Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(ABC)$.
Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$.
Trong tam giác vuông $ABC$ tại $B$:
$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$.
Trong tam giác vuông $SAC$ tại $A$:
$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a\sqrt{3}}{2a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }$.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

Ta có:
$$\{\begin{array}{l}DO\perp AC\\ DO\perp SA\text{ (do }SA\perp (ABCD))\end{array}\Rightarrow DO\perp (SAC)$$
Do đó hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $(SAC)$ là đường thẳng $SO$.
Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAC)$ là góc $\widehat{DSO}$.
Tam giác $SOD$ vuông tại $O$, ta có:
$$SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$$
$$OD=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin \widehat{DSO}=\frac{OD}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{DSO}=30^{\circ }$$
Chọn đáp án D.

Ta có ( SC, ( ABCD ) ) = ( SC, AC ) = SCA .
Ta có hình chữ nhật ABCD có AC = a 5 .
SA a 15
Xét $\Delta$ SAC có SAC = 90^\circ , SA = a 15, AC = a 5 khi đó tan SCA = = = 3.
AC a 5
\implies SCA = 60^\circ .

Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là đoạn thẳng $AC$. Do đó, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^{\circ }$.

Chọn đáp án C.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABCD)$, suy ra góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Ta có $AC=a\sqrt{2}=SA$ nên $△SAC$ vuông cân tại $A$, do đó $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.

Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là $AC$. Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+(3a{)}^2}=a\sqrt{10}$ (hoặc với $SA=AC=2a$ ta có tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$ theo phương án D).

Vì lăng trụ đứng nên $A^{\prime }A\perp (ABC)$, do đó $AB$ là hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }B$ lên $(ABC)$.
Góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }BA}$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$ tại $A$:
$\tan \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{A^{\prime }A}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}⟹\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$.
Chọn đáp án C.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$. Đáy $ABCD$ là hình vuông có đường chéo $BD=a\sqrt{2}$, suy ra cạnh hình vuông $AD=a$. Trong tam giác vuông $SAD$: $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60^{\circ }$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $(ABCD)$, suy ra $\widehat{(SB,(ABCD))}=\widehat{SBA}$. Ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=30^{\circ }$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=a\sqrt{3}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$. Ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SBA}=30^{\circ }$.

**Chọn D**

Do $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SCA}$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ nên đường chéo $AC=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.
Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ do $SA=AC=2$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.

**Chọn D**



Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên mặt phẳng $(ABCD)$.
Do đó: $(SD,(ABCD))=(SD,AD)=\widehat{SDA}$.
Trong tam giác vuông $SAD$ vuông tại $A$:
$\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60^{\circ }$.

Vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình chữ nhật có $A{A}^{\prime }=a,AB=a\sqrt{2}$ nên $A^{\prime }B=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{B}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$.
Ta có $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow$ hình chiếu của $A^{\prime }C$ trên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $A^{\prime }B$.
Do đó góc giữa $A^{\prime }C$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\widehat{C{A}^{\prime }B}$.
Tam giác $B{A}^{\prime }C$ vuông tại $B$, có $\tan \widehat{C{A}^{\prime }B}=\frac{BC}{A^{\prime }B}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{C{A}^{\prime }B}=30^{\circ }$.

Ta có $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại $B^{\prime }$, do đó hình chiếu vuông góc của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ là $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Suy ra $(B{C}^{\prime },(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))=(B{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=\widehat{B{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$.

Vì tam giác $B{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ (do $B{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$) nên $\widehat{B{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=45^{\circ }$.

Vì $SA\perp (ABC)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$ (do $△SAC$ vuông cân tại $A$ có $SA=AC=a$).

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABCD)$.
Do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SCA}$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=a\sqrt{2}$ và $AC=a\sqrt{2}$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$.
Vậy $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, ta có $CE\perp AB$ mà $CE\perp SA$ nên $CE\perp (SAB)$. Do đó góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc $\widehat{CSE}$.
Ta có $CE = \frac{{a\sqrt{3}}}

$.

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác đều $ABC\Rightarrow SO\perp (ABC)$.

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là $\widehat{SAO}=60^{\circ }$.
Ta có $AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Trong tam giác vuông $SOA$:
$SO=AO\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=a.$

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Do đó góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $SAB$, ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^{\circ }$.