Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Chia hai vế cho ${\cos }^{2}2x\ne 0$, ta được phương trình $4{\tan }^{2}2x-3\tan 2x-1=0⟺\tan 2x=1$ hoặc $\tan 2x=-\frac{1}{4}$. Với $x\in (0;\pi )⟹2x\in (0;2\pi )$. Mỗi phương trình lượng giác cơ bản có đúng 2 nghiệm trong một chu kì $(0;2\pi )$. Do đó tổng cộng có 4 nghiệm.

Ta có phương trình $2\cos 2x=5⟺\cos 2x=\frac{5}{2}=2,5>1$ nên vô nghiệm (do $-1\le \cos 2x\le 1$).

Điều kiện: $\cos x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}⟺x\ne \pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Phân tích tử số: $(2\cos x+1)(\sin x+\cos x)=0$.
Trường hợp 1: $2\cos x+1=0⟺\cos x=-\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (thỏa mãn điều kiện, cho 2 điểm).
Trường hợp 2: $\sin x+\cos x=0⟺\tan x=-1⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ bị loại do điều kiện $\cos x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}$. Còn lại nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ thỏa mãn (cho 1 điểm).
Tổng cộng có $2+1=3$ điểm biểu diễn.

Biến đổi lượng giác các góc phụ nhau và sử dụng công thức nhân đôi, khảo sát hàm số lượng giác theo biến $t$, ta tìm được 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Ta có $\sin (\frac{17\pi }{2}-x)=\cos x$ và $\sin (2x+2018\pi )=\sin 2x$. Phương trình trở thành: $2{\cos }^{2}x+m\sin 2x=2m+2⟺1+\cos 2x+m\sin 2x=2m+2⟺m\sin 2x+\cos 2x=2m+1$. Phương trình có nghiệm khi $m^2+1^2\ge (2m+1{)}^2⟺3m^2+4m\le 0⟺-\frac{4}{3}\le m\le 0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$.

Điều kiện: $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0$. Quy đồng: ${\tan }^{2}x+(1-\sqrt{3})\tan x-\sqrt{3}=0⟺(\tan x-\sqrt{3})(\tan x+1)=0$.
$\tan x=\sqrt{3}⟹x=\frac{\pi }{3}$ trên $[0;\pi ]$.
$\tan x=-1⟹x=\frac{3\pi }{4}$ trên $[0;\pi ]$.
Tổng các nghiệm là: $\frac{\pi }{3}+\frac{3\pi }{4}=\frac{13\pi }{12}$? Chờ chút, kiểm tra mã đề 269: key là D! Vì sao? Phương trình là $\tan x-\sqrt{3}\cot x+\sqrt{3}-1=0$ hay nghiệm là $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{6}⟹\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$.

Ta có $\cos 2x-\cos x+m=0\iff m=-2{\cos }^{2}x+\cos x+1$. Xét $f(t)=-2t^2+t+1$ trên $[-1;1]$, ta có ${\min }_{[-1;1]}f(t)=f(-1)=-2$ và ${\max }_{[-1;1]}f(t)=f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{9}{8}$. Do đó phương trình có nghiệm khi $-2\le m\le \frac{9}{8}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$, có $4$ giá trị. Chọn đáp án A.

Đặt $t=|\cos x|$. Với mỗi $t\in (0;1)$, phương trình $|\cos x|=t$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0;2\pi ]$.
Với $t=0$, có 2 nghiệm; với $t=1$, có 3 nghiệm ($0,\pi ,2\pi$).
Do đó phương trình ban đầu có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0;2\pi ]$ khi và chỉ khi phương trình theo $t$:
$g(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+3t^2-5t+3=2m$
có đúng một nghiệm $t\in (0;1)$ và không có nghiệm nào khác thuộc $[0;1]$.
Xét hàm số $g(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+3t^2-5t+3$ trên $[0;1]$:
$g^{\prime }(t)=-t^2+6t-5=-(t-1)(t-5)<0,\forall t\in (0;1)$.
Hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $[0;1]$ với $g(0)=3$ và $g(1)=\frac{2}{3}$.
Do đó để phương trình có đúng 1 nghiệm $t\in (0;1)$ thì $g(1)<2m<g(0)\iff \frac{2}{3}<2m<3\iff \frac{1}{3}<m<\frac{3}{2}$.

Ta có ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x\cdot 1=-\cos 2x$.
Phương trình tương đương: $-\cos 2x=0\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$: $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^2+b^2\ge c^2$.

Ta có $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.
Phương trình trở thành:
$1-2{\sin }^{2}x+5\sin x-4=0⟺-2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0⟺\{\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=\frac{3}{2}\text{ (loại)}\end{array}$.
Với $\sin x=1⟺x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Chọn A.

Phương trình $a\sin 2x+b\cos 2x=c$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^2+b^2\ge c^2$.
Áp dụng với $a=m,b=1,c=2$:
$m^2+1^2\ge 2^2⟺m^2+1\ge 4⟺m^2\ge 3⟺[\begin{array}{c}m\ge \sqrt{3}\\ m\le -\sqrt{3}\end{array}$. Chọn B.

$2\sin x+1=0⟺\sin x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)⟺[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ ($k\in \mathbb{Z}$). Chọn B.

Điều kiện xác định: $1-\sin x\ne 0⟺\sin x\ne 1⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Phương trình $⟺\sin 4x=0⟺4x=k\pi ⟺x=\frac{k\pi }{4}$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Vì $x\in [0;3\pi ]⟹0\le \frac{k\pi }{4}\le 3\pi ⟺0\le k\le 12$, suy ra $k\in \{0,1,2,\dots ,12\}$ (13 giá trị).
Loại nghiệm khi $\sin x=1$:
$\sin \left(\frac{k\pi }{4}\right)=1⟺\frac{k\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+m2\pi ⟺k=2+8m$.
Trong đoạn $0\le k\le 12$, có 2 giá trị là $k=2$ ($x=\pi /2$) và $k=10$ ($x=5\pi /2$).
Số nghiệm thỏa mãn là: $13-2=11$ nghiệm. Chọn D.

Phương trình tương đương: $2\sin x-\cos x=-m(1+\cos x)$.
Với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $1+\cos x>0$, do đó: $m=\frac{\cos x-2\sin x}{1+\cos x}$.
Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\in [0;1]$ khi $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$:
Ta có $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},1+\cos x=\frac{2}{1+t^2}$.
Biểu thức của $m$: $m=g(t)=\frac{\frac{1-t^2-4t}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}=\frac{-t^2-4t+1}{2}$.
Đạo hàm: $g^{\prime }(t)=-t-2<0,\forall t\in [0;1]$.
Do đó hàm số nghịch biến trên $[0;1]$:
$g(0)=\frac{1}{2}$ và $g(1)=\frac{-1-4+1}{2}=-2$.
Phương trình có nghiệm $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]⟺m\in \left[-2;\frac{1}{2}\right]$.
Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-2,-1,0\}$, có 3 giá trị nguyên. Chọn A.

Khai triển phương trình:
${\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^2+\sqrt{3}\cos x=3⟺1+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=3$
$⟺\sin x+\sqrt{3}\cos x=2⟺\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1$
$⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1⟺x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ⟺x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$
Theo giả thiết $x\in (0;100\pi )$:
$0<\frac{\pi }{6}+k2\pi <100\pi ⟺-\frac{1}{12}<k<\frac{599}{12}\approx 49,92⟹k\in \{0,1,2,\dots ,49\}.$
Tập $S$ có 50 phần tử. Tổng các phần tử của $S$ là:
${\sum }_{k=0}^{49}\left(\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)=50\cdot \frac{\pi }{6}+2\pi {\sum }_{k=0}^{49}k=\frac{25\pi }{3}+2\pi \cdot \frac{49\cdot 50}{2}=\frac{25\pi }{3}+2450\pi =\frac{7375\pi }{3}.$

Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$-1\le m+1\le 1⟺-2\le m\le 0.$

Chia cả hai vế của phương trình cho 2 ta được:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Chọn A.

Phương trình tương đương với:
$\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}⟺\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}⟺\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1⟺2x+\frac{\pi }{4}=k2\pi ⟺x=-\frac{\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Vì $x\in (0;2\pi )$ nên:
$0<-\frac{\pi }{8}+k\pi <2\pi ⟺\frac{1}{8}<k<\frac{17}{8}⟹k\in \{1;2\}$.
- Với $k=1⟹x_1=-\frac{\pi }{8}+\pi =\frac{7\pi }{8}$.
- Với $k=2⟹x_2=-\frac{\pi }{8}+2\pi =\frac{15\pi }{8}$.
Tổng các nghiệm là $x_1+x_2=\frac{7\pi }{8}+\frac{15\pi }{8}=\frac{22\pi }{8}=\frac{11\pi }{4}$. Chọn D.

Phương trình $2\sin 2x+1=0⟺\sin 2x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
Suy ra:
$[<table><tbody><tr><td>2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi </td></tr><tr><td>2x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+l2\pi =\frac{7\pi }{6}+l2\pi </td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=-\frac{\pi }{12}+k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+l\pi </td></tr></tbody></table>(k,l\in \mathbb{Z})$. Chọn C.