Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Phương trình $\cos x=1⟺x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

Chọn B.
Sử dụng hàm đặc trưng dẫn đến mối quan hệ giữa các nghiệm lượng giác của phương trình trên đoạn $[0;2021]$, tính được số nghiệm là 1930.

Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{rl}x& =\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x& =\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$.
- Với họ nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$:
$0\le \frac{\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\iff -\frac{1}{12}\le k<\frac{1}{6}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}$.
- Với họ nghiệm $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$:
$0\le \frac{5\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\iff -\frac{5}{12}\le k<-\frac{1}{6}\Rightarrow$ không có $k\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn.
Vậy trên nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, phương trình có đúng 1 nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$.
Chọn A.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $|\sin |\le 1$ nên $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Ta có:
$$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x⟹\sin 2x=t^2-1.$$
Và $2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2t$.
Thay vào phương trình ban đầu:
$$f^2(t)+1=2tf(t)-(t^2-1)⟺f^2(t)-2tf(t)+t^2=0⟺(f(t)-t{)}^2=0⟺f(t)=t.$$
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(t)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ với điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, ta xác định được hàm số $f(t)=t^3-3t$.
Phương trình $f(t)=t$ trở thành:
$$t^3-3t=t⟺t^3-4t=0⟺t(t^2-4)=0⟺[<table><tbody><tr><td>t=0</td></tr><tr><td>t=\pm 2</td></tr></tbody></table>$$
Vì $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, các giá trị $t=\pm 2$ bị loại.
Chỉ có nghiệm $t=0$ thỏa mãn.
Với $t=0⟺\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{4}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Để nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$:
$$-\frac{5\pi }{4}\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{4}⟺-1\le k\le \frac{3}{2}.$$
Do $k\in \mathbb{Z}⟹k\in \{-1,0,1\}$.
Có đúng 3 giá trị của $k$, tương ứng với 3 nghiệm thực phân biệt:
$$x=-\frac{5\pi }{4},x=-\frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4}.$$
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực thuộc đoạn đã cho.

Chọn B.
Ta có $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Phương trình trở thành:
$$1-2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff -2{\sin }^{2}x+\sin x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x=0.$$
Đặt $t=\sin x$, phương trình là $2t^2-t=0$.

Phương pháp: Đặt $t=2x$, suy ra khoảng của $t$ và sử dụng đường tròn lượng giác hoặc đồ thị hàm số cosin.
Cách giải: Với $x\in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right)\Rightarrow t\in (0;3\pi )$. Trên khoảng $(0;3\pi )$, đường thẳng $y=-\frac{1}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos t$ tại đúng 3 điểm phân biệt, tương ứng với 3 nghiệm $x$.
Chọn B.

Ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Ta có $\tan x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Đặt $z=\cos \phi +i\sin \phi$ ($\phi \in [0;2\pi )$). Khi đó $\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}=z^2+{\bar{z}}^2=2\cos 2\phi$. Phương trình trở thành $|2\cos 2\phi |=\sqrt{3}\iff {\cos }^{2}2\phi =\frac{3}{4}\iff \cos 4\phi =\frac{1}{2}$, có đúng $8$ nghiệm $\phi \in [0;2\pi )$, tương ứng với $8$ số phức $z$.

Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Phương trình $\sin x=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$, nên tập nghiệm là $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Ta có: $\sin 2x-2m\cos x-\sin x+m=0\iff 2\sin x\cos x-\sin x+m(1-2\cos x)=0\iff (2\cos x-1)(\sin x-m)=0$.
$\iff \{\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\ \sin x=m\end{array}$
Trên khoảng $(0;3\pi )$:
- Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có đúng 3 nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{\pi }{3},x_2=\frac{5\pi }{3},x_3=\frac{7\pi }{3}$.
- Phương trình $\sin x=m$ để có 4 nghiệm phân biệt thì $0<m<1$.
Đồng thời các nghiệm này không được trùng với 3 nghiệm trên, tức $m\ne \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Vậy điều kiện là $m\in (0;1)\setminus \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. Chọn A.

Ta có $\sin x=\sin \frac{\pi }{5}\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{5}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\pi -\frac{\pi }{5}+k2\pi =\frac{4\pi }{5}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$.

Chọn A.
Ta có $\sin 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\iff [<table><tbody><tr><td>2x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi </td></tr><tr><td>2x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=-\frac{\pi }{8}+k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{5\pi }{8}+k\pi </td></tr></tbody></table>$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Vì $x\in (0;\pi )$ nên $x=\frac{7\pi }{8}$ (với $k=1$) hoặc $x=\frac{5\pi }{8}$ (với $k=0$).
Vậy có $2$ nghiệm thỏa mãn.

Ta có $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Phương trình trở thành:
$1-2{\sin }^{2}x-5\sin x-3=0\iff 2{\sin }^{2}x+5\sin x+2=0\iff (2\sin x+1)(\sin x+2)=0$.
Vì $\sin x+2>0$ nên $\sin x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$.
Suy ra nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Chọn đáp án B.

Điều kiện xác định: $\cos 3x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$.
Phương trình tương đương: $3x=x+k\pi \iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$).
- Khi $k$ lẻ ($k=2m+1$), $x=\frac{\pi }{2}+m\pi$, khi đó $\cos x=0$ (loại).
- Khi $k$ chẵn ($k=2m$), $x=m\pi$, khi đó $\cos 3x=\cos 3m\pi =\pm 1\ne 0$ và $\cos x=\cos m\pi =\pm 1\ne 0$ (thỏa mãn).
Vậy họ nghiệm thỏa mãn là $x=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Chọn đáp án D.

Ta có $-\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$. Do đó phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Chọn đáp án C.

Phương trình tương đương: $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
- $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
- $x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Chọn đáp án C.

Chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x$ (với $\cos x\ne 0$): $3{\tan }^{2}x+2\tan x-1=0\iff \tan x=-1$ hoặc $\tan x=\frac{1}{3}$.
- Với $\tan x=\frac{1}{3}>0$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x_0=\arctan \left(\frac{1}{3}\right)\approx 0,3217$ rad, thỏa mãn $0<x_0<\frac{\pi }{2}$.
Vậy $x_0\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Chọn đáp án B.