Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lều trại là khối trụ parabol: thiết diện vuông góc với chiều dài là hình parabol rộng $3m$, cao $2m$, kéo dài đều theo chiều dài $6m$. Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại $(0;2)$, hai chân tại $(\pm 1,5;0)$, parabol có dạng $y=2-\frac{8}{9}{x}^2$. Diện tích thiết diện: $S={\int }_{-1,5}^{1,5}\left(2-\frac{8}{9}{x}^2\right)dx=2{\left[2x-\frac{8}{27}{x}^3\right]}_0^{1,5}=2\left(3-\frac{8}{27}\cdot \frac{27}{8}\right)=2(3-1)=4(m^2)$. Thể tích lều: $V=S\cdot 6=4\cdot 6=24(m^3)$.

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=x^2-3x-4 cắt trục hoành tại x=-1 và x=4 (giải x^2-3x-4=0). Thể tích khối tròn xoay: V=π∫_{-1}^{4}(x^2-3x-4)^2 dx. Khai triển (x^2-3x-4)^2=x^4-6x^3+x^2+24x+16. Nguyên hàm: x^5/5-(3/2)x^4+x^3/3+12x^2+16x. Tại x=4: 1024/5-384+64/3+192+64=1472/15. Tại x=-1: -1/5-3/2-1/3+12-16=-181/30. Hiệu: 1472/15+181/30=3125/30=625/6. Vậy V=625π/6, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}{x}^2+\frac{8}{9}x+\frac{40}{9}=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)=\frac{(20-x)(x+4)}{18}$. Đặt $t=x-8$ (khi đó $x+4=t+12$, $20-x=12-t$, giới hạn $t\in [-12;12]$): $f=\frac{144-t^2}{18}=8-\frac{t^2}{18}$. Do đó $V=\pi {\int }_{-12}^{12}{\left(8-\frac{t^2}{18}\right)}^{2}dt=2\pi {\int }_0^{12}\left(64-\frac{8}{9}{t}^2+\frac{t^4}{324}\right)dt=2\pi {\left[64t-\frac{8}{27}{t}^3+\frac{t^5}{1620}\right]}_0^{12}=2\pi (768-512+153,6)=819,2\pi \approx 2573,56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2574).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)$, nên $f^2(x)=\frac{1}{324}{\left[(x-8{)}^2-144\right]}^2$. Đổi biến $u=x-8$, $u$ chạy từ $-12$ đến $12$: $V=\frac{\pi }{324}{\int }_{-12}^{12}(u^2-144{)}^{2}du=\frac{2\pi }{324}{\int }_0^{12}(u^4-288u^2+20736)du=\frac{\pi }{162}{\left[\frac{u^5}{5}-96u^3+20736u\right]}_0^{12}$. Tại $u=12$: $\frac{248832}{5}-165888+248832=132710.4$. Vậy $V=\frac{\pi }{162}\cdot 132710.4=819.2\pi \approx 2573.56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2574.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục hoành tại $-x^2+4x=0\Rightarrow x=0,x=4$. Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(-x^2+4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi \left(\frac{4^5}{5}-2\cdot 4^4+\frac{16\cdot 4^3}{3}\right)=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{15}=\frac{512\pi }{15}$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{512}{15}$ tối giản, $a+b=512+15=527$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích lều bằng tích phân diện tích thiết diện: $V={\int }_0^{4}a(x{)}^{2}dx={\int }_0^{4}3x(4-x)dx=3{\int }_0^4(4x-x^2)dx=3{\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=3\left(32-\frac{64}{3}\right)=3\cdot \frac{32}{3}=32$. Vậy thể tích phần không gian trong lều là $32m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Lavabo là nửa khối elip tròn xoay: elip có bán trục lớn $a=330$ mm (chiều dài $660$ mm) quay quanh trục lớn, nên hai bán trục còn lại bằng $b=190$ mm (chiều rộng $=$ chiều sâu $380$ mm). Thể tích cả khối elip là $V=\frac{4}{3}\pi abc$, vậy nửa khối có $V=\frac{2}{3}\pi abc$.

Vì độ dày đều $20$ mm, phần chứa nước là nửa khối elip với các bán trục trong:
$$a^{\prime }=330-20=310\text{ mm},b^{\prime }=190-20=170\text{ mm}.$$
Thể tích chứa nước:
$$V=\frac{2}{3}\pi \cdot 310\cdot 170\cdot 170=\frac{2}{3}\pi \cdot 8959000\approx 18764000{\text{ mm}}^3.$$
Đổi đơn vị: $1{\text{ dm}}^3=10^6{\text{ mm}}^3$, nên $V\approx 18,764{\text{ dm}}^3\approx 18,8{\text{ dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tam giác đều cạnh $a=x\sqrt{8x^2-6}$ là $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2(8x^2-6)$. Thể tích: $$V={\int }_2^6\frac{\sqrt{3}}{4}(8x^4-6x^2)dx=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left[\frac{8x^5}{5}-2x^3\right]}_2^6.$$ Tại $x=6$: $\frac{8\cdot 7776}{5}-432=\frac{60048}{5}$; tại $x=2$: $\frac{256}{5}-16=\frac{176}{5}$. Hiệu số: $\frac{59872}{5}$. Vậy $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{59872}{5}=\frac{14968\sqrt{3}}{5}$, trùng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt tại vị trí $x$ là hình vuông cạnh $x\sqrt{2}$, nên $S(x)=(x\sqrt{2}{)}^2=2x^2$. Thể tích vật thể: $V={\int }_0^{3}S(x)dx={\int }_0^{3}2x^{2}dx={\left[\frac{2x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{2\cdot 27}{3}=18$. Vậy đáp án A.

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^2(4x^2)dx=\frac{128\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lều trại là khối trụ parabol: mặt cắt ngang vuông góc với chiều dài là hình parabol với bề ngang 3m, cao 2,5m. Chọn hệ trục để parabol có đỉnh tại (0; 2,5) và đi qua (±1,5; 0): $y=2,5-\frac{2,5}{1,5^2}{x}^2=2,5-\frac{10}{9}{x}^2$. Diện tích mặt cắt: $S={\int }_{-1,5}^{1,5}\left(2,5-\frac{10}{9}{x}^2\right)dx=2{\left[2,5x-\frac{10}{27}{x}^3\right]}_0^{1,5}=2(3,75-0,8\overline{3})=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 2,5=5m^2$ (công thức diện tích dưới cung parabol $=\frac{2}{3}\cdot$ đáy $\cdot$ cao). Thể tích lều $V=S\cdot 5=25m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi nghiêng cốc, mặt nước là một mặt phẳng: chạm miệng cốc ở một mép trên và trùng với đường kính đáy ở mép dưới. Do đó trong mặt cắt qua trục (hình chữ nhật $12\times 9$), mặt nước là nửa hình chữ nhật, tức nước chiếm đúng một nửa thể tích hình trụ.

Thể tích cốc: $V_{c\acute{\hat{o}}c}=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6^2\cdot 9=324\pi$.

Thể tích nước: $V=\frac{1}{2}\cdot 324\pi =162\pi \approx 508,938\approx 509c{m}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, phát biểu thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·x²/2|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0). Quay quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O chiều cao a bán kính √a và nón đỉnh H chiều cao 4−a bán kính √a. V₁ = (1/3)π·a·a + (1/3)π·(4−a)·a = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)·4^{3/2} = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx; phát biểu thiếu hệ số π.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa² + (1/3)π(4−a)·√a·√a... = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = (2/3)·8 = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, đề thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0), K(a,0). Quay tam giác quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O bán kính √a chiều cao a và nón đỉnh H bán kính √a chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa·√a² + (1/3)π(4−a)·√a² = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Với V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa·a + (1/3)π(4−a)·a = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_0^3{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^3\left(\frac{x^6}{9}-\frac{2x^5}{3}+x^4\right)dx=\pi \left(\frac{x^7}{63}-\frac{x^6}{9}+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{243}{7}-81+\frac{243}{5}\right)=\pi \cdot \frac{1215-2835+1701}{35}=\frac{81\pi }{35}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại hoành độ x là hình vuông cạnh $a(x)=2\sqrt{9-x^2}$, nên diện tích thiết diện là $S(x)=a(x{)}^2=4(9-x^2)$. Thể tích: $$V={\int }_0^{3}4(9-x^2)dx=4{\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=4(27-9)=72.$$ Vậy $V=72$, chọn đáp án D.

Đáp số: 415. Thể tích nước chứa được là phần khối cầu nằm giữa hai mặt phẳng cách tâm $3(\mathrm{dm})$: $V={\int }_{-3}^3\pi \left(25-x^2\right)\mathrm{d}x=\pi {\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^3=132\pi \approx 414,7\approx 415({\mathrm{dm}}^3)$. Bảng đáp án trang 5: mỗi cột mã đề (1001–1007) đều chứa cùng sáu giá trị tự luận 8400; 7; 415; 79; -5; -4,5 nhưng theo thứ tự khác nhau (đáp án tự luận được xáo trộn theo mã đề), nên hàng 17–22 không ánh xạ trực tiếp theo số thứ tự Câu 1–6. Trang đề (trang 4) ghi Mã đề 1001; trong cột 1001, giá trị 415 xuất hiện ở hàng 19 và là giá trị duy nhất phù hợp với bài toán thể tích khối cầu này (132π ≈ 414,7 ≈ 415), đồng thời khớp kết quả tính trực tiếp. Giá trị -5 ở hàng 21 cột 1001 là đáp án của một câu tự luận khác (xuất hiện do xáo trộn), không phải của bài toán này.

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính $R=5$ dm, hai mặt phẳng cắt cách tâm $3$ dm, phần giữ lại (chiếc lu) là vùng giữa hai mặt phẳng $z=-3$ và $z=3$. Thể tích tính bằng tích phân: $V=\pi {\int }_{-3}^3(25-z^2)dz=\pi {\left[25z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3=\pi \left((75-9)-(-75+9)\right)=132\pi \approx 414,69{\text{dm}}^3$. Vì $1{\text{dm}}^3=1$ lít, làm tròn hàng đơn vị ta được $415$ lít. Bảng đáp án trang 9 hiển thị rõ ô Phần 3 – Câu 1 – mã đề 1121 là $415$, khớp với kết quả tính toán (trang 10 bản scan bị lỗi hiển thị ô này trống, không phải mâu thuẫn).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P) có đỉnh thuộc trục tung, cắt trục hoành tại x = ±20 (chiều dài 40 cm) và đỉnh cao 15 cm (đường kính lớn nhất 30 cm), nên y = 15(1 − x²/400). Thể tích khối tròn xoay: V = π∫_{-20}^{20} y² dx = 225π∫_{-20}^{20}(1 − x²/400)² dx. Tính ∫_{-20}^{20}(1 − x²/400)² dx = 2∫₀²⁰(1 − x²/200 + x⁴/160000)dx = 2(20 − 40/3 + 4) = 64/3. Vậy V = 225π · 64/3 = 4800π ≈ 15079,64 cm³. Khối lượng một quả: m = 4800π · 1 ≈ 15079,64 g ≈ 15,0796 kg. Tổng khối lượng 1000 quả ≈ 15079,64 kg; chi phí = 15079,64 × 1000 ≈ 15079644 đồng ≈ 15,1 triệu đồng. Khớp với đáp án nguồn 15,1.