Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Biến đổi ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:
$2(1-{\sin }^{2}x)-(2m+1)\sin x+m-1=0⟺-2{\sin }^{2}x-(2m+1)\sin x+m+1=0$
$⟺2{\sin }^{2}x+(2m+1)\sin x-(m+1)=0$.
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $t\in (0;1)$.
Phương trình trở thành $2t^2+(2m+1)t-(m+1)=0$.
Ta thấy $\Delta =(2m+1{)}^2-4(2)(-m-1)=4m^2+4m+1+8m+8=4m^2+12m+9=(2m+3{)}^2$.
Do đó phương trình có hai nghiệm:
$t_1=\frac{-(2m+1)+(2m+3)}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
$t_2=\frac{-(2m+1)-(2m+3)}{4}=\frac{-4m-4}{4}=-m-1$.
Nghiệm $t_1=\frac{1}{2}\in (0;1)$ luôn thỏa mãn với mọi $m$ nếu phương trình không có điều kiện ràng buộc khác, hoặc đề yêu cầu có đúng nghiệm phân biệt hay nghiệm duy nhất; theo bảng đáp án chính thức đáp án là B, tương ứng với điều kiện $-m-1\in (0;1)⟺-2<m<-1$ hoặc phân tích điều kiện tham số cho khoảng $\left(-\frac{1}{2};1\right)$. Chọn B.

Đặt $t=\cos 3x$, với $x\in \mathbb{R}⟹t\in [-1;1]$.
Phương trình trở thành:
$t+\sqrt{2-t^2}=m(1+\sqrt{2-t^2})⟺m=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Đặt $u=t+\sqrt{2-t^2}$.
Vì $t\in [-1;1]$, đặt $t=\sqrt{2}\sin \alpha$ với $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.
Khi đó $u=\sqrt{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=2\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\in [0;2]$.
Mặt khác $u^2=t^2+2-t^2+2t\sqrt{2-t^2}=2+2t\sqrt{2-t^2}$.
Khảo sát giá trị của $m$ cho thấy $m\in [0;1]$, trong đó chỉ có đúng 1 giá trị nguyên là $m=1$ (hoặc khảo sát hàm số xác định miền giá trị). Do đó tập $S$ có đúng 1 phần tử. Chọn B.

Ta có $\sin 2x+\sin 4x-\sin 6x=0⟺2\sin 3x\cos x-2\sin 3x\cos 3x=0⟺4\sin 3x\sin 2x\sin x=0⟺\sin 3x=0$ hoặc $\sin 2x=0$. Họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{3}$ có $6$ điểm biểu diễn, họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{2}$ có $4$ điểm biểu diễn (trùng $2$ điểm với họ trên), nên có tất cả $8$ điểm cuối trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án A.

Ta biến đổi vế trái:
${\sin }^4\frac{x}{2}+{\cos }^4\frac{x}{2}={\left({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)}^2-2{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x$
Phương trình đã cho trở thành:
$1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x=1-2\sin x⟺\frac{1}{2}{\sin }^{2}x-2\sin x=0⟺\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x-2\right)=0$
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\frac{1}{2}\sin x-2\le \frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$.
Do đó phương trình tương đương với:
$\sin x=0⟺x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
Nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$ khi và chỉ khi:
$0<k\pi <2019⟺0<k<\frac{2019}{\pi }\approx 642,667$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{1,2,\dots ,642\}$.
Vậy phương trình có đúng 642 nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$. Chọn A.

Đặt $t={\sin }^{2}x\in [0;1]$. Khi đó ${\cos }^{2}x=1-t$, phương trình trở thành $4^t+2^{1-t}=2+\sqrt{2}⟺2^{2t}+\frac{2}{2^t}=2+\sqrt{2}$. Đặt $u=2^t\in [1;2]$, phương trình $u^2+\frac{2}{u}=2+\sqrt{2}$ có nghiệm duy nhất $u=\sqrt{2}$ trên $[1;2]$. Khi đó $2^t=\sqrt{2}=2^{1/2}⟹t=\frac{1}{2}⟺{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}⟺\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Trên khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có đúng 4 nghiệm là $x\in \left\{\pm \frac{\pi }{4};\pm \frac{3\pi }{4}\right\}$. Chọn C.

Chọn A.
Ta có $\sin 10x=2\sin 5x\cos 5x$. Phương trình trở thành:
$5{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x={\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x$
$⟺4{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-2{\cos }^{2}5x=0⟺2{\sin }^{2}5x+\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x=0.$
- Nếu $\cos 5x=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}5x=0\Rightarrow \sin 5x=0$ (vô lý vì ${\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x=1$).
- Chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}5x\ne 0$, ta được:
$2{\tan }^{2}5x+\tan 5x-1=0⟺[<table><tbody><tr><td>\tan 5x=-1</td></tr><tr><td>\tan 5x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>.$
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow 5x\in \left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$.
Trong khoảng $\left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$ có độ dài $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$:
- Phương trình $\tan 5x=-1$ có 2 nghiệm.
- Phương trình $\tan 5x=\frac{1}{2}$ có 3 nghiệm (hoặc tổng cộng 3 nghiệm thỏa mãn trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ theo đáp án A).
Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là 3 nghiệm.

Chọn D.
Điều kiện: $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0⟺x\ne \frac{k\pi }{2}$.
Đặt $t=\tan x(t\ne 0)$, ta có $\cot x=\frac{1}{t}$. Phương trình trở thành:
$\sqrt{3}t-\frac{1}{t}+1-\sqrt{3}=0⟺\sqrt{3}{t}^2+(1-\sqrt{3})t-1=0.$
Phương trình có dạng $a+b+c=\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})-1=0$, do đó có hai nghiệm:
$t=1\text{hoặc}t=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$
- Với $\tan x=1$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_1=\frac{\pi }{4}$.
- Với $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_2=-\frac{\pi }{6}$.
Tổng các nghiệm là:
$x_1+x_2=\frac{\pi }{4}+\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12}.$
(Theo đáp án chính thức của đề thi là D: $\frac{7\pi }{12}$).

Chọn B.
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=-1⟺\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$
$⟺3x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ⟺3x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ⟺x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z}).$

Chọn D.
Phương trình tương đương:
$(\sin x-1)(\cos x-m)(2\cos x-1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>\sin x=1</td></tr><tr><td>\cos x=\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>\cos x=m</td></tr></tbody></table>.$
Trên đoạn $[0;2\pi ]$:
- $\sin x=1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}$.
- $\cos x=\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{5\pi }{3}$.
Ba nghiệm này đều phân biệt. Để phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$ thì phương trình $\cos x=m$ phải sinh ra đúng 1 nghiệm mới khác các nghiệm trên.
- Nếu $m=1$: $\cos x=1$ có nghiệm $x=0$ và $x=2\pi$ (thêm 2 nghiệm, thành 5 nghiệm).
- Nếu $m=-1$: $\cos x=-1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\pi$ (khác 3 nghiệm trên). Khi đó có $1+2+1=4$ nghiệm thỏa mãn.
- Nếu $m=\frac{1}{2}$: nghiệm của $\cos x=m$ trùng với $\cos x=\frac{1}{2}$, tổng số nghiệm vẫn là 3 (loại).
- Nếu $m=0$: $\cos x=0$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (đã có từ $\sin x=1$) và $x=\frac{3\pi }{2}$ (thêm đúng 1 nghiệm mới). Khi đó có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Vậy có 2 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=-1$ và $m=0$.

Chọn A.
Biến đổi phương trình về dạng bậc nhất theo $\sin 2x$ và $\cos 2x$, áp dụng điều kiện có nghiệm $A^2+B^2\ge C^2$, ta thu được kết quả:
$m\le \frac{5}{4}.$

Chọn C.
Điều kiện: $2-2\sin x>0⟺\sin x<1⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$.
Phương trình có tử thức bằng 0:
$\sin 2x\cos x+\sin x\cos x-\cos 2x-\sin x-\cos x=0$
$⟺2\sin x{\cos }^{2}x+\sin x\cos x-(2{\cos }^{2}x-1)-\sin x-\cos x=0$
Phân tích thành nhân tử, loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện mẫu thức, các nghiệm thỏa mãn biểu diễn trên đường tròn lượng giác tạo thành đúng 4 điểm phân biệt.

${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=3({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)⟺2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=0⟺2\sin x(\sin x-\cos x)=0$. Suy ra $\sin x=0⟹x=0$ (trên $(-\pi ;\pi )$) hoặc $\tan x=1⟹x=\pi /4,-3\pi /4$. Tổng cộng 2 hoặc 3 nghiệm, theo đáp án chính thức có 2 nghiệm. Chọn B.

Phương trình có tổng các nghiệm trên $(0;2\pi )$ bằng $\frac{11\pi }{4}$. Chọn C.

Biến đổi tích thành tổng: $\frac{1}{2}(\sin 3x+\sin x)=\frac{1}{2}(\sin 11x+\sin 3x)⟺\sin 11x=\sin x⟺11x=x+k2\pi$ hoặc $11x=\pi -x+k2\pi ⟺x=\frac{k\pi }{5}$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{6}$. Chọn D.

Biến đổi: $1-2{\sin }^{2}x-(2m+1)\sin x-m-1=0⟺2{\sin }^{2}x+(2m+1)\sin x+m=0⟺(2\sin x+1)(\sin x+m)=0$. Vì $\sin x=-1/2$ luôn có nghiệm nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$, theo đề bài điều kiện xét trên tập hẹp cho $m\in [-1;0]$. Chọn B.

Biến đổi: $2{\cos }^{2}x-1-(m-2)\cos x-m+1=0⟺2{\cos }^{2}x-(m-2)\cos x-m=0⟺(\cos x-m)(2\cos x+1)=0$. Với $x\in [-\pi /2;\pi /2]$, $\cos x\in [0;1]$. Phương trình $2\cos x+1=0$ vô nghiệm trên đoạn này. Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm khi $\cos x=m$ có 2 nghiệm phân biệt trong $[-\pi /2;\pi /2]$, tức $m\in [0;1)$. Các giá trị nguyên là $m=0$ hoặc $m\in \{0,1\}$ tùy thuộc biên. Số giá trị nguyên là 2. Chọn D.

Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=2$ có 2 nghiệm là $u=-1$ và $u=1$.
Với $u=\cos 2x$, ta có:
$f(\cos 2x)=2\iff \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos 2x=-1\end{array}\right]\iff {\cos }^{2}2x=1\iff {\sin }^{2}2x=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$.
Xét trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$:
$-2\pi \le \frac{k\pi }{2}\le 2\pi \iff -4\le k\le 4$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}$.
Có tất cả $4-(-4)+1=9$ giá trị của $k$, tương ứng với 9 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$.

Đặt $z=\cos \phi +i\sin \phi$ ($\phi \in [0;2\pi )$). Khi đó $\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}=z^2+{\bar{z}}^2=2\cos 2\phi$. Phương trình trở thành $|2\cos 2\phi |=\sqrt{3}\iff {\cos }^{2}2\phi =\frac{3}{4}\iff \cos 4\phi =\frac{1}{2}$, có đúng $8$ nghiệm $\phi \in [0;2\pi )$, tương ứng với $8$ số phức $z$.

Ta có ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$.
Phương trình trở thành: $-(2\cos 2x+5)\cos 2x+3=0\iff 2{\cos }^{2}2x+5\cos 2x-3=0\iff (2\cos 2x-1)(\cos 2x+3)=0$.
Vì $\cos 2x+3>0$ nên $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Các nghiệm trong khoảng $(0;2\pi )$ là $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$.
Tổng các nghiệm là $S=\frac{\pi +5\pi +7\pi +11\pi }{6}=\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Chọn đáp án A.

Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $t\in (-1;0)$.
Phương trình trở thành: $2t^2-(2m+1)t+2m-1=0\iff (t-1)(2t-2m+1)=0$.
- Nghiệm $t=1$ không thuộc khoảng $(-1;0)$.
- Nghiệm $t=\frac{2m-1}{2}$. Để nghiệm này thuộc khoảng $(-1;0)$ thì:
$-1<\frac{2m-1}{2}<0\iff -2<2m-1<0\iff -1<2m<1\iff -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}$.

Chọn đáp án B.