Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải $P(t)=110$: $20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=10\Rightarrow \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, tức $t=\frac{1}{14}+\frac{6k}{7}$ hoặc $t=\frac{5}{14}+\frac{6k}{7}$. Với $t\in [0;1]$: $k=0$ cho $t=\frac{1}{14},\frac{5}{14}$; $k=1$ cho $t=\frac{13}{14}$ (và $\frac{17}{14}>1$ loại). Vậy có 3 lần huyết áp đạt 110 mmHg.

1.
a. $2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b. $x\in \left[-2\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow x\in \left\{-\frac{11\pi }{6};-\frac{7\pi }{6};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$

2.
$\Rightarrow 2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x-2m+3=0$, Đặt $\sin x=t,t\in [-1;1]\Rightarrow 2t^2+3t-5=-2m$

Vẽ đồ thị ta thấy hàm số $2t^2+3t-5=f(t)$ ta thấy $f(t)\in \left[\frac{-49}{8};0\right]\Rightarrow$ Để pt vô nghiệm thì $\{\begin{array}{l}-2m>0\\ -2m<\frac{-49}{8}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m<0\\ m>\frac{49}{16}\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Với $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k-\frac{1}{12}\le 5\Rightarrow -\frac{23}{12}\le k\le \frac{61}{12}$, nên $k\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$: 7 nghiệm.

Với $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k+\frac{1}{4}\le 5\Rightarrow -\frac{9}{4}\le k\le \frac{19}{4}$, nên $k\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$: 8 nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (một họ là các số $\equiv -\pi /12$, họ kia $\equiv \pi /4$ theo mod $\pi$). Vậy tổng số nghiệm là $7+8=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c=m-5$, điều kiện có nghiệm: $-1\le c\le 1\iff 4\le m\le 6$. Với $c\in (-1;1)$, các nghiệm trong $\left[-\frac{\pi }{3};2\pi \right)$ là: $x=\arccos c$ (luôn thuộc đoạn vì $0<\arccos c<\pi$); $x=-\arccos c+2\pi \in (\pi ;2\pi )$ (luôn thuộc nửa khoảng); $x=-\arccos c$ chỉ thuộc đoạn khi $\arccos c\le \frac{\pi }{3}\iff c\ge \frac{1}{2}$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm khi $c<\frac{1}{2}$, tức $m<\frac{11}{2}$. Kết hợp $4\le m\le 6$ (nguyên) và $m<5,5$ ta được $m=5$. Kiểm tra: $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ thuộc đoạn, còn $x=-\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{3}$ loại. Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2-m$, điều kiện có nghiệm là $-1\le t\le 1$, tức $1\le m\le 3$ với $m$ nguyên: $m\in \{1,2,3\}$. Xét từng giá trị trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{3};2\pi \right]$: Với $m=1$, $\cos x=1$ cho $x=0$ và $x=2\pi$: đúng 2 nghiệm. Với $m=2$, $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{3\pi }{2}$: đúng 2 nghiệm. Với $m=3$, $\cos x=-1$ chỉ cho $x=\pi$: 1 nghiệm, không thỏa. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{1,2\}$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1$. Khi đó $\frac{\pi t}{6}+1=\pi +2k\pi \iff t=6+12k-\frac{6}{\pi }$. Với $0\le t<24$: với $k=0$, $t\approx 6-1,91\approx 4,09$ (nhận); với $k=1$, $t\approx 16,09$ (nhận); với $k=2$, $t\approx 28,09$ (loại). Vậy có 2 thời điểm thỏa mãn, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1101: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)+g(x)=\sin x+\cos 2x=\sin x+1-2{\sin }^{2}x=0$, tức $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$, nên $\sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$. Với $\sin x=1$: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Với $\sin x=-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. a) Sai: bộ nghiệm còn thiếu họ nghiệm $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. b) Đúng: $g(x)=\cos 2x\le 1$ và đạt $1$ khi $2x=k2\pi$. c) Sai: $g(x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định là $\mathbb{R}$ (không phải $[-1;1]$). d) Sai: trong đoạn $[0;\pi ]$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (các nghiệm $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{7\pi }{6}$ không thuộc $[0;\pi ]$), nên chỉ có 1 nghiệm phân biệt, không phải 2. Khớp với đáp án nguồn (S, Đ, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\sin x+\cos 2x=0$ được $\sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, cho họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và còn thiếu họ $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ có giá trị lớn nhất bằng 1 khi $2x=k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi số thực, tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[0;\pi ]$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$, tức 1 nghiệm phân biệt, không phải 2.

a) Sai. $g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị).
b) Đúng. $\sin x+\cos 2x=0\iff \sin x+1-2{\sin }^{2}x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
c) Đúng. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ với mọi $x$, nên $\max g(x)=1$, đạt được khi $2x=k2\pi$, tức $x=k\pi$.
d) Sai. Theo ý b), trong đoạn $[0;\pi ]$: $x=\frac{\pi }{2}$ thỏa mãn, còn họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ không cho nghiệm nào thuộc $[0;\pi ]$. Vậy phương trình chỉ có đúng 1 nghiệm thuộc $[0;\pi ]$.

Ta có: $Maxh(t)\iff \sin \frac{\pi }{12}(t-9)=1$ $\iff \frac{\pi }{12}(t-9)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff t=15+24k,k\in \mathbb{Z}$. Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$ nên $t=15$. $A=a^2+2a+t=a^2+2a+15=(a+1{)}^2+14\ge 14$

(AI giải đề cho tôi)
Huyết áp đạt 120 mmHg khi $100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$. Khi đó $\frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=\frac{3}{14}(4k+1)$. Với $0\le t\le 3$: $0\le \frac{3}{14}(4k+1)\le 3\iff 0\le 4k+1\le 14\iff k=0,1,2,3$. Vậy huyết áp đạt 120 mmHg đúng 4 lần (tại $t=\frac{3}{14},\frac{15}{14},\frac{27}{14},\frac{39}{14}$), khớp với đáp án nguồn là 4.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến bức tường, đặt $t=\tan \alpha$. Theo đề: $\tan \alpha =\frac{3}{d}$ và $\tan (\alpha +15^{\circ })=\frac{9}{d}=3\tan \alpha =3t$. Với $\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}\approx 0,267949$, phương trình cộng góc $\frac{t+\tan 15^{\circ }}{1-t\tan 15^{\circ }}=3t$ cho $3\tan 15^{\circ }{t}^2-2t+\tan 15^{\circ }=0$. Giải: $t=\frac{2\pm \sqrt{4-12{\tan }^{2}15^{\circ }}}{6\tan 15^{\circ }}$, được $t_1\approx 2,3466$ (khi đó $d\approx 1,28$ m, góc $\alpha +15^{\circ }>90^{\circ }$ nên loại) và $t_2\approx 0,14206$. Chọn $t_2$: $d=\frac{3}{t_2}\approx 21,12$ m. Vậy khoảng cách lớn nhất từ vận động viên đến bức tường là $21,1$ m, khớp đáp án nguồn 21.1.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên phương trình (*) tương đương $\cot 3x=\cot \frac{\pi }{3}$ (ý c Đúng).

Điều kiện: $3x\ne k\pi$. Nghiệm tổng quát: $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

a) Trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$: với $k=0$ được $x=\frac{\pi }{9}$; với $k=1$ được $x=\frac{4\pi }{9}$; các $k$ khác cho nghiệm ngoài khoảng. Tổng $=\frac{\pi }{9}+\frac{4\pi }{9}=\frac{5\pi }{9}$. Đúng.

b) Nghiệm dương lớn nhất trong khoảng là $\frac{4\pi }{9}$. Đúng.

c) Đúng như trên.

d) Họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$: với $k=1$ cho $x=\frac{2\pi }{9}$, khi đó $\cot 3x=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa (*). Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Sai.

Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp đáp án mã đề 102 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là $\frac{\pi }{9}$ và $\frac{4\pi }{9}$, tổng bằng $\frac{5\pi }{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương lớn nhất trong khoảng là $\frac{4\pi }{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên hai phương trình tương đương.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ cho $x=\frac{2\pi }{9}$ khi $k=1$, nhưng $\cot \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa (*). Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \frac{\pi }{3}$ (vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$), với điều kiện $\sin 3x\ne 0$. Suy ra $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
a) Đúng: họ nghiệm đúng như trên.
b) Đúng: với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ thì $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}<0\Rightarrow k\in \left(-\frac{11}{6};-\frac{1}{3}\right)\Rightarrow k=-1$, cho duy nhất nghiệm $x=-\frac{2\pi }{9}$; tổng các nghiệm bằng $-\frac{2\pi }{9}$.
c) Đúng: nghiệm duy nhất trong khoảng (đồng thời là nghiệm âm lớn nhất) là $-\frac{2\pi }{9}$.
d) Sai: $\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$, nên phương trình không tương đương $\cot 3x=\cot \frac{\pi }{6}$ (đúng phải là $\cot \frac{\pi }{3}$). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cot 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \frac{\pi }{3}\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ chỉ có nghiệm $x=-\frac{2\pi }{9}$ (k=-1), tổng bằng $-\frac{2\pi }{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nghiệm duy nhất trong khoảng, cũng là nghiệm âm lớn nhất, là $-\frac{2\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$; phải là $\cot \frac{\pi }{3}$.

Chọn A. Người chơi đu đạt được cảm giác mạnh khi $h=|d|$ lớn nhất $$\iff \{\begin{array}{l}\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=1\\ \cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=-1\end{array}\iff \sin \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]=0\iff \frac{\pi }{3}(2t-1)=k\pi \iff t=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k,k\in \mathbb{Z}$$ Trong khoảng thời gian 1 phút, với $t=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k,k\in \mathbb{Z}$ ta có $$\{\begin{array}{l}0\le \frac{1}{2}+\frac{3}{2}k\le 60\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}\le k\le \frac{119}{3}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3;5;...;39\right\}$$ Vậy trong khoảng thời gian 1 phút người chơi đu đạt được cảm giác mạnh 40 lần.

Chọn A
Ta có:
$$\cos \left(5x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\iff \{\begin{array}{l}5x-\frac{\pi }{6}=2x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 5x-\frac{\pi }{6}=-2x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$
Vì $x\in [0;\pi ]$ nên ta có:
+) Với $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\Rightarrow 0\le -\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\le \pi \iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{19}{12}$, do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1$ nên $x=\frac{11\pi }{18}$.
+) Với $x=\frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\Rightarrow 0\le \frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\le \pi \iff \frac{-1}{4}\le k\le \frac{13}{4}$, do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1;2;3\}$ nên $x\in \left\{\frac{\pi }{14};\frac{5\pi }{14};\frac{9\pi }{14};\frac{13\pi }{14}\right\}$.
Tổng tất cả các nghiệm là: $\frac{11\pi }{18}+\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}=\frac{47\pi }{18}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dao động: $s=2\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).
a) Tại $t=0$: $s=2\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}=1$ (cm) → Đúng.
b) Biên độ $A=2$ cm nên khoảng cách xa vị trí cân bằng nhất là $S=2$ cm → Đúng.
c) Qua vị trí cân bằng khi $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$. Với $0\le t\le 30$: $k\le \frac{30-\pi /42}{\pi /7}\approx 66,48$, vậy $k=0,1,\dots ,66$ → 67 lần → Đúng.
d) Xa vị trí cân bằng nhất khi $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=\pm 1\Rightarrow 7t+\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow t=\frac{k\pi -\pi /3}{7}$. Thời điểm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $t=\frac{2\pi }{21}\approx 0,299$ s, không phải $t=\frac{5}{21}\approx 0,238$ s → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS (MD 1112, Phần II Câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
$s(0)=2\cos (\pi /3)=1$ cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biên độ $A=2$ cm nên li độ cực đại (xa VTCB nhất) là 2 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua VTCB khi $t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$; với $0\le t\le 30$ có $k=\mathrm{0..66}$, tức 67 lần.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xa VTCB nhất khi $7t+\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow t=\frac{k\pi -\pi /3}{7}$; thời điểm đầu tiên ($k=1$) là $t=\frac{2\pi }{21}\approx 0,299$ s, không phải $\frac{5}{21}$ s.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $p(t)=90$: $100+20\cos (120\pi t)=90\iff \cos (120\pi t)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $120\pi t=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{k}{60}\pm \frac{1}{180}$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét $t\in [0;10]$:
- Dạng $t=\frac{k}{60}+\frac{1}{180}$: cần $0\le \frac{k}{60}+\frac{1}{180}\le 10\iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{1799}{3}\approx 599,67$, nên $k=0,1,\dots ,599$: 600 giá trị.
- Dạng $t=\frac{k}{60}-\frac{1}{180}$: cần $0\le \frac{k}{60}-\frac{1}{180}\le 10\iff \frac{1}{3}\le k\le \frac{1801}{3}\approx 600,33$, nên $k=1,2,\dots ,600$: 600 giá trị.
Hai họ không trùng nhau (một họ là các số dạng $\frac{3k+1}{180}$, họ kia dạng $\frac{3k-1}{180}$). Vậy tổng cộng huyết áp đạt mức 90 mmHg $600+600=1200$ lần trong 10 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1$: $4x-\frac{3\pi }{8}=\pi +2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng. Trên đường tròn lượng giác, nghiệm có dạng $x\equiv \frac{11\pi }{32}(\mathrm{mod}\frac{\pi }{2})$, nên trong $[0;2\pi )$ có 4 giá trị phân biệt: $\frac{11\pi }{32},\frac{27\pi }{32},\frac{43\pi }{32},\frac{59\pi }{32}$, tương ứng 4 điểm trên đường tròn.

b) Sai. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)=\left(\frac{8\pi }{32};\frac{304\pi }{32}\right)$: cần $\frac{8\pi }{32}<\frac{11\pi }{32}+\frac{16k\pi }{32}<\frac{304\pi }{32}$, tức $8<11+16k<304$, cho $k=0,1,\dots ,18$ (19 nghiệm). Tổng $=19\cdot \frac{11\pi }{32}+\frac{\pi }{2}\cdot \frac{18\cdot 19}{2}=\frac{209\pi }{32}+\frac{171\pi }{2}=\frac{2945\pi }{32}\ne \frac{6061\pi }{32}$.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{11\pi }{32}$; nghiệm âm lớn nhất là $\frac{11\pi }{32}-\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{32}$. Tổng $=\frac{6\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}\ne \frac{3\pi }{4}$.

d) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$: $4x-\frac{3\pi }{8}=\frac{11\pi }{8}-\frac{3\pi }{8}=\pi$, nên $\cos \pi =-1$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ cho 4 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác trong một vòng $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 19 nghiệm với $k=0,\dots ,18$; tổng bằng $\frac{2945\pi }{32}$, không phải $\frac{6061\pi }{32}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{11\pi }{32}$, nghiệm âm lớn nhất $-\frac{5\pi }{32}$, tổng $\frac{3\pi }{16}\ne \frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình được $\cos \pi =-1$, đúng.

a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$, ta có $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$ là $\frac{11\pi }{32}$; nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.

d) Sai. $k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)$. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.
a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff 4x-\frac{3\pi }{8}=\pi +k2\pi \iff 4x=\frac{11\pi }{8}+k2\pi \iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$ với $n$ là số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có: $\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Sai. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}>0\iff k>-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$: $\frac{11\pi }{32}$. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<0\iff k<-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.
d) Sai. Do $x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)\iff \frac{\pi }{4}<\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<\frac{19\pi }{2}\iff -\frac{3}{16}<k<\frac{293}{16},k\in \mathbb{Z}\iff k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng đó. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)$. Phương trình trở thành $\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $x+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $x+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất: $M=\frac{\pi }{6}$. Các nghiệm âm: $-\frac{11\pi }{6}$ (từ họ thứ nhất, $k=-1$) và $-\frac{4\pi }{3}$ (từ họ thứ hai, $k=-1$); vì $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{11\pi }{6}$ nên nghiệm âm lớn nhất là $m=-\frac{4\pi }{3}$. Vậy $M+m=\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{6}-\frac{8\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$.