Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Một máy chủ cần xử lý tuần tự $15$ tệp dữ liệu khác nhau, bao gồm: $3$ tệp văn bản, $5$ tệp âm thanh và $7$ tệp video. Việc xử lý liên tục các tệp dữ liệu cùng loại sẽ làm giảm hiệu suất của hệ thống. Do đó, hệ thống phải sắp xếp thứ tự xử lý sao cho không có bất kỳ hai tệp dữ liệu cùng loại nào (văn bản, âm thanh, video) được xếp liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu trên. Hãy tính tổng các chữ số của $S$.

Cho tập $S=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}$. Gọi $T$ là số cách xếp $9$ số phân biệt được chọn từ $S$ vào $9$ ô vuông của bảng $3\times 3$ như hình vẽ sao cho các số trên cả hai đường chéo đều theo thứ tự lập thành các cấp số nhân.
[IMAGE_1]
Giá trị của $\frac{T}{80}$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Người ta muốn lát kín một bảng ô vuông kích thước $3\times 13$ (3 hàng 13 cột) bằng các tấm bìa kích thước $1\times 2$ và $1\times 3$ sao cho các tấm bìa không được chồng lên nhau hay phủ ra ngoài bảng. Có bao nhiêu cách lát nếu ta được phép xoay các tấm bìa nhưng cạnh dài của tất cả các tấm bìa đều phải song song với nhau (số lượng mỗi loại tấm bìa không hạn chế)?

Từ tập hợp số tự nhiên $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$, bạn An cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $S$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị $\frac{S}{8}$.

Câu 2: Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;15\}$. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 số phân biệt từ tập $S$ và sắp xếp chúng thành một dãy $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;a_6)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Biểu thức ${\log }_3(a_1)+{\log }_3(a_2)+{\log }_3(a_3)$ là một số nguyên.
- $a_1+a_6=a_2+a_5=a_3+a_4$.

Một hợp tác xã nông nghiệp cần phân phối một lô thùng sầu riêng (các thùng được đóng gói tiêu chuẩn giống hệt nhau) đến $4$ đại lý bán lẻ trên địa bàn. Để đảm bảo điều kiện bảo quản trong kho lạnh, mỗi đại lý phải nhận tối thiểu $6$ thùng và tối đa $12$ thùng. Biết rằng hợp tác xã dự kiến xuất kho tổng cộng từ $30$ đến $42$ thùng. Gọi $T$ là số cách hợp tác xã phân phối lô sầu riêng này đến các đại lý. Tìm $T$.

Có $11$ thí sinh, mỗi thí sinh ngồi vào một ô trong phòng thi như hình vẽ. Giám thị có $4$ mã đề khác nhau (giả sử số lượng đề mỗi mã là nhiều tùy ý). Số cách phát đề cho các thí sinh, mỗi thí sinh $1$ đề sao cho $2$ thí sinh ngồi ở $2$ ô kề nhau ($2$ ô có chung một cạnh) thì khác mã đề là $p$. Tính $\frac{p}{49}$

Câu 1. Cho tập hợp $S=\{1,2,3,\dots ,20\}$. Lấy 9 số khác nhau trong 20 số của tập $S$ và điền vào bảng $3\times 3$ sao cho các số trên mỗi hàng ngang lập thành cấp số nhân. Số cách sắp xếp thỏa yêu cầu là bao nhiêu?

Một thư viện trường học để vận hành chương trình đọc sách đã chuẩn bị tổng cộng $50$ quyển sách, gồm $10$ quyển cho mỗi lĩnh vực: triết học, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên, văn học, lịch sử. Khi chọn sách cho $24$ học sinh (tức là chọn $24$ quyển sách) từ $50$ quyển đó, có bao nhiêu cách chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện sau (biết rằng các sách thuộc cùng một lĩnh vực thì không phân biệt nhau)
• Ở mỗi lĩnh vực triết học, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên đều chọn ít nhất $4$ quyển.
• Ở lĩnh vực văn học: hoặc không chọn quyển nào, hoặc chọn ít nhất $4$ quyển.
• Ở lĩnh vực lịch sử: hoặc không chọn quyển nào hoặc chọn ít nhất $4$ quyển.

Cho một lưới ô vuông $6\text{ cm}\times 6\text{ cm}$. Trên lưới có một vết dầu nằm ở vị trí giữa lưới như trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{ cm}}^2$ và bị "dính vết dầu"? Lưu ý:
- Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) có các cạnh nằm trên các đường kẻ của lưới ô vuông.
- "Dính vết dầu" được hiểu là dính toàn bộ hoặc dính một phần của vết dầu.
- Ô vuông $1\text{ cm}\times 1\text{ cm}$ được đánh dấu $\star$ không dính vết dầu.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị dài trên trục tính bằng mét), một con châu chấu đang ở vị trí $O(0;0;0)$ và dự định nhảy đến $C(6;5;5)$. Con châu chấu chỉ có thể nhảy theo ba hướng $\vec{i}=(1;0;0),\vec{j}=(0;1;0),\vec{k}=(0;0;1)$ và điều đặc biệt là nó sẽ không thể nhảy hai lần liên tiếp theo hướng $\vec{k}=(0;0;1)$. Mỗi lần nhảy của con châu chấu chỉ nhảy được quãng đường bằng $1\text{ m}$. Gọi $T$ là số cách con châu chấu di chuyển từ $O$ đến $C$. Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là bao nhiêu?

Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có Hoàng và 5 học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\frac{m}{32}$ bằng bao nhiêu?

Câu 1: Hai đội tuyển $A$ và $B$ tham gia giải bóng bàn. Mỗi đội có $7$ người đã được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội $A$ đấu với người thứ nhất của đội $B$ và người thua sẽ bị loại. Sau đó, người chiến thắng đấu tiếp với người thứ hai của đội kia, các trận thi đấu tiếp theo diễn ra tương tự. Cuộc thi đấu kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của $1$ đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi có bao nhiêu cách diễn ra cuộc thi đấu?

Câu 3. Từ tập hợp số tự nhiên $\{1;2;\dots ;49;50\}$, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D,E,F$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{10^8}$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp $16$ cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ $5$ ngăn phân biệt. $16$ cuốn sách này thuộc $8$ môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng $2$ cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập.



Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
- Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa $5$ cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
- Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
- Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở $3$ ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
- Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.

Tổng số cách sắp xếp $16$ cuốn sách này vào $5$ ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là $T$. Tính giá trị của $\frac{T}{512}$?

Câu 6. Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm $110$ năm ngày thành lập trường THPT Hai Bà Trưng, Đoàn trường thiết kế một bảng trang trí gồm $12$ ô vuông xếp thành lưới như hình vẽ. Các học sinh lớp 12A4 được giao nhiệm vụ gắn các chữ cái bằng đèn led lên bảng, bao gồm: $2$ chữ **H**, $1$ chữ **B** và $3$ chữ **T** (viết tắt của cụm từ "Hai Bà Trưng").



Biết mỗi ô vuông chỉ gắn tối đa một chữ cái. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái này sao cho trên bảng xuất hiện ít nhất một dòng chữ **HBT** (theo hàng từ trái qua phải hoặc theo cột từ trên xuống dưới) và không có hàng nào bị trống?

Câu 1. Nhân dịp kỉ niệm 136 năm ngày sinh nhật Bác Hồ (19/5/1890 – 19/5/2026), trong giờ học Toán, cô Ánh tổ chức cho các bạn học sinh trong lớp chơi một trò chơi. Theo quy tắc mà cô đưa ra, mỗi học sinh cần chọn mười số khác nhau từ tập hợp $S$ gồm các số tự nhiên từ $1$ đến $1890$ và xếp mười số đó vào mười vị trí được đánh dấu trước trên một hình ngôi sao như hình vẽ dưới (các vị trí gồm $A_1,A_3,A_5,A_7,A_9$ đặt tại các đỉnh của ngôi sao và $A_2,A_4,A_6,A_8,A_{10}$ đặt tại giao điểm của các đường chéo của ngôi sao – quan sát hình vẽ).



Cô Ánh có hai loại phần quà: phần quà **Cháu yêu Bác Hồ** và phần quà **Muôn đời nhớ Bác**.
- Để nhận được phần quà **Cháu yêu Bác Hồ**, học sinh phải xếp được các số vào các vị trí $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_9,A_{10}$ theo thứ tự tăng dần, đồng thời các số được điền đều thuộc đoạn $[5;19]$.
- Để nhận được phần quà **Muôn đời nhớ Bác**, học sinh phải xếp được các số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Bộ năm số được điền ở bộ năm vị trí $(A_1,A_3,A_5,A_7,A_9)$ lập thành một **cấp số nhân với công bội là số nguyên** theo thứ tự đó.
2) Tất cả các bộ ba số được điền ở các bộ ba vị trí $(A_1,A_2,A_3)$, $(A_3,A_4,A_5)$, $(A_5,A_6,A_7)$, $(A_7,A_8,A_9)$ và $(A_9,A_{10},A_1)$ đều lập thành **cấp số cộng** theo thứ tự đó.

Bạn Cường được tham gia trò chơi đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu cách điền số vào hình ngôi sao để bạn Cường nhận được một trong hai phần thưởng của cô Ánh?

Câu 8. Khu vui chơi có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt; Chủ cửa hàng đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm $44$ tập đang được sắp xếp từ $1$ tới $44$ trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ $44$ tới $1$ theo quy tắc: đổi chỗ $2$ tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính $1$ điểm; đổi chỗ $2$ tập truyện mà ở giữa chúng có $3$ tập khác thì không bị tính điểm. Bạn An muốn ứng tuyển vào nhân viên cửa hàng. Hỏi điểm số của An nhỏ nhất là bao nhiêu điểm để thực hiện được thử thách trên.

Câu 17. Một nhóm gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và thầy giáo đứng thành $2$ hàng, mỗi hàng $5$ người để chụp ảnh kỉ niệm. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng

Cho hình vẽ bên gồm $4$ tam giác. Người ta chọn $3$ số phân biệt từ tập hợp $S=\{1;2;\dots ;25\}$ để xếp vào $3$ tam giác ở $3$ góc. Sau đó, tính tổng lập phương của $3$ số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Gọi $M$ là số cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho $9$. Tính $M-19$.