Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc O(0;0), tăng qua O, đạt giá trị lớn nhất 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và giá trị nhỏ nhất -1 tại $x=-\frac{\pi }{2}$, chu kỳ $T=2\pi$. Đây đúng là đồ thị hàm số $y=\sin x$. (Với $y=\cos x$ thì tại $x=0$ có $y=1$; tan và cot không có dạng sóng liên tục này.) Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^2(4x)\in [0;1]$ với mọi $x$, nên hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức $D=\mathbb{R}$ (a đúng). Khi đó $y=2{\cos }^2(4x)-5\in [-5;-3]$: giá trị lớn nhất bằng $2\cdot 1-5=-3$ (b sai vì không phải 2), giá trị nhỏ nhất bằng $2\cdot 0-5=-5$ (c sai vì không phải -8). Tập giá trị là $T=[-5;-3]$, không phải $[-8;0]$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2(4x)$ xác định với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
GTLN $=2\cdot 1-5=-3\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
GTNN $=2\cdot 0-5=-5\ne -8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị là $T=[-5;-3]$, không phải $[-8;0]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên $-4\le 4\sin 3x\le 4$, suy ra $-7\le 4\sin 3x-3\le 1$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-7$, đạt được khi $\sin 3x=-1$, tức $3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (luôn tồn tại trên $\mathbb{R}$). Vậy $\min y=-7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đối xứng qua trục tung là hàm chẵn: f(-x)=f(x). A: f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin x cos 2x=-f(x), hàm lẻ. B: cos(x-π/2)=sin x nên f(x)=sin⁵x·sin x=sin⁶x; f(-x)=sin⁶x=f(x), hàm chẵn → đối xứng qua trục tung. C: f(-x)=tan(-x)/(tan²x+1)=-f(x), hàm lẻ. D: f(-x)=cos(-x)sin³(-x)=-cos x sin³x=-f(x), hàm lẻ. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi )$ (góc phần tư thứ II): $y=\sin x$ nghịch biến (đúng), $y=\cos x$ nghịch biến (đúng), $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (đúng), còn $y=\cot x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định nên khẳng định D là sai. Các phương án C, D đã được xác minh từ trang 4 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$ (đi qua điểm $(0;1)$, đạt cực tiểu tại $x=\pm \pi$, chu kỳ $2\pi$). Hàm $y=\cos x$ nghịch biến trên $(k2\pi ;(k+1)\pi )$ và đồng biến trên $((2k-1)\pi ;2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các khoảng: trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (A sai); trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (B sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (C sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)\subset (-\pi ;0)$ hàm đồng biến (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ xác định khi $\sin \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)\ne 0$, tức $2x+\frac{\pi }{5}\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne -\frac{\pi }{5}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{N}$.

Vì $-1\le \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]\le 1$ nên $d(t)\le 3\cdot 1+12=15$.

Dấu bằng xảy ra khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow t-80=91+364k\Rightarrow t=171+364k$.

Với $k=0$ ta được $t=171$ thỏa mãn $0<171\le 365$ (với $k=1$, $t=535>365$; với $k=-1$, $t=-193<0$).

Vậy thời gian có ánh sáng mặt trời nhiều nhất trong ngày là $15$ giờ, đạt được vào ngày thứ $171$ của năm. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 15.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)={\sin }^{2}x-\sin x$.
a) Tại $x=\pi$: $y={\sin }^2\pi -\sin \pi =0-0=0$ → Đúng.
b) $f(-x)={\sin }^2(-x)-\sin (-x)={\sin }^{2}x+\sin x\ne f(x)$; chẳng hạn $f(\pi /2)=0$ còn $f(-\pi /2)=1+1=2$, nên hàm không chẵn → Sai.
c) $f(x+2\pi )={\sin }^2(x+2\pi )-\sin (x+2\pi )={\sin }^{2}x-\sin x=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → Đúng.
d) Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, xét $g(t)=t^2-t$ trên $[-1;1]$: $g^{\prime }(t)=2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}$, $g(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ (min); $g(-1)=2$ (max). Các giá trị nguyên đạt được: $0$ (khi $t=0$ hoặc $t=1$), $1$ (khi $t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618\in [-1;1]$), $2$ (khi $t=-1$). Giá trị $-1$ không đạt vì $t^2-t=-1\iff t^2-t+1=0$ vô nghiệm. Vậy tập giá trị chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 4 → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án nguồn D-S-D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y(\pi )={\sin }^2\pi -\sin \pi =0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)={\sin }^{2}x+\sin x\ne f(x)$; ví dụ $f(\pi /2)=0\ne 2=f(-\pi /2)$, hàm không chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )={\sin }^{2}x-\sin x=f(x)$ nên hàm tuần hoàn chu kì $2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\sin x\in [-1;1]$, $g(t)=t^2-t$ có min $-\frac{1}{4}$, max $2$; các giá trị nguyên đạt được là $0,1,2$ — chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 4.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $1-\cos x\ge 0$. Ta có $f(-x)=\sqrt{1-\cos (-x)}=\sqrt{1-\cos x}=f(x)$, nên $f$ là hàm chẵn, đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng → D đúng. Xét các phương án khác: Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $0\le 1-\cos x\le 2$, do đó $0\le f(x)\le \sqrt{2}$; giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\sqrt{2}$ (khi $\cos x=-1$), không phải 1 → B sai. Phương án A: mặc định cận dưới đúng nhưng cận trên $f(x)\le 2$ không phải giá trị lớn nhất thực sự của hàm (đúng nhất phải là $\sqrt{2}$), nên A không phải khẳng định đúng nhất. Phương án C: hàm là hàm chẵn nên không thể nhận $O$ làm tâm đối xứng → C sai. Vậy đáp án đúng là D, trùng với key của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan 2x$ xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}>0$ trên mọi điểm xác định, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Xét $u=2x$: hàm $\tan u$ đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, suy ra $2x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\iff x\in \left(-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\sin x+2$. a) Tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[1;3]$ → Sai. b) Tập giá trị: vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $1\le f(x)\le 3$, tập giá trị là $[1;3]$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai. c) Phương trình $\sin x+2=0\iff \sin x=-2$ vô nghiệm vì $-2<-1$, nên đồ thị không cắt trục hoành → Đúng. d) $f^{\prime }(x)=\cos x$; trên $(-\pi ;\pi )$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-\pi ;-\pi /2)$ và $x\in (\pi /2;\pi )$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn S-S-D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\sin x+2$ là $\mathbb{R}$ vì $\sin x$ xác định với mọi $x$ thực, không phải $[1;3]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $1\le \sin x+2\le 3$, tập giá trị là $[1;3]$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành khi $\sin x+2=0\iff \sin x=-2$, vô nghiệm vì $-2<-1$. Vậy đồ thị không cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\cos x$. Trên $(-\pi ;\pi )$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x\in (-\pi ;-\pi /2)\cup (\pi /2;\pi )$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Phần II Câu 1: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai — khớp đáp án nguồn (D - S - S - S).
a) $g(x)=\sin x+\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) $g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không phải $[-2;2]$: Sai.
c) $f(x)=\tan x$ cắt trục hoành khi $\tan x=0\iff x=k\pi$. Trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$: 3 điểm (lưu ý $\tan x$ xác định tại các điểm đó): Sai.
d) $f(x)=\tan x$ chỉ đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$): Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$ nên tập xác định của $g(x)$ là $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\ne [-2;2]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=0\iff x=k\pi$; trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$ tức 3 điểm giao, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ chỉ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ và không xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$.

a) Hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Đúng.

b) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-3\le 3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 3$, suy ra $-10\le y\le -4$. Tập giá trị là $[-10;-4]$, không phải $[-3;7]$. Sai.

c) Ta có $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$, do đó $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-7$, không phải $3\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-7$. Sai.

d) $3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7=-4\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Hoành độ dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$ (khoảng cách giữa hai nghiệm liên tiếp là $2\pi >0$). Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-10\le y\le -4$; tập giá trị là $[-10;-4]$, không phải $[-3;7]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$ nên $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-7$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7=-4\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$. Hoành độ dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng $\left(\frac{5\pi }{4};\frac{4\pi }{3}\right)\subset \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\frac{5\pi }{4}>\pi$ và $\frac{4\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$). Trên khoảng $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$: hàm $y=\sin x$ nghịch biến (A sai, C đúng); hàm $y=\cos x$ đồng biến vì $y^{\prime }=-\sin x>0$ khi $\sin x<0$ (D sai); hàm $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (B sai). Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$: Đúng. b) Tập giá trị của $\cos x$ là $[-1;1]$, không phải $[0;1]$: Sai. c) $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ này: Đúng. d) Trên $(0;\pi )$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in (0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên khoảng này: Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ - S - Đ - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ xác định với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\cos x$ là $[-1;1]$, không phải $[0;1]$: Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\pi )$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$: Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ với $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{Z}$. Vì $-1\le \sin \frac{\pi (t-60)}{178}\le 1$ nên $y\le 4+10=14$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t-60=89\Rightarrow t=149$, thỏa mãn $0<149\le 365$. Vậy ngày có nhiều ánh sáng nhất có $m=14$ giờ, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. Hàm $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có chu kì $\pi$. Hàm $y=\sin x$ có chu kì $T=2\pi$ vì $\sin (x+2\pi )=\sin x$ và không có $T\in (0;2\pi )$ nào thỏa mãn. Vậy hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ là $y=\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 17 là đường sóng liên tục, đi qua điểm $(0;1)$ và đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, đối xứng qua trục tung. Đó là đặc điểm của $y=\cos x$ (vì $\cos 0=1$). Hàm $y=\sin x$ đi qua gốc tọa độ, còn $y=\tan x,y=\cot x$ có tiệm cận đứng nên loại. Vậy đáp án là B.