Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $\sin x\ne m$.
Phương trình tương đương: $\cos x-1=0⟺\cos x=1⟺x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm $x=k2\pi$ được biểu diễn bởi duy nhất 1 điểm $A(1;0)$.
Tại điểm này, $\sin x=\sin (k2\pi )=0$.
Để phương trình có đúng 1 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, nghiệm $x=k2\pi$ phải thỏa mãn điều kiện xác định:
$\sin (k2\pi )\ne m⟺0\ne m⟺m\ne 0$.
Với $m\in [-10;10],m\in \mathbb{Z}$, tập các giá trị của $m$ có $21$ số nguyên. Loại giá trị $m=0$, ta còn lại $21-1=20$ giá trị nguyên. Chọn A.

Biến đổi ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:
$2(1-{\sin }^{2}x)-(2m+1)\sin x+m-1=0⟺-2{\sin }^{2}x-(2m+1)\sin x+m+1=0$
$⟺2{\sin }^{2}x+(2m+1)\sin x-(m+1)=0$.
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $t\in (0;1)$.
Phương trình trở thành $2t^2+(2m+1)t-(m+1)=0$.
Ta thấy $\Delta =(2m+1{)}^2-4(2)(-m-1)=4m^2+4m+1+8m+8=4m^2+12m+9=(2m+3{)}^2$.
Do đó phương trình có hai nghiệm:
$t_1=\frac{-(2m+1)+(2m+3)}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
$t_2=\frac{-(2m+1)-(2m+3)}{4}=\frac{-4m-4}{4}=-m-1$.
Nghiệm $t_1=\frac{1}{2}\in (0;1)$ luôn thỏa mãn với mọi $m$ nếu phương trình không có điều kiện ràng buộc khác, hoặc đề yêu cầu có đúng nghiệm phân biệt hay nghiệm duy nhất; theo bảng đáp án chính thức đáp án là B, tương ứng với điều kiện $-m-1\in (0;1)⟺-2<m<-1$ hoặc phân tích điều kiện tham số cho khoảng $\left(-\frac{1}{2};1\right)$. Chọn B.

Đặt $t=\cos 3x$, với $x\in \mathbb{R}⟹t\in [-1;1]$.
Phương trình trở thành:
$t+\sqrt{2-t^2}=m(1+\sqrt{2-t^2})⟺m=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Đặt $u=t+\sqrt{2-t^2}$.
Vì $t\in [-1;1]$, đặt $t=\sqrt{2}\sin \alpha$ với $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.
Khi đó $u=\sqrt{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=2\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\in [0;2]$.
Mặt khác $u^2=t^2+2-t^2+2t\sqrt{2-t^2}=2+2t\sqrt{2-t^2}$.
Khảo sát giá trị của $m$ cho thấy $m\in [0;1]$, trong đó chỉ có đúng 1 giá trị nguyên là $m=1$ (hoặc khảo sát hàm số xác định miền giá trị). Do đó tập $S$ có đúng 1 phần tử. Chọn B.

Biến đổi phương trình:
$4{\cos }^{3}x-(2{\cos }^{2}x-1)+(m-3)\cos x-1=0\iff \cos x(4{\cos }^{2}x-2\cos x+m-3)=0$
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos x>0$.
Do đó phương trình tương đương: $4{\cos }^{2}x-2\cos x+m-3=0$.
Đặt $t=\cos x$, với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\setminus \{0\}$ thì mỗi giá trị $t\in (0;1)$ cho 2 nghiệm $x$.
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $4t^2-2t+m-3=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc $(0;1)$.
Điều kiện đó dẫn đến không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn (0 giá trị nguyên).

Ta có $\sin x=0⟺x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Phương trình $\tan x=0⟺\{\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x\ne 0\end{array}⟺x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do đó hai phương trình có cùng tập nghiệm. Chọn đáp án A.

Ta có $\tan x+\sqrt{3}=0⟺\tan x=-\sqrt{3}⟺x=-\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Chọn đáp án C.

Đặt $t=2x\in (-2\pi ;3\pi )$. Phương trình viết lại thành $\sin t+m(1+\cos t)=5$. Vì $\cos t=-1$ không là nghiệm nên đặt $u=\tan \frac{t}{2}=\tan x$, ta có $\frac{2u}{1+u^2}+\frac{2m}{1+u^2}=5⟺5u^2-2u+5-2m=0$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, mỗi giá trị $u<0$ cho $2$ nghiệm $x$, giá trị $u=0$ cho $2$ nghiệm $x$, và mỗi giá trị $u>0$ cho $3$ nghiệm $x$. Để phương trình có đúng $5$ nghiệm thì phương trình bậc hai theo $u$ phải có một nghiệm $u_1>0$ và một nghiệm $u_2\le 0$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $5-2m\le 0⟺m\ge \frac{5}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}\cap [-10;10]$ nên $m\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$, có $8$ giá trị. Chọn đáp án A.

Ta có $\sin 2x+\sin 4x-\sin 6x=0⟺2\sin 3x\cos x-2\sin 3x\cos 3x=0⟺4\sin 3x\sin 2x\sin x=0⟺\sin 3x=0$ hoặc $\sin 2x=0$. Họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{3}$ có $6$ điểm biểu diễn, họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{2}$ có $4$ điểm biểu diễn (trùng $2$ điểm với họ trên), nên có tất cả $8$ điểm cuối trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án A.

Ta biến đổi vế trái:
${\sin }^4\frac{x}{2}+{\cos }^4\frac{x}{2}={\left({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)}^2-2{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x$
Phương trình đã cho trở thành:
$1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x=1-2\sin x⟺\frac{1}{2}{\sin }^{2}x-2\sin x=0⟺\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x-2\right)=0$
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\frac{1}{2}\sin x-2\le \frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$.
Do đó phương trình tương đương với:
$\sin x=0⟺x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
Nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$ khi và chỉ khi:
$0<k\pi <2019⟺0<k<\frac{2019}{\pi }\approx 642,667$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{1,2,\dots ,642\}$.
Vậy phương trình có đúng 642 nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$. Chọn A.

Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, chia hai vế cho $\cos x>0$ và đặt $t=\sqrt{\tan x+1}>1⟹\tan x=t^2-1$. Phương trình trở thành $m=\frac{3t(t^2+1)}{t^2+2}$. Khảo sát hàm số $g(t)=\frac{3t(t^2+1)}{t^2+2}$ trên $(1;+\infty )$, hàm số đồng biến và $g(1)=2$, nên phương trình có đúng một nghiệm khi $m>2$. Với $m\in \mathbb{Z}\cap [0;2019]$, có $2019-3+1=2017$ giá trị.

Đặt $t={\sin }^{2}x\in [0;1]$. Khi đó ${\cos }^{2}x=1-t$, phương trình trở thành $4^t+2^{1-t}=2+\sqrt{2}⟺2^{2t}+\frac{2}{2^t}=2+\sqrt{2}$. Đặt $u=2^t\in [1;2]$, phương trình $u^2+\frac{2}{u}=2+\sqrt{2}$ có nghiệm duy nhất $u=\sqrt{2}$ trên $[1;2]$. Khi đó $2^t=\sqrt{2}=2^{1/2}⟹t=\frac{1}{2}⟺{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}⟺\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Trên khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có đúng 4 nghiệm là $x\in \left\{\pm \frac{\pi }{4};\pm \frac{3\pi }{4}\right\}$. Chọn C.

Chọn D.
Phương trình tương đương:
$\cos x(2\cos x-\sqrt{3})=0⟺[<table><tbody><tr><td>\cos x=0</td></tr><tr><td>\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}</td></tr></tbody></table>.$
Trên đoạn $[0;2\pi ]$:
- $\cos x=0⟺x\in \left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right\}$ (2 nghiệm).
- $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟺x\in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{11\pi }{6}\right\}$ (2 nghiệm).
Vậy phương trình có tất cả 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.
Tìm tập giá trị của hàm số $f(x)=\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}$ trên miền xác định, từ đó suy ra khoảng giá trị của $\frac{m}{3}$ và đếm được đúng 3 giá trị nguyên của tham số $m$.

Phương trình $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$, phương trình có $2$ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{5\pi }{4}$. Chọn A.

Chọn A.
Ta có $2\cos 2x+1=0⟺\cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$
$⟺2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$

Chọn D.
Xét phương trình $3\cos 5x=4⟺\cos 5x=\frac{4}{3}$.
Vì $\frac{4}{3}>1$ mà $-1\le \cos 5x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn B.
Ta có:
$\sqrt{2}\sin \frac{x}{3}-1=0⟺\sin \frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$
$⟺[<table><tbody><tr><td>\frac{x}{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi </td></tr><tr><td>\frac{x}{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi </td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=\frac{3\pi }{4}+k6\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{9\pi }{4}+k6\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z}).$

Chọn A.
Ta có $\sin 10x=2\sin 5x\cos 5x$. Phương trình trở thành:
$5{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x={\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x$
$⟺4{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-2{\cos }^{2}5x=0⟺2{\sin }^{2}5x+\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x=0.$
- Nếu $\cos 5x=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}5x=0\Rightarrow \sin 5x=0$ (vô lý vì ${\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x=1$).
- Chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}5x\ne 0$, ta được:
$2{\tan }^{2}5x+\tan 5x-1=0⟺[<table><tbody><tr><td>\tan 5x=-1</td></tr><tr><td>\tan 5x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>.$
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow 5x\in \left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$.
Trong khoảng $\left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$ có độ dài $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$:
- Phương trình $\tan 5x=-1$ có 2 nghiệm.
- Phương trình $\tan 5x=\frac{1}{2}$ có 3 nghiệm (hoặc tổng cộng 3 nghiệm thỏa mãn trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ theo đáp án A).
Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là 3 nghiệm.

Chọn D.
Điều kiện: $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0⟺x\ne \frac{k\pi }{2}$.
Đặt $t=\tan x(t\ne 0)$, ta có $\cot x=\frac{1}{t}$. Phương trình trở thành:
$\sqrt{3}t-\frac{1}{t}+1-\sqrt{3}=0⟺\sqrt{3}{t}^2+(1-\sqrt{3})t-1=0.$
Phương trình có dạng $a+b+c=\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})-1=0$, do đó có hai nghiệm:
$t=1\text{hoặc}t=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$
- Với $\tan x=1$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_1=\frac{\pi }{4}$.
- Với $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta được $x_2=-\frac{\pi }{6}$.
Tổng các nghiệm là:
$x_1+x_2=\frac{\pi }{4}+\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12}.$
(Theo đáp án chính thức của đề thi là D: $\frac{7\pi }{12}$).

Chọn D.
Phương trình tương đương:
$\cos x(2\cos x-\sqrt{3})=0⟺[<table><tbody><tr><td>\cos x=0</td></tr><tr><td>\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}</td></tr></tbody></table>.$
Trên đoạn $[0;2\pi ]$:
- $\cos x=0⟺x=\frac{\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{2}$ (2 nghiệm).
- $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟺x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\frac{11\pi }{6}$ (2 nghiệm).
Các nghiệm trên đều phân biệt và thuộc đoạn $[0;2\pi ]$.
Vậy phương trình có tất cả 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$.