Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

Vì hàm số xác định khi $\sin 3x-1\ne 0\iff \sin 3x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
Trên đường tròn lượng giác, các điểm biểu diễn những số thực trên tạo thành tam giác đều có chu vi $2P=3\sqrt{3}\approx 5,2$
(Lưu ý: trang lời giải in nhầm dòng “Đáp số: 1,3”, nhưng chính lời giải chi tiết cho $2P=3\sqrt{3}\approx 5,2$ và bảng đáp án chung Phần III (trang 9, dòng 4, MD 1111) đều ghi 5,2 nên đáp án chính thức là 5,2.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) Ngày cuối cùng của tháng 1 là ngày $t=31$: $d(31)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(-49)\right)+12=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)$. Với $\frac{49\pi }{182}\approx 0,8456$ rad, $\sin \approx 0,7484$, nên $d(31)\approx 12-2,245=9,75$ giờ. Đúng.

b) $d(t)$ nhỏ nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=80-91+364k$. Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn $0<t\le 365$). Ngày thứ 353 của năm không nhuận là ngày $353-334=19$ tháng 12. Đúng.

c) Giá trị lớn nhất của $d(t)$ là $3+12=15$ giờ (khi $t=80+91=171$), không phải 12 giờ. Sai.

d) Ngày đầu năm $t=1$: $d(1)=3\sin \left(-\frac{79\pi }{182}\right)+12=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)$. Với $\frac{79\pi }{182}\approx 1,3633$ rad, $\sin \approx 0,9786$, nên $d(1)\approx 12-2,936=9,06$ giờ. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(31)=12-3\sin (49\pi /182)\approx 9,75$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)$ nhỏ nhất khi $t=353$, tức ngày 19/12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất là $15$ giờ, không phải 12 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(1)=12-3\sin (79\pi /182)\approx 9,06$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, $0<t\le 365$.
a) Ngày đầu năm $t=1$: $d(1)=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)$. Tính $\frac{79\pi }{182}\approx 1,3635$ rad, $\sin \approx 0,9786$, nên $d(1)\approx 12-2,9358=9,0642\approx 9,06$ giờ → đúng.
b) $d(t)$ nhỏ nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=80-91+364k=-11$ hoặc $t=353$ (với $k=1$). Ngày 353 của năm không nhuận là ngày 19/12 (vì đến hết tháng 11 là 334 ngày, $353-334=19$) → đúng.
c) Giá trị lớn nhất của $d(t)$ là $12+3=15$ giờ, không phải 12 giờ → sai.
d) Ngày cuối tháng 1 là $t=31$: $d(31)=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)$. $\frac{49\pi }{182}\approx 0,8457$ rad, $\sin \approx 0,7485$, nên $d(31)\approx 12-2,2455=9,7545\approx 9,75$ giờ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(1)=12-3\sin \left(\frac{79\pi }{182}\right)\approx 12-2,9358=9,06$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)$ nhỏ nhất khi $t=353$, tức ngày 19/12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất là $12+3=15$ giờ, không phải 12 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(31)=12-3\sin \left(\frac{49\pi }{182}\right)\approx 9,75$ giờ.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng — $H(t)=80\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}+20k\\ t=\frac{40}{3}+20k\end{array};0\le t\le 20\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}\\ t=\frac{40}{3}\end{array}$. d) Sai — Thời gian mà cabin ở độ cao trên $80m$ so với mặt đất là $\frac{40}{3}-\frac{20}{3}=\frac{20}{3}=6,67$ phút, khác $6,66$ phút trong đề bài.
c) $H(t)=80\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}+20k\\ t=\frac{40}{3}+20k\end{array};0\le t\le 20\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=\frac{20}{3}\\ t=\frac{40}{3}\end{array}$
d) Thời gian mà cabin ở độ cao trên $80m$ so với mặt đất là $\frac{40}{3}-\frac{20}{3}=\frac{20}{3}=6,67$ phút, khác $6,66$ phút nên khẳng định Sai. (Đáp án chính thức mã đề 0111, Câu 16: SĐĐS.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$.

a) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /182}=364$. Đúng.

b) $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=-11$ hoặc $t=353$ (với $k$ nguyên, $0<t\le 365$). Cả hai ngày đều không thuộc tháng 1 (từ 1 đến 31). Sai.

c) Vì $-1\le \sin \le 1$ nên $9\le d(t)\le 15$, số giờ ánh sáng không vượt quá 15. Đúng.

d) $d(t)$ lớn nhất khi $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}\iff t-80=91\iff t=171$. Tính ngày: tháng 1–5 có $31+28+31+30+31=151$ ngày, nên $t=171$ là ngày $171-151=20$ tháng 6, không phải ngày 21 tháng 6. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /182}=364$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)=9$ khi $t=-11$ hoặc $t=353$, không có ngày nào trong tháng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9\le d(t)\le 15$ nên không vượt quá 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Max tại $t=171$, tức ngày 20 tháng 6 chứ không phải 21 tháng 6.

a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$, tức $t=4$ giờ và $t=16$ giờ. Vậy mực nước thấp là 6 mét tại hai thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. $h^{\prime }(t)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $k=1$, khi đó $t=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.
a) Sai. Tại thời điểm nửa đêm $t=0$, mực nước tại cảng là: $h(0)=4\cos \left(\frac{\pi \cdot 0}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10=12$ (mét).
b) Đúng. Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm $t$ là $h^{\prime }(t)=4\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=-\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$.
c) Đúng. Ta có: $h(t)=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+10\ge 4\cdot (-1)+10=6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=\pi +k\cdot 2\pi \iff t=4+12k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $0\le t\le 24$, suy ra $k=0$ hoặc $k=1$. Với $k=0$: $t=4$ (giờ); với $k=1$: $t=16$ (giờ). Vậy mực nước thấp là 6 mét tại thời điểm $t_1=4$ giờ và $t_2=16$ giờ.
d) Đúng. Ta có: $h^{\prime }(t)=0\iff -\frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff t=-2+6k$ (với $k\in \mathbb{Z}$). Mà $t\in [0;6]$, suy ra $0\le -2+6k\le 6\Rightarrow k=1$. Với $k=1$: $t=-2+6\cdot 1=4$. Vậy phương trình $h^{\prime }(t)=0$ có một nghiệm trên đoạn $[0;6]$ là $t=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Khảo sát sự biến thiên (xét tính đơn điệu và giới hạn tại hai đầu khoảng).

a) $y=\sin x$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}\right)$: với mọi $x$ trong khoảng này ta có $\cos x>0$ nên $y^{\prime }=\cos x>0$, hàm số đồng biến trên khoảng. Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\pi /4^{+}}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\lim }_{x\to \pi /3^{-}}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy hàm đồng biến, nhận mọi giá trị trong $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

b) $y=\cos x$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$: $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\sin x>0$ khi $x\in (\pi /3,\pi )$ và $\sin x<0$ khi $x\in (\pi ,3\pi /2)$, do đó $-\sin x>0$... kiểm tra lại: với $x\in (\pi ,3\pi /2)$, $\sin x<0$ nên $-\sin x>0$). Xét kỹ: trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$, $\sin x>0\Rightarrow y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến; trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, $\sin x<0\Rightarrow y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. Giá trị: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$ (giá trị nhỏ nhất, đạt tại $x=\pi$), ${\lim }_{x\to 3\pi /2^{-}}\cos x=0$. Vậy hàm nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$ từ $\frac{1}{2}$ xuống $-1$, rồi đồng biến trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ từ $-1$ lên tiến tới $0$; tập giá trị là $\left[-1;\frac{1}{2}\right)$.

c) $y=\cot \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x-\frac{\pi }{6}$ thì $t\in \left(-\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3}\right)\subset (-\pi ;0)$, khoảng này nằm trọn trong một khoảng liên tục của cot nên hàm xác định trên toàn khoảng đã cho. Vì $\cot$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ,(k+1)\pi )$, hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{3\pi }{4}}^{+}$, $t\to -{\frac{11\pi }{12}}^{+}$, $\cot \left(-\frac{11\pi }{12}\right)=\cot \frac{\pi }{12}=2+\sqrt{3}$; khi $x\to -{\frac{\pi }{2}}^{-}$, $t\to -{\frac{2\pi }{3}}^{-}$, $\cot \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm nghịch biến, nhận mọi giá trị trong $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};2+\sqrt{3}\right)$.

d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x+\frac{\pi }{3}$, $t\in \left(\frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6}\right)$. Hàm tan không xác định khi $t=\frac{\pi }{2}$, tức $x=\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$. Trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ và $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$, do $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}>0$, hàm số đồng biến. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{\pi }{4}}^{+}$, $y\to \tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{+}$, $y\to -\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$, $y\to \tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ với tập giá trị $(2-\sqrt{3};+\infty )$, và đồng biến trên $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$ với tập giá trị $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$, tức là $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$. Vì $0<t\le 365$ và $t\in \mathbb{Z}$, với $k=1$ ta được $t=353$ (với $k=0$ thì $t=-11$ không thỏa mãn). Vậy ngày thứ $353$ của năm (khoảng ngày 19 tháng 12) là ngày thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất, khi đó $d(353)=12-3=9$ giờ. Bạn An nên chọn đi vào ngày thứ $353$ của năm.

(AI giải đề cho tôi)
Sà lan qua gầm cầu khi tại mọi điểm của khối hàng (nằm trong khoảng $[-w/2;w/2]$ với $w$ là chiều rộng) chiều cao cầu $y\ge 6$. Giải $\frac{8\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{12}+2=6\Rightarrow \cos \frac{x}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{12}=\pm \frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\pm 2\pi$. Vậy chiều rộng tối đa là $4\pi \approx 12,566$ m. Để chắc chắn qua được, chiều rộng phải nhỏ hơn $12,56$ m (nếu lấy 12,56 đến 13 m thì có thể vượt quá $4\pi \approx 12,566$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a,\sin a)$, $B(b,\sin b)$ với $0\le a<b\le \pi$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật với $C,D$ thuộc trục $Ox$ nên $AB\parallel CD\parallel Ox$, suy ra $\sin a=\sin b$ và $AB=CD=b-a=\frac{2\pi }{3}$. Trên $[0;\pi ]$, $\sin a=\sin b$ với $a<b$ cho $a+b=\pi$. Kết hợp $b-a=\frac{2\pi }{3}$ ta được $a=\frac{\pi }{6}$, $b=\frac{5\pi }{6}$. Độ dài $BC$ là cạnh bên của hình chữ nhật: $BC=\sin a-0=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}=0,5$. Vậy $BC\approx 0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cầu có dạng $y=4,8\cos \frac{x}{9}$, hai chân cầu là giao điểm với mặt nước ($y=0$): $\cos \frac{x}{9}=0\Rightarrow x=\pm \frac{9\pi }{2}$, tức $A\left(-\frac{9\pi }{2};0\right)$, $B\left(\frac{9\pi }{2};0\right)$.
a) Khoảng cách $AB=\frac{9\pi }{2}-\left(-\frac{9\pi }{2}\right)=9\pi \approx 28,27$ m, không phải $18\pi$ m → Sai.
b) Điểm cao nhất của cầu: $y_{\max }=4,8$ (tại $x=0$), cách mặt nước sông $4,8$ m → Đúng.
c) Khối hàng cao $3,6$ m nên để lọt gầm cầu cần $4,8\cos \frac{x}{9}\ge 3,6\iff \cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}\iff 4\cos \frac{x}{9}-3\ge 0$ → Đúng.
d) Từ $\cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}$ (với $|x|\le \frac{9\pi }{2}$) ta được $|x|\le 9\arccos \frac{3}{4}\approx 9\times 0,7227\approx 6,505$ m. Chiều rộng lớn nhất $\approx 2\times 6,505\approx 13,01$ m, làm tròn đến hàng đơn vị là $13$ m, không phải $14$ m → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai chân cầu là nghiệm của $\cos \frac{x}{9}=0$: $x=\pm \frac{9\pi }{2}$, nên $AB=9\pi \approx 28,27$ m $\ne 18\pi$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y_{\max }=4,8$ tại $x=0$, nên đỉnh cầu cách mặt nước $4,8$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $4,8\cos \frac{x}{9}\ge 3,6\iff 4\cos \frac{x}{9}-3\ge 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}\Rightarrow |x|\le 9\arccos \frac{3}{4}\approx 6,505$, chiều rộng lớn nhất $\approx 13,01$ m, làm tròn là $13$ m chứ không phải $14$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d=3\cos \left(\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}\right)$.
a) Chu kì $T=\frac{2\pi }{2\pi /3}=3$ (s) → Đúng.
b) Tại $t=2$: $d=3\cos \left(\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=3\cos \pi =-3$, nên $h=3$ nhưng $d<0$ (phía ly độ âm) → Sai.
c) Người chơi qua vị trí cân bằng khi $d=0$: $\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{5}{4}+\frac{3k}{2}$. Với $0\le t\le 20$: $k=0,1,\dots ,12$ (vì $k=13$ cho $t=20,75>20$), tức 13 lần, không phải 14 → Sai.
d) Khi $d>0$ và $h$ lớn nhất thì $d=3$: $\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow t=\frac{1}{2}+3k$. Lần đầu tiên $t=0,5$ (s) → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{2\pi /3}=3$ (s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=2$: $d=3\cos \pi =-3<0$, nên $h=3$ nhưng người chơi ở phía ly độ âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=0\Rightarrow t=\frac{5}{4}+\frac{3k}{2}$; trong $[0;20]$ có $k=\mathrm{0..12}$, tức 13 lần.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d=3$ khi $t=\frac{1}{2}+3k$; lần đầu $t=0,5$ (s).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 Phần II:
a) Đúng. Hàm $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
b) Đúng. Trên mỗi khoảng xác định $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, hàm $y=\tan x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ nên đồng biến trên từng khoảng đó.
c) Sai. Hàm $y=3\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$. Các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}\right)$, không phải các khoảng $\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)$ như đề. Trên các khoảng đã cho, hàm số không đồng biến trên toàn khoảng (chúng chứa điểm không xác định $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$). Do đó mệnh đề Sai.
d) Sai. Hàm $y=-\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$. Các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi \right)=\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+k\pi \right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$. Trên các khoảng đã cho, hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (chứa điểm không xác định $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$). Do đó mệnh đề Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm đồng biến trên từng khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định yêu cầu $x\ne \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}\right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)$, nên mệnh đề Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định yêu cầu $x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$; các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+k\pi \right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, nên mệnh đề Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+12$, $0\le t\le 24$. Đặt $u=\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$, khi $t\in [0;24]$ thì $u\in \left[\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}\right]$.

a) Vì $-1\le \cos u\le 1$ nên $9\le h(t)\le 15$. Max đạt khi $\cos u=1$, tức $u=2\pi \Rightarrow t=20$ (thuộc $[0;24]$). Vậy độ sâu lớn nhất là 15 m — ĐÚNG.

b) $h(6)=3\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+12=3\cos \frac{5\pi }{6}+12=12-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 9,402\ne 10$ — SAI.

c) $h(t)=9\iff \cos u=-1\iff u=\pi +2k\pi$. Với $u\in \left[\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3}\right]$ chỉ có $u=\pi \Rightarrow t=8$. Vậy chỉ có đúng MỘT thời điểm (8 giờ), không phải hai — SAI.

d) $t=20$ (8 giờ tối): $u=\frac{20\pi }{12}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=2\pi$, $\cos 2\pi =1\Rightarrow h=15$ là giá trị lớn nhất — ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_{\max }=3\cdot 1+12=15$ m, đạt tại $t=20$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h(6)=12-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 9,4$ m, không phải 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h=9\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=-1\iff t=8$ (chỉ một nghiệm trong $[0;24]$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=20$: $\cos 2\pi =1\Rightarrow h=15$ đạt giá trị lớn nhất.

Độ dài bóng được mô hình hóa bởi $S(t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ với $0<t<12$.
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$

Hàm số nhiệt độ có dạng $h(t)=A\sin \left[\frac{\pi }{12}(t-8)\right]+B$.
Tại thời điểm $t=14$, nhiệt độ đạt mức cao nhất bằng $35^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(14-8)\right]+B=35\iff A\sin \frac{\pi }{2}+B=35\iff A+B=35.$$
Tại thời điểm $t=2$, nhiệt độ đạt mức thấp nhất bằng $23^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(2-8)\right]+B=23\iff A\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)+B=23\iff -A+B=23.$$
Giải hệ phương trình ta được $A=6$ và $B=29$.
Nhiệt độ ngoài trời lúc 11 giờ ứng với $t=11$:
$h(11)=6\sin \left[\frac{\pi }{12}(11-8)\right]+29=6\sin \frac{\pi }{4}+29=3\sqrt{2}+29\approx 33.24{}^{\circ }\mathrm{C}$.
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thu được $33$.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên tập giá trị của hàm số $g(x)$ là $[-1;1]$. Mệnh đề sai.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=3\sin (-x)=-3\sin x=-f(x)$. Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ. Mệnh đề đúng.
c) $f(x)=3g(x)\iff 3\sin x=3\sin 3x\iff \sin 3x=\sin x\iff [<table><tbody><tr><td>3x=x+k2\pi </td></tr><tr><td>3x=\pi -x+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}</td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$: họ $x=k\pi$ cho $x\in \{0;\pi ;2\pi \}$, họ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ cho $x\in \left\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$. Vậy phương trình có 7 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Mệnh đề đúng.
d) Phương trình $\sin 3x=\frac{m}{8}$ có nghiệm $\iff -1\le \frac{m}{8}\le 1\iff -8\le m\le 8$. Có 17 giá trị nguyên của $m$. Mệnh đề sai.
a) Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên tập giá trị của hàm số $g(x)$ là $[-1;1]$. Mệnh đề sai.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=3\sin (-x)=-3\sin x=-f(x)$. Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ. Mệnh đề đúng.
c) $f(x)=3g(x)\iff 3\sin x=3\sin 3x\iff \sin 3x=\sin x\iff [<table><tbody><tr><td>3x=x+k2\pi </td></tr><tr><td>3x=\pi -x+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}</td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$.
Trên đoạn $[0;2\pi ]$: họ $x=k\pi$ cho $x\in \{0;\pi ;2\pi \}$, họ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ cho $x\in \left\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$.
Vậy phương trình có 7 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Mệnh đề đúng.
d) Phương trình $\sin 3x=\frac{m}{8}$ có nghiệm $\iff -1\le \frac{m}{8}\le 1\iff -8\le m\le 8$.
Có 17 giá trị nguyên của $m$. Mệnh đề sai.