Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Đưa bài toán về thuần $Oxyz$ ta được: cho $A(1;0;2)$, $B(3;2;0)$ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x+y+z-2=0$ sao cho $MA=MB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Tìm giá trị của $2(a+b+c)$

+ Gọi $(Q)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$, khi đó $(Q)$ qua điểm $I(2;1;1)$ và có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}(2;2;-2)$, nên có phương trình là:
$\iff x+y-z-2=0$.
+ Vì $MA=MB$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(Q)$, do đó thỏa mãn hệ
$$\{\begin{array}{l}x+y+z-2=0\\ x+y-z-2=0\end{array}\iff \iff \{\begin{array}{l}z=0\\ y=2-x\end{array}\Rightarrow M(x;2-x;0).$$
+ Có $MA=\frac{3\sqrt{2}}{2}\iff (x-1{)}^2+(2-x{)}^2+(2{)}^2=\frac{9}{2}\iff x=\frac{3}{2}\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};0\right)$
+ Vậy $2(a+b+c)=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của giao tuyến của $(Q)$ với mặt phẳng qua $O,A$ là $\overrightarrow{OA}=(2;-1;3)$, nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(5;b;c)$ vuông góc với $\overrightarrow{OA}$: $10-b+3c=0$. Mặt khác $(Q)\perp (P)$ với $\overrightarrow{n_P}=(2;2;-1)$: $10+2b-c=0$. Trừ hai phương trình: $-3b+4c=0\Rightarrow b=\frac{4c}{3}$. Thay vào: $10+\frac{8c}{3}-c=0\Rightarrow \frac{5c}{3}=-10\Rightarrow c=-6$, suy ra $b=-8$. Vậy $bc=(-8)(-6)=48$. Kiểm tra: $10-(-8)+3(-6)=0$ đúng; $10+2(-8)-(-6)=0$ đúng.

a) Đúng. b) Sai. c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG. d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.
a) a) Đúng.
b) b) Sai.
c) c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG.
d) d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.

Theo bài ra ta có: $O(0;0;0),A(100;0;0),G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10;8)$. Do $\overrightarrow{OA}=(100;0;0),\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$, ta có: $\vec{n}=[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}]=(0;-800;1000)$. Chọn $\overrightarrow{n_1}=\frac{-1}{200}\vec{n}=(0;4;-5)$. Mặt phẳng $(OACB)$ qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(0;4;-5)$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ là: $4y-5z=0$.

Theo bài ra ta có: $O(0;0;0),A(100;0;0),G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10;8)$. Do $\overrightarrow{OA}=(100;0;0),\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$, ta có: $\vec{n}=[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}]=(0;-800;1000)$. Chọn $\overrightarrow{n_1}=\frac{-1}{200}\vec{n}=(0;4;-5)$. Mặt phẳng $(OACB)$ qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(0;4;-5)$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ là: $4y-5z=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(2;1;-1)$ và đi qua điểm $A(1;0;-1)$.
a) Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ vuông góc với $\Delta$ có VTPT $\vec{n}=\vec{u}=(2;1;-1)$: $2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0\iff 2x+y-z-1=0$. Đúng.
b) $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+2-(-1)-1|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$, nên $R^2=6$: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Đúng.
c) VTCP của $\Delta$ là $(2;1;-1)$, không phải $(2;-1;1)$. Sai.
d) $\overrightarrow{AM}=(0;2;4)$; $\overrightarrow{AM}\times \vec{u}=(-6;8;-4)$, độ dài $\sqrt{116}=2\sqrt{29}$. Khoảng cách $d(M,\Delta )=\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{58}{3}}\approx 4,4\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P) có VTPT $(2;1;-1)$ qua $M(1;2;3)$: $2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0\iff 2x+y-z-1=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=|4+2+1-1|/\sqrt{6}=\sqrt{6}=R$, nên $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $\Delta$ là $(2;1;-1)$, không phải $(2;-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,\Delta )=|\overrightarrow{AM}\times \vec{u}|/|\vec{u}|=2\sqrt{29}/\sqrt{6}=\sqrt{58/3}\approx 4,4\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$ nên có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$ (khớp $ax+by+2z+d=0$ với $a=6,b=3$). Vì $(P)\parallel (ABC)$ nên $(P):6x+3y+2z+c=0$. Thay $D(2;4;6)$: $6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6+c=36+c$, nên $d(D,(P))=\frac{|36+c|}{7}$. Khoảng cách giữa $(P)$ và $(ABC)$ là $\frac{|c+12|}{7}$. Cách đều: $|36+c|=|c+12|$. Trường hợp $36+c=c+12$ vô nghiệm; trường hợp $36+c=-(c+12)$ cho $2c=-48\Rightarrow c=-24$. Vậy $(P):6x+3y+2z-24=0$, $d=-24$. Kiểm tra: $d(D,(P))=\frac{|36-24|}{7}=\frac{12}{7}=d((P),(ABC))=\frac{|-24+12|}{7}=\frac{12}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+6=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-1)$.

a) Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(3;0;3)$, qua $A(1;-1;2)$. Vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=3+0-3=0$ nên $d\parallel (\alpha )$. Khoảng cách từ $d$ đến $(\alpha )$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha )$: $d(A,(\alpha ))=\frac{|1-2-2+6|}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đường thẳng OH đi qua O và H (hình chiếu của O lên $(\alpha )$), với $H(-1;-2;1)$ nên có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-2t\\ z=t\end{array}$. Thay vào $d$: $-2t=-1\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, khi đó $x=-\frac{1}{2}=1+3t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$, $z=2+3\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ khớp, vậy $d$ cắt OH tại $\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)$. Khoảng cách từ $d$ đến $O$: $d(O,d)=\left|\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Hai khoảng cách bằng nhau, phát biểu a ĐÚNG.

b) Từ phương trình mặt phẳng, $\vec{n}=(1;2;-1)$ là véc tơ pháp tuyến. ĐÚNG.

c) Hình chiếu H của O lên $(\alpha )$: $H=t\vec{n}=(t;2t;-t)$, thay vào mặt phẳng: $t+4t+t+6=0\Rightarrow t=-1$, suy ra $H(-1;-2;1)$, không phải $H(1;2;-1)$. SAI.

d) Đường thẳng qua O và vuông góc $(\alpha )$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{n}=(1;2;-1)$, phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
d song song (α) (vì u·n=0), d(A,(α))=3/√6=√6/2; d cắt OH tại (−1/2;−1;1/2) nên d(O,d)=√(3/2)=√6/2. Hai khoảng cách bằng nhau nên a đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình x+2y−z+6=0, véc tơ pháp tuyến là n=(1;2;−1).
c) (AI giải đề cho tôi)
H=t·n thỏa mãn mặt phẳng: 6t+6=0 ⇒ t=−1, suy ra H(−1;−2;1) chứ không phải H(1;2;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua O vuông góc (α) có chỉ phương n=(1;2;−1): x/1=y/2=z/−1.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục theo hình 2: $A(0;0;0)$, $B(0;25;0)$ trên trục $Oy$, $D(15;0;0)$ trên trục $Ox$. Vì $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với $AD\parallel BC$, $AD=15$ m, $BC=18$ m nên $C(18;25;0)$.

Mặt phẳng lát sân đi qua $A(0;0;0)$, $B^{\prime }(0;25;-0,1)$ (hạ 10 cm), $D^{\prime }(15;0;-0,06)$ (hạ 6 cm). Vì đi qua gốc $A$ nên mặt phẳng có dạng $z=px+qy$.

Thay $B^{\prime }$: $25q=-0,1\Rightarrow q=-0,004$.
Thay $D^{\prime }$: $15p=-0,06\Rightarrow p=-0,004$.
Vậy mặt phẳng là $z=-0,004(x+y)$.

Tại $C(18;25)$: $z=-0,004\cdot (18+25)=-0,004\cdot 43=-0,172$ m $=-17,2$ cm.

Suy ra $C^{\prime }$ thấp hơn mặt Oxy $17,2$ cm, tức $a=17,2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (17,2).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$. Tâm đáy $I(2;2;0)$, $SI=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ nên $S(2;2;2\sqrt{7})$. Trung điểm $M$ của $CD$: $M(2;4;0)$; trung điểm $N$ của $AD$: $N(0;2;0)$.

Vectơ $\overrightarrow{SM}=(0;2;-2\sqrt{7})$, $\overrightarrow{SN}=(-2;0;-2\sqrt{7})$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SM}\times \overrightarrow{SN}=(-4\sqrt{7};4\sqrt{7};4)$. Mặt phẳng $(SMN)$ qua $S$: $-4\sqrt{7}(x-2)+4\sqrt{7}(y-2)+4(z-2\sqrt{7})=0$, rút gọn: $-\sqrt{7}x+\sqrt{7}y+z=2\sqrt{7}$ (kiểm tra: $M,N,S$ đều thỏa).

Khoảng cách từ $C(4;4;0)$: $d=\frac{|-4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-2\sqrt{7}|}{\sqrt{7+7+1}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{15}}=2\sqrt{\frac{7}{15}}\approx 1,3663\approx 1,37$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $SAB$ đều cạnh 1 nên trung điểm $I$ của $AB$ có $SI\perp AB$, $S(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B(1;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BS}=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$, chọn $\vec{n}=(\sqrt{3};\sqrt{3};1)$.
Phương trình: $\sqrt{3}(x-1)+\sqrt{3}y+z=0$, tức $\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+z-\sqrt{3}=0$.

Khoảng cách từ $C(1;1;0)$:
$$d(C,(SBD))=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx \mathrm{0.6928.}$$

Vậy kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $0.69$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{2};0;0)$, $D(0;d;0)$, $C(\sqrt{2};d;0)$, $S(0;0;2)$ với $d=AD$ tùy ý. Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $\overrightarrow{SB}=(\sqrt{2};0;-2)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;d;0)$ nên có vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{BC}=(2d;0;\sqrt{2}d)$, tức phương trình $2x+\sqrt{2}z-2\sqrt{2}=0$ (không phụ thuộc $d$). Khoảng cách từ $D(0;d;0)$: $d(D,(SBC))=\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15$. Vậy kết quả (làm tròn đến hàng phần trăm) là $1,15$.

Đáp án theo bảng đáp án mã 101, Phần II, Câu 3: SĐĐS — a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Lưu ý: bản ghi trước đây đánh dấu ý c) là Sai, không khớp bảng đáp án SĐĐS ở trang 9; đã sửa ý c) thành Đúng và bổ sung lời giải cho từng ý.
a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{5}=1$, tức $\frac{x}{2}-y+\frac{z}{5}=1$ (không bằng $0$). Thử điểm $B(0;-1;0)$ vào $\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{5}=0$ được $1\ne 0$, nên khẳng định trên sai. Theo bảng đáp án mã 101: S.
b) Đúng. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ đi qua $AC$ lớn nhất khi $(P)\perp (OAC)$, khi đó $d(O,(P))=d(O,AC)=\frac{|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OC}|}{AC}=\frac{|(2;0;0)\times (0;0;5)|}{\sqrt{4+25}}=\frac{10}{\sqrt{29}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}$. Theo bảng đáp án mã 101: Đ.
c) Đúng. Trực tâm $H$ thỏa $\{\begin{array}{l}(H-A)\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ (H-B)\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{array}$. Với $H(x;y;z)$: $y+5z=0$ và $-2x+5z=0$, suy ra $H=\left(\frac{5z}{2};-5z;z\right)$, tức $H$ nằm trên đường thẳng qua $O$ có VTCP $\left(\frac{5}{2};-5;1\right)\propto \left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Vậy $OH$ đi qua $M\left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Theo bảng đáp án mã 101 (dòng Câu 3: SĐĐS): Đ.
d) Sai. Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu qua $O,A,B,C$. Vì $IO=IA=IB=IC$ nên $x=1$, $y=-\frac{1}{2}$, $z=\frac{5}{2}$. Khi đó $R^2=I{O}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{2}$, tức $R=\frac{\sqrt{30}}{2}\ne \frac{\sqrt{30}}{4}$. Theo bảng đáp án mã 101: S.

Chọn $A(2;1;0)\in {\Delta }_1,B(1;-1;-1)\in {\Delta }_2$. VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},{\vec{u}}_{\Delta }\right]=(5;-1;-3)$. PTMP: $5(x-2)-(y-1)-3z=0\iff 5x-y-3z-9=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P): $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(3;2;1)$. Mặt phẳng qua $M(1;5;-1)$: $3(x-1)+2(y-5)+(z+1)=0\iff 3x+2y+z-12=0$.
a) Sai: phương trình đúng là $3x+2y+z-12=0$; thay $M$ vào $3x+2y+z+12=0$ được $3+10-1+12=24\ne 0$.
b) Góc giữa $(P)$ và mặt đất: $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx 0,2673\Rightarrow \phi \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$ nên tiêu chuẩn KHÔNG thỏa mãn → Sai.
c) $A\in S_1$ (trục Ox) và $(P)$: $3x=12\Rightarrow A(4;0;0)$; $B\in S_2$: $2y=12\Rightarrow B(0;6;0)$. Diện tích $△OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12m^2$ → Đúng.
d) $N$ là chân đường vuông góc từ $O$ xuống $(P)$, $ON=\frac{12}{\sqrt{14}}\approx 3,2071$ m. Quãng đường ${\int }_0^{T}4tdt=2T^2=3,2071\Rightarrow T=\sqrt{1,60355}\approx 1,2663\approx 1,27$ giây → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt phẳng (P) qua M(1;5;-1) với $\vec{n}=(3;2;1)$ có phương trình $3x+2y+z-12=0$, không phải $3x+2y+z+12=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Góc nghiêng với mặt đất: $\cos \phi =1/\sqrt{14}\Rightarrow \phi \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$, tiêu chuẩn không thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $A(4;0;0)$, $B(0;6;0)$ nên $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12m^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $ON=12/\sqrt{14}\approx 3,2071$ m; $2T^2=3,2071\Rightarrow T\approx 1,27$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(16;0;0)$, $C(0;20;0)$, $A^{\prime }(16;0;25)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $B$ chứa các vectơ $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(16;0;25)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;20;0)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{BC}=(-500;0;320)$, tức phương trình $25x-16z=0$. Khoảng cách từ $A(16;0;0)$: $d=\frac{|25\cdot 16|}{\sqrt{25^2+16^2}}=\frac{400}{\sqrt{881}}\approx 13,4765\approx 13,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(8;0;0)$, $C(0;12;0)$, $A^{\prime }(8;0;9)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $B$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(0;12;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(8;0;9)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(108;0;-96)\sim (9;0;-8)$. Phương trình mặt phẳng: $9x-8z=0$. Khoảng cách từ $A(8;0;0)$: $d=\frac{|9\cdot 8|}{\sqrt{81+64}}=\frac{72}{\sqrt{145}}\approx 5,98$ cm.

a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.

b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.

c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$

d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.

Chọn đáp án a sai | b đúng | c sai | d đúng.
a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.
b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.
c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$
d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.

a) Vì hình chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông có cạnh $AB=2\sqrt{2}\Rightarrow AC=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\Rightarrow OA=2$.
Vậy $A(2;0;0)$. Tương tự $B(0;2;0)$ và $S(0;0;5)$.
PT mặt phẳng $(SAB)$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{5}=1\iff 5x+5y+2z-10=0$.

b) Điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $C(-2;0;0)$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ là
$$d(C,(SAB))=\frac{|5(-2)+5(0)+2(0)-10|}{\sqrt{5^2+5^2+2^2}}=\frac{|-20|}{\sqrt{54}}=\frac{20}{3\sqrt{6}}=\frac{10\sqrt{6}}{9}.$$