Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$. Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên có hệ số góc $k=-1⟺\frac{-4}{(x_0-1{)}^2}=-1⟺x_0=-1$ hoặc $x_0=3$. Với $x_0=-1⟹y_0=0$, tiếp tuyến là $y=-x-1$; với $x_0=3⟹y_0=4$, tiếp tuyến là $y=-x+7$. Chọn đáp án D.

Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta suy ra:
- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0\Rightarrow ac>0$.
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0\Rightarrow \frac{d}{c}>0\Rightarrow cd>0$.
Từ đó $\frac{a}{d}=\frac{a/c}{d/c}>0\Rightarrow ad>0$ (loại D).
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d}<0\Rightarrow bd<0$ (loại A).
Từ $ad>0$ và $bd<0$, ta có $(ad)(bd)<0\iff ab\cdot d^2<0\Rightarrow ab<0$ (loại C).
Vậy $ad>0$ và $ab<0$.

Ta có $f(x)=(x-1{)}^3-3(x-1)\Rightarrow f(x+1)=x^3-3x$. Đồ thị hình bên là đồ thị hàm bậc ba đi qua $(0;1)$, đạt cực tiểu tại $(-1;-1)$ và đạt cực đại tại $(1;3)$, có phương trình là $y=-x^3+3x+1=-f(x+1)+1$. Chọn đáp án A.

Nhánh cuối đồ thị đi lên $⟹a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía dưới trục hoành $⟹d<0$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c\ge 0,\forall x$. Đồ thị có hoành độ điểm uốn dương: $x_u=-\frac{b}{3a}>0⟹b<0$. Để $y^{\prime }\ge 0$ và có nghiệm kép dương thì $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0⟹c>0$. Vậy $a>0,b<0,c>0,d<0$. Chọn D.

Với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến bất kỳ và hai tiệm cận bằng $S=\frac{2|ad-bc|}{c^2}=\frac{2|1(-1)-2(1)|}{1^2}=\frac{2|-3|}{1}=6$. Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$:
- Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên (${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$) nên $a>0$.
- Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và nhận $O(0;0)$ làm tâm đối xứng (điểm uốn) nên $d=0$ và $b=0$.
- Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu $x_1<0<x_2$ nên $c<0$.
Vậy trong bốn số $a,b,c,d$ chỉ có đúng $1$ số dương là $a$.

Từ bảng biến thiên ta có:
- Tiệm cận đứng $x=3⟹-\frac{c}{b}=3⟹c=-3b$.
- Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}⟹\frac{a}{b}=\frac{1}{2}⟹a=\frac{1}{2}b$.
Đạo hàm của hàm số: $f^{\prime }(x)=\frac{ac-(-1)b}{(bx+c{)}^2}=\frac{ac+b}{(bx+c{)}^2}$.
Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $⟹f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 3$.
$⟹ac+b<0⟺\left(\frac{1}{2}b\right)(-3b)+b<0⟺-\frac{3}{2}{b}^2+b<0⟺b\left(1-\frac{3}{2}b\right)<0$.
$⟺[<table><tbody><tr><td>b>\frac{2}{3}</td></tr><tr><td>b<0</td></tr></tbody></table>$.

Chọn D.
Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+1}$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{c}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}$.
Từ bảng biến thiên, tiệm cận đứng là $x=1⟹-\frac{1}{c}=1⟺c=-1$.
Tiệm cận ngang là $y=1⟹\frac{a}{c}=1⟺\frac{a}{-1}=1⟺a=-1$.
Đạo hàm của hàm số: $y^{\prime }=\frac{a(1)-bc}{(cx+1{)}^2}=\frac{-1-b(-1)}{(cx+1{)}^2}=\frac{b-1}{(cx+1{)}^2}$.
Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, nên $y^{\prime }<0⟹b-1<0⟺b<1$.
Với $b<1$, ta có $b^3<1<8⟹b^3-8<0$.
Vậy tập các giá trị của $b$ là tập nghiệm của bất phương trình $b^3-8<0$.

Từ bảng biến thiên, hàm số có hai điểm cực trị $x_1=1,x_2=2$ với $y(1)=6,y(2)=4$, suy ra $y=2x^3-9x^2+12x+1$. Khi đó $a=2>0,b=-9<0,c=12>0,d=1>0$, có $3$ hệ số dương.

Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ta có:
1. Nhánh bên phải đồ thị đi xuống ($x\to +\infty ,y\to -\infty$) nên hệ số $a<0$.
2. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, tức là $y(0)=d<0$.
3. Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<0<x_2$ và $|x_2|>|x_1|$ (điểm uốn có hoành độ dương):
- Phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu $⟹x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$. Vì $a<0$ nên $c>0$.
- Tổng hai nghiệm $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$. Vì $a<0$ nên $b>0$.
Vậy ta có $a<0,b>0,c>0,d<0$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 39 chọn đáp án B.

Từ bảng biến thiên:
- Đường tiệm cận đứng là $x=2$, suy ra nghiệm mẫu số $bx+c=0⟺x=-\frac{c}{b}=2\Rightarrow c=-2b$.
- Đường tiệm cận ngang là $y=1$, suy ra $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$.
- Chọn $b>0$, khi đó $a=b>0$ và $c=-2b<0$ (có 1 số âm là $c$).
Kiểm tra tính đơn điệu: đạo hàm $y^{\prime }=\frac{ac-(-5b)}{(bx+c{)}^2}=\frac{-2b^2+5b}{(bx+c{)}^2}$. Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, cần $-2b^2+5b<0$, chọn $b>\frac{5}{2}$ thì đạo hàm luôn âm phù hợp bảng biến thiên.
Vậy trong 3 số $a,b,c$ có đúng 1 số âm.

Chọn đáp án B.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{a-bc}{(cx+1{)}^2}$ với $x\ne -\frac{1}{c}$.
Từ bảng biến thiên:
- Tiệm cận đứng $x=-2⟹-\frac{1}{c}=-2⟹c=\frac{1}{2}>0$.
- Tiệm cận ngang $y=3⟹\frac{a}{c}=3⟹a=3c=\frac{3}{2}>0$.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $⟹a-bc<0⟹bc>a$.
Vì $c>0$ và $a>0$ nên $b>\frac{a}{c}=3>0$.
Vậy cả ba số $a,b,c$ đều dương, tức là có 3 số dương.

Từ đồ thị ta có ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty \Rightarrow a<0$; giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên $d<0$. Hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ trái dấu và có $x_1+x_2>0$, nên $\frac{c}{3a}=x_1{x}_2<0\Rightarrow c>0$ và $-\frac{2b}{3a}=x_1+x_2>0\Rightarrow b>0$. Vậy có $2$ số dương là $b$ và $c$.

Từ đồ thị ta có ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty \Rightarrow a>0$; giao điểm với trục tung nằm phía trên trục hoành nên $d>0$. Hai điểm cực trị $x_1\in (-2;0)$ và $x_2=2$ trái dấu và có $x_1+x_2>0$, nên $c<0$ và $-\frac{2b}{3a}=x_1+x_2>0\Rightarrow b<0$. Do đó $bc>0$, mệnh đề $bc<0$ sai.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số:
- Tiệm cận đứng $x=a$ nằm bên phải trục tung nên $a>0$.
- Tiệm cận ngang $y=b$ nằm phía trên trục hoành nên $b>0$.
- Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{-ab+c}{(x-a{)}^2}=\frac{c-ab}{(x-a{)}^2}<0\iff c-ab<0$.
Vậy $a>0,b>0,c-ab<0$.

Chọn C.
Tiếp tuyến tại $A,B$ song song nên $y^{\prime }(x_A)=y^{\prime }(x_B)\iff (x_A-1{)}^2=(x_B-1{)}^2$. Do $x_A\ne x_B$ nên $x_A+x_B=2$. Tâm đối xứng $I(1;1)$ là trung điểm của $AB$, suy ra $IA=IB=\sqrt{2}$.
Đặt $x_A=1+d$, suy ra $y_A=1+\frac{1}{d}$. Khoảng cách $I{A}^2=d^2+\frac{1}{d^2}=2\iff d^2=1\Rightarrow d=1$.
Suy ra các hoành độ là 0 và 2, nên tích $x_A\cdot x_B=0$.

a) Sai: Trên $\left[\frac{3}{2};3\right]$, $f(x)$ tăng từ $-1$ đến $\frac{1}{2}$ và bằng $0$ tại $x=2$, nên $y=|f(x)|$ có $M=1,m=0\Rightarrow 2M+2026m=2\ne 2027$.
b) Đúng: Đồ thị $(C)$ đi qua $(0;2),(2;0)$, có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$ và đồng biến trên từng khoảng xác định.
c) Sai: Hàm số không xác định tại $x=1$ nên đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
d) Đúng: Đồ thị $(C)$ có TCN $y=1$ và TCĐ $x=1$.

Phương pháp: Đường thẳng $d$ đi qua $I(1;1)$ có hệ số góc $k$: $y=k(x-1)+1$. Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Cách giải: Sử dụng công thức diện tích $S_{MAB}=\frac{1}{2}d(M,d)\cdot AB$. Áp dụng bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích, từ đó suy ra $k=-1$ và $AB=\sqrt{10}$.
Chọn A.

Chọn B.
Xét đồ thị hình 1 là của hàm số $f(x)=(x-1)(x^2-2x-3)$.
Quan sát hình 2, đồ thị đối xứng qua trục hoành phần đồ thị bên phải đường thẳng $x=1$ và giữ nguyên phần bên trái, tương ứng với việc nhân với $-1$ khi $x>1$ và giữ nguyên khi $x<1$.
Ta có $-|x-1|=-(x-1)$ khi $x\ge 1$ và $-|x-1|=x-1$ khi $x<1$.
Do đó đồ thị hình 2 là của hàm số $y=-|x-1|(x^2-2x-3)$.

a) Đúng: $y=x+4+\frac{9}{x-1}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{9}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$.
b) Sai: Tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=x+4$.
c) Đúng: Hai điểm cực trị là $A(4;11)$ và $B(-2;-1)$, suy ra $AB=\sqrt{(-6{)}^2+(-12{)}^2}=6\sqrt{5}$.
d) Đúng: Tiếp tuyến tại $M\left(m;m+4+\frac{9}{m-1}\right)$ cắt hai tiệm cận $x=1$ và $y=x+4$ (giao nhau tại $I(1;5)$) tại $E\left(1;5+\frac{18}{m-1}\right)$ và $F(2m-1;2m+3)$, diện tích $△IEF$ bằng $\frac{1}{2}\left|(2m-2)\cdot \frac{18}{m-1}\right|=18$.