Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

a) Sai: Tâm của $(S)$ là $I(2;1;-1)$.
b) Sai: Bán kính của $(S)$ là $R=\sqrt{14}$.
c) Đúng: $I{M}^2=(1-2{)}^2+(-2-1{)}^2+(3+1{)}^2=26>14=R^2$ nên $M$ nằm ngoài $(S)$.
d) Đúng: $I{N}^2=(4-2{)}^2+(2-1{)}^2+(2+1{)}^2=14=R^2$ nên $N$ nằm trên $(S)$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Ta có: $-2a=-4\Rightarrow a=2$; $-2b=2\Rightarrow b=-1$; $-2c=-2\Rightarrow c=1$.
Tọa độ tâm mặt cầu là $I(2;-1;1)$.
Chọn đáp án B.

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;2;4)$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(I,(P))=\frac{|-2-2\cdot 2+2\cdot 4-12|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|-10|}{3}=\frac{10}{3}.$

Chọn C.
Gọi tọa độ tâm mặt cầu là $I(0;b;0)\in Oy$.
Vì mặt cầu đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên $I{A}^2=I{B}^2$:
$\iff (1-0{)}^2+(2-b{)}^2+(-2-0{)}^2=(3-0{)}^2+(1-b{)}^2+(-1-0{)}^2$
$\iff 1+b^2-4b+4+4=9+b^2-2b+1+1$
$\iff b^2-4b+9=b^2-2b+11\iff -2b=2\iff b=-1$.
Suy ra tâm $I(0;-1;0)$.
Bán kính mặt cầu là $R^2=I{A}^2=1^2+(2-(-1){)}^2+(-2{)}^2=1+9+4=14$.
Vậy phương trình mặt cầu là $x^2+(y+1{)}^2+z^2=14$.

Tâm $I$ là trung điểm $AB\Rightarrow I(1;1;-2)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+4^2+2^2}}{2}=\sqrt{6}\Rightarrow R^2=6$. Phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=6$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-1;0)$ và bán kính $R=\sqrt{4^2+(-1{)}^2+0^2-1}=4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{1+1+4+3}=3$.
a) Sai: $IA=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+1^2}=3=R$ nên $A$ thuộc mặt cầu $(S)$.
b) Đúng: Bán kính của $(S^{\prime })$ là $R^{\prime }=\sqrt{(5-3{)}^2+(-2+3{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{5}$, phương trình là $(x-3{)}^2+(y+3{)}^2+(z-1{)}^2=5$.
c) Sai: Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng $2R=6$.
d) Đúng: Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(1;1;-2)$.

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y = 0 \iff x 2 + y 2 + z 2 - 2.1.x - 2.1. y + 0 = 0
\implies a = 1, b = 1, c = d = 0.

Tâm: I (1;1;0 ) , bán kính R = 12 + 12 + 02 - 0 = 2 .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:


a 2 + b2 + c 2 12 + 22 + x 2
R= \iff 3= \iff x = 31 .
2 2

Chọn B.
Tâm $I$ là trung điểm của $AB$: $I\left(\frac{2-2}{2};\frac{4+2}{2};\frac{1-3}{2}\right)=I(0;3;-1)$.
Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-4{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{16+4+16}}{2}=\frac{6}{2}=3$.
Phương trình mặt cầu là: $x^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=9$.

Chọn A.
Bán kính mặt cầu là $R=d(A,(P))=\frac{|2\cdot 2-1+2\cdot 1+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|4-1+2+1|}{3}=\frac{6}{3}=2$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\frac{1}{2}\sqrt{O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=14\pi a^2$.

Chọn B.
Tâm $I$ nằm trên tia $Ox$ nên $I(x_0;0;0)$ với $x_0>0$.
Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz):x=0$ nên $d(I,(Oyz))=R\iff |x_0|=2\Rightarrow x_0=2$ (do $x_0>0$).
Vậy tâm $I(2;0;0)$ và bán kính $R=2$, phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+y^2+z^2=4$.

Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật là:
$d=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\frac{d}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2=50\pi .$

Bán kính đường tròn giao tuyến $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
Chu vi của đường tròn $(C)$ là $C=2\pi r=2\pi \cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$.

Chọn đáp án D.

Chọn C.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn D.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn C.
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(1+1{)}^2+(0-2{)}^2+(4-3{)}^2}=3$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$.

Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi \Rightarrow R^3=27\Rightarrow R=3$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi (3^2)=36\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Chọn B
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với ( P) nên có bán kính
1+1+ 3 5
R = d ( I , ( P )) = =
11 + 12 + ( -2 ) 6
2

25
Vậy mặt cầu đã cho có phương trình là ( x - 1) + ( y - 1) + z 2 =
2 2
.
6