = (x−3)(x−1), đạo hàm tại x = 3 là 2·3 − 4 = 2. Vậy giới hạn bằng [(5/6)·1013]/2 = 5065/12 ≈ 422,0833. Câu 2b: Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC, AH ⊥ BC, do đó AH² = AB² − (BC/2)². Gọi q là công bội: BC, AH, AB lập cấp số nhân nên AH² = BC·AB. Đặt BC = a, AH = h, AB = c với h² = ac và h² = c² − a²/4. Vì h/a = c/h = q nên a = h/q, c = qh. Thay vào: h² = q²h² − h²/(4q²) ⇒ 1 = q² − 1/(4q²) ⇒ 4q⁴ − 4q² − 1 = 0. Đặt t = q² > 0: 4t² − 4t − 1 = 0 ⇒ t = (4 ± √(16+16))/8 = (1 ± √2)/2. Chọn t = (1+√2)/2 > 0. Vậy q = √((1+√2)/2) = √(2+√2)/2 ≈ 1,0987. Kiểm tra: tam giác tồn tại vì cần c > a/2, tức qh > h/(2q) ⇔ 2q² > 1 ⇔ q² = (1+√2)/2 > 1/2, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{4x^2-x+1}=|x|\sqrt{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-2x\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2}}$. Dùng khai triển $\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$ với $t=-\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2}\to 0$, ta được $\sqrt{4x^2-x+1}\approx -2x\left(1-\frac{1}{8x}\right)=-2x+\frac{1}{4}$. Do đó $y\approx (m-2)x+\frac{13}{4}$. Để giới hạn hữu hạn khi $x\to -\infty$ thì $m-2=0$, tức $m=2$. Khi đó giới hạn bằng $\frac{1}{4}+3=\frac{13}{4}$. (Lưu ý: bước khai triển đúng cho hệ số $\frac{1}{x}$ là $\frac{1}{4}$, không phải $\frac{1}{8}$ như một bản giải sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{-}$ thì tử số $x^2+1\to 2>0$ và mẫu số $1-x\to 0^{+}$ (dương vì $x<1$). Do đó ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{x^2+1}{1-x}=+\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2-n+1}{n^2+2n-3}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}=\frac{2-0+0}{1+0-0}=2.$$

b) Với $x\to 3$, $x\ne 3$ nên $x^2-9=(x-3)(x+3)$:
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của giới hạn: $M=\underset{x\to x_0}{\lim }[3f(x)-g(x)]=3\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=3\cdot 2-(-3)=6+3=9$. Vậy $M=9$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính giới hạn: $4\sqrt{9-3x}-12=4(\sqrt{9-3x}-3)=\frac{4(9-3x-9)}{\sqrt{9-3x}+3}=\frac{-12x}{\sqrt{9-3x}+3}$. Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4\sqrt{9-3x}-12}{2x^2-10x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-12x}{(\sqrt{9-3x}+3)\cdot x(2x-10)}=\frac{-12}{6\cdot (-10)}=\frac{1}{5}$. Vậy $a=1,b=5$ (phân số tối giản), $a+b=6$, khớp với đáp án nguồn.