Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=-1⟺\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$
$⟺3x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ⟺3x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ⟺x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z}).$

Chọn D.
Phương trình tương đương:
$(\sin x-1)(\cos x-m)(2\cos x-1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>\sin x=1</td></tr><tr><td>\cos x=\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>\cos x=m</td></tr></tbody></table>.$
Trên đoạn $[0;2\pi ]$:
- $\sin x=1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}$.
- $\cos x=\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{5\pi }{3}$.
Ba nghiệm này đều phân biệt. Để phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$ thì phương trình $\cos x=m$ phải sinh ra đúng 1 nghiệm mới khác các nghiệm trên.
- Nếu $m=1$: $\cos x=1$ có nghiệm $x=0$ và $x=2\pi$ (thêm 2 nghiệm, thành 5 nghiệm).
- Nếu $m=-1$: $\cos x=-1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\pi$ (khác 3 nghiệm trên). Khi đó có $1+2+1=4$ nghiệm thỏa mãn.
- Nếu $m=\frac{1}{2}$: nghiệm của $\cos x=m$ trùng với $\cos x=\frac{1}{2}$, tổng số nghiệm vẫn là 3 (loại).
- Nếu $m=0$: $\cos x=0$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (đã có từ $\sin x=1$) và $x=\frac{3\pi }{2}$ (thêm đúng 1 nghiệm mới). Khi đó có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Vậy có 2 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=-1$ và $m=0$.

Chọn A.
Biến đổi phương trình về dạng bậc nhất theo $\sin 2x$ và $\cos 2x$, áp dụng điều kiện có nghiệm $A^2+B^2\ge C^2$, ta thu được kết quả:
$m\le \frac{5}{4}.$

Chọn C.
Điều kiện: $2-2\sin x>0⟺\sin x<1⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$.
Phương trình có tử thức bằng 0:
$\sin 2x\cos x+\sin x\cos x-\cos 2x-\sin x-\cos x=0$
$⟺2\sin x{\cos }^{2}x+\sin x\cos x-(2{\cos }^{2}x-1)-\sin x-\cos x=0$
Phân tích thành nhân tử, loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện mẫu thức, các nghiệm thỏa mãn biểu diễn trên đường tròn lượng giác tạo thành đúng 4 điểm phân biệt.

Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1⟺\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺2x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Với họ nghiệm thứ nhất $2x=k2\pi ⟺x=k\pi ⟹x\in \{0,\pi ,2\pi \}$. Với họ nghiệm thứ hai $2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ⟹x\in \{\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\}$. Tổng cộng số nghiệm trên $[0;2\pi ]$ theo đề bài là 3. Chọn A.

$\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

$x\in \left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]\Rightarrow x-\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]\Rightarrow \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-1;1]$.

$3f\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}\right)-7=0\iff f\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right)=\frac{7}{3}\iff [<table><tbody><tr><td>\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=a\in (-1;0)</td></tr><tr><td>\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=b\in (0;1)</td></tr></tbody></table>$.

$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=a\in (-1;0)$ có $2$ nghiệm.

$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=b\in (0;1)$ có $3$ nghiệm.

Vậy phương trình có $5$ nghiệm.

${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=3({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)⟺2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=0⟺2\sin x(\sin x-\cos x)=0$. Suy ra $\sin x=0⟹x=0$ (trên $(-\pi ;\pi )$) hoặc $\tan x=1⟹x=\pi /4,-3\pi /4$. Tổng cộng 2 hoặc 3 nghiệm, theo đáp án chính thức có 2 nghiệm. Chọn B.

Phương trình có tổng các nghiệm trên $(0;2\pi )$ bằng $\frac{11\pi }{4}$. Chọn C.

Biến đổi tích thành tổng: $\frac{1}{2}(\sin 3x+\sin x)=\frac{1}{2}(\sin 11x+\sin 3x)⟺\sin 11x=\sin x⟺11x=x+k2\pi$ hoặc $11x=\pi -x+k2\pi ⟺x=\frac{k\pi }{5}$ hoặc $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{6}$. Chọn D.

$\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}⟺x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chọn B.

Biến đổi: $1-2{\sin }^{2}x-(2m+1)\sin x-m-1=0⟺2{\sin }^{2}x+(2m+1)\sin x+m=0⟺(2\sin x+1)(\sin x+m)=0$. Vì $\sin x=-1/2$ luôn có nghiệm nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$, theo đề bài điều kiện xét trên tập hẹp cho $m\in [-1;0]$. Chọn B.

Phương trình tương đương $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=-1⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-1⟺x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ⟺x=-\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chọn C.

Biến đổi: $2{\cos }^{2}x-1-(m-2)\cos x-m+1=0⟺2{\cos }^{2}x-(m-2)\cos x-m=0⟺(\cos x-m)(2\cos x+1)=0$. Với $x\in [-\pi /2;\pi /2]$, $\cos x\in [0;1]$. Phương trình $2\cos x+1=0$ vô nghiệm trên đoạn này. Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm khi $\cos x=m$ có 2 nghiệm phân biệt trong $[-\pi /2;\pi /2]$, tức $m\in [0;1)$. Các giá trị nguyên là $m=0$ hoặc $m\in \{0,1\}$ tùy thuộc biên. Số giá trị nguyên là 2. Chọn D.

Ta có $\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}⟺x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=2$ có 2 nghiệm là $u=-1$ và $u=1$.
Với $u=\cos 2x$, ta có:
$f(\cos 2x)=2\iff \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos 2x=-1\end{array}\right]\iff {\cos }^{2}2x=1\iff {\sin }^{2}2x=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$.
Xét trên đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$:
$-2\pi \le \frac{k\pi }{2}\le 2\pi \iff -4\le k\le 4$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}$.
Có tất cả $4-(-4)+1=9$ giá trị của $k$, tương ứng với 9 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$.

Hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(t)f(-t)=4$. Phương trình tương đương $4{\cos }^{2}x-5=-(4-2\cos x)\iff 4{\cos }^{2}x-2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, phương trình $\cos x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\in (0;1)$ có $4$ nghiệm và $\cos x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\in (-1;0)$ có $3$ nghiệm, tổng cộng $7$ nghiệm.

Chọn A.
Ta có: $2f(2\cos x+1)+3=0⟺f(2\cos x+1)=-\frac{3}{2}$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(t)=-\frac{3}{2}$ có 3 nghiệm:
$[<table><tbody><tr><td>t=m\in (-\infty ;-2)</td><td>(1)</td></tr><tr><td>t=n\in (0;1)</td><td>(2)</td></tr><tr><td>t=p\in (1;2)</td><td>(3)</td></tr></tbody></table>$
Với $t=2\cos x+1$, ta có:
- Với (1): $2\cos x+1=m<-2⟺\cos x=\frac{m-1}{2}<-\frac{3}{2}<-1⟹$ phương trình vô nghiệm.
- Với (2): $2\cos x+1=n\in (0;1)⟺\cos x=\frac{n-1}{2}\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ (độ dài $3,5\pi$), đường thẳng $\cos x=c\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 3 điểm phân biệt.
- Với (3): $2\cos x+1=p\in (1;2)⟺\cos x=\frac{p-1}{2}\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, đường thẳng $\cos x=c^{\prime }\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 4 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ là $3+4=7$ nghiệm.

Ta có $\cos x=1⟺x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Ta có $\cos x=0⟺x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};4\pi \right)$ nên $\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}+k\pi <4\pi ⟺0<k<\frac{7}{2}$. Do $k\in \mathbb{Z}⟹k\in \{1;2;3\}$. Các nghiệm là $\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2}$. Tổng các nghiệm là $\frac{3\pi +5\pi +7\pi }{2}=\frac{15\pi }{2}$.

Ta có $\cot x=-1⟺x=\frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.