Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong hàm số mũ nghịch biến, đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(-1;3)$, tiệm cận trục hoành khi $x\to +\infty$.

- Loại A: $y=3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$, không khớp với đồ thị nghịch biến.
- Loại B: $y=-3^x$ luôn nhận giá trị âm, đi qua $(0;-1)$, không khớp.
- Loại D: $y=-3x$ là đường thẳng, không phải đường cong như hình vẽ.
- Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=0$ có $y=1$; tại $x=-1$ có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$; hàm nghịch biến vì $0<\frac{1}{3}<1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: C (bảng đáp án Mã đề 0101, trang 5).

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}{x}^2+5x+4>0\\ x+3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\ x>-3\end{array}$
Giao các tập nghiệm ta được $x>-1$. Vậy $D=(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=b^x$ nghịch biến nên $0<b<1$; $y=c^x$ và $y=a^x$ đồng biến nên $c>1$, $a>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=a^x$ nên $c>a$. Vậy $c>a>b$. a) Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0\ne +\infty$ → Sai. b) $c>a>b$ → Đúng. c) $c>1$ nên $y=c^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Sai. d) $a>1$ nên $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$b<1<a<c$ nên $c>a>b$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c>1$ nên $y=c^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a>1$ nên $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ giảm (cơ số $0<a<1$), đi qua điểm $(-1;3)$. Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=-1$ ta có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ là hàm tăng (loại B, C); $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ tuy giảm nhưng tại $x=-1$ cho $y=\frac{3}{2}\ne 3$ (loại D). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$, loại A và B. Đồ thị đi qua điểm $(-1;3)$ nên $a^{-1}=3\Rightarrow a=\frac{1}{3}$. Vậy hàm số là $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, khớp với đáp án D (đáp án nguồn cũng là D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $M(t)=50\cdot (1,06{)}^t$ với cơ số $1,06>1$ là hàm số mũ tăng, nên khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian → a đúng. Tại $t=0$: $M(0)=50\cdot (1,06{)}^0=50$ (g) → c đúng. Sau 2 giờ: $M(2)=50\cdot (1,06{)}^2=50\cdot 1,1236=56,18$ (g), không phải 50,18 g → b sai. Sau 10 giờ: $M(10)=50\cdot (1,06{)}^{10}\approx 50\cdot 1,7908=89,54$ (g), chưa gấp đôi khối lượng ban đầu (cần $1,06^t=2\iff t={\log }_{1,06}2\approx 11,9$ giờ) → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $1,06>1$, hàm $M(t)=50\cdot (1,06{)}^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M(2)=50\cdot (1,06{)}^2=50\cdot 1,1236=56,18$ (g) $\ne 50,18$ (g).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại thời điểm bắt đầu $t=0$: $M(0)=50\cdot (1,06{)}^0=50$ (g).
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(10)=50\cdot (1,06{)}^{10}\approx 89,54$ (g) $<100$ (g), chưa gấp đôi khối lượng ban đầu. Khối lượng gấp đôi khi $t={\log }_{1,06}2\approx 11,9$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $M(t)=50\cdot (1,06{)}^t$ là hàm số mũ với cơ số $1,06>1$ nên đồng biến, khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian → a đúng. Tại thời điểm bắt đầu $t=0$: $M(0)=50\cdot (1,06{)}^0=50$ (g) → c đúng. Sau 2 giờ: $M(2)=50\cdot (1,06{)}^2=50\cdot 1,1236=56,18$ (g) ≠ 50,18 (g) → b sai. Sau 10 giờ: $M(10)=50\cdot (1,06{)}^{10}\approx 50\cdot 1,7908\approx 89,54$ (g), chưa gấp đôi khối lượng ban đầu (cần $1,06^t=2\iff t={\log }_{1,06}2\approx 11,9$ giờ) → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1,06>1$ nên hàm $M(t)=50\cdot (1,06{)}^t$ đồng biến, khối lượng tăng dần theo thời gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M(2)=50\cdot (1,06{)}^2=56,18$ (g), không phải 50,18 (g).
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(0)=50\cdot (1,06{)}^0=50$ (g).
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(10)=50\cdot (1,06{)}^{10}\approx 89,54$ (g) < 100 (g). Khối lượng gấp đôi ban đầu sau khoảng $t={\log }_{1,06}2\approx 11,9$ giờ, không phải 10 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $f(x)=3^x$ là hàm số mũ với cơ số $a=3>0$, $a\ne 1$. b) Đúng: vì cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. c) Sai: $3^x=\frac{1}{9}=3^{-2}\Rightarrow x=-2$ (không phải $x=2$). d) Đúng: $3^x\ge 81=3^4\iff x\ge 4$ (do hàm đồng biến), nên $S=[4;+\infty )$. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$; ở đây $a=3$ thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $3>1$ nên $f(x)=3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3^x=\frac{1}{9}=3^{-2}\Rightarrow x=-2$, không phải $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3^x\ge 81=3^4\iff x\ge 4$, nên $S=[4;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ với $a>1$ có tập xác định $(0;+\infty )$, đồng biến trên tập xác định, đi qua điểm $(1;0)$ và có tiệm cận đứng là trục $Oy$. Trong các hình: A và B là đồ thị hàm số mũ (đi qua $(0;1)$); D là đồ thị hàm số ${\log }_{b}x$ với $0<b<1$ (nghịch biến). Hình C là đường cong đồng biến, đi qua điểm $(1;0)$ và qua điểm $(a;1)$ vì ${\log }_{a}a=1$, đúng đặc điểm của $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$. Ta có $y^{\prime }=\ln \left(\frac{3}{4}\right)\cdot (2x-2)\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2-2x+2}$. Vì $0<\frac{3}{4}<1$ nên $\ln \left(\frac{3}{4}\right)<0$, và ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2-2x+2}>0$. Do đó $y^{\prime }>0\iff 2x-2<0\iff x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $\ln (-x^2+5x-5)\ge 0$, tức $-x^2+5x-5\ge 1\iff -x^2+5x-6\ge 0\iff x^2-5x+6\le 0\iff (x-2)(x-3)\le 0\iff 2\le x\le 3$. Vậy tập xác định là $[2;3]$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua trục tung Oy nên $f(x)=a^{-x}$. Khi đó $P=f\left({\log }_a\frac{1}{2026}\right)=a^{-{\log }_a\frac{1}{2026}}={\left(a^{{\log }_a\frac{1}{2026}}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{2026}\right)}^{-1}=2026$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án chính thức (mã đề 101, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2-3x+\frac{13}{4}$ với đỉnh parabol tại $x=\frac{3}{2}$, $t_{\min }={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{3}{2}+\frac{13}{4}=\frac{9-18+13}{4}=1$. Vì cơ số $2>1$ nên hàm số $y=2^t$ đồng biến theo $t$: hàm nghịch biến khi $t$ nghịch biến, tức trên $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$, và đồng biến trên $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$. a) Khoảng $(-1;0)\subset \left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ nên hàm nghịch biến → đúng. b) Khoảng $(0;1)\subset \left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ nên hàm nghịch biến, không đồng biến → sai. c) Giá trị cực tiểu $y_{CT}=2^{t_{\min }}=2^1=2$ → đúng. d) Hàm số chỉ có 1 điểm cực trị tại $x=\frac{3}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;0)$ ta có $t^{\prime }=2x-3<0$ nên $t$ nghịch biến, do đó $y=2^t$ nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $t^{\prime }=2x-3<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$t_{\min }=1$ tại $x=\frac{3}{2}$ nên $y_{CT}=2^1=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có 1 điểm cực trị $x=\frac{3}{2}$ (cực tiểu).

Từ đồ thị:
- Hàm số $y=a^x$ nghịch biến nên cơ số $0<a<1$. Do $\ln \frac{4}{3}\approx 0.2877<1$ nên $a=\ln \frac{4}{3}$.
- Với $x>0$, nhánh của đồ thị $y=b^x$ nằm phía trên đồ thị $y=c^x$, do đó $b>c>1$.
Ta có $\ln 3^4=4\ln 3=\ln 81$ và $\ln 4^3=3\ln 4=\ln 64$. Vì $81>64>e$ nên $\ln 3^4>\ln 4^3>1$.
Do đó $b=\ln 3^4$ và $c=\ln 4^3$.
Vậy $a=\ln \frac{4}{3},b=\ln 3^4,c=\ln 4^3$. Chọn B.

Ta có ${\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{b}{c}\right)=2({\log }_{a}b-{\log }_{a}c)=2(5-7)=-4$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ và điểm $(2;1)$.
- Với $y={\log }_3(x+1)$:
+ Tiệm cận đứng: $x=-1$.
+ $x=0\Rightarrow y={\log }_{3}1=0$.
+ $x=2\Rightarrow y={\log }_{3}3=1$.
Khớp hoàn toàn với hình vẽ.

Hàm số $y={\log }_2(2^x+1)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=\frac{2^x}{2^x+1}>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số $y={\log }_2(2^x+1)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn đáp án C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{rl}& 2-x>0\\ & x-1>0\end{array}⟺\{\begin{array}{rl}& x<2\\ & x>1\end{array}⟺1<x<2.$
Vậy tập xác định là $D=(1;2)$.

Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$.
- Phương án A: $a=2017>1$, hàm số đồng biến.
- Phương án B: $y=(3^{-1}{)}^{-x}=3^x$, có cơ số $3>1$, hàm số đồng biến.
- Phương án C: $\frac{\pi }{3}\approx \frac{3,14}{3}>1$, hàm số đồng biến.
- Phương án D: $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^{-2x}={\left({\left(\frac{\pi }{e}\right)}^2\right)}^{-x}$ hoặc viết dưới dạng $y={\left(\frac{{\pi }^2}{e^2}\right)}^x$ hoặc theo đề thi, kiểm tra cơ số nghịch biến tương ứng $⟹$ chọn D.

Biểu thức có nghĩa khi $x^3-x^2-2x>0\iff x(x^2-x-2)>0\iff x(x+1)(x-2)>0$.
Lập bảng xét dấu ta được tập nghiệm: $x\in (-1;0)\cup (2;+\infty )$.