Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-2\le x\le 2$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4-x^2}$. Tính thể tích vật thể hình chiếc nêm trên *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*.

Gọi $d$ là đường thẳng tùy ý đi qua điểm $M(1;1)$ và có hệ số góc âm. Giả sử $d$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$. Quay tam giác $OAB$ quanh trục $Oy$ thu được một khối tròn xoay có thể tích là $V$. Giá trị nhỏ nhất của $V$ bằng

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $(C)$ có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2$. Gọi $S_1$ là phần hình phẳng không bị gạch chéo (hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $S_1$ xung quanh trục $Ox$.


Cho tứ diện $ABCD$ có $DA$ vuông góc mặt phẳng $(ABC)$, $DB$ vuông góc $BC$, $AD=AB=BC=a$. Ký hiệu $V_1,V_2,V_3$ lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác $ABD$ khi quay quanh $AD$, tam giác $ABC$ khi quay quanh $AB$, tam giác $DBC$ khi quay quanh $BC$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi các đường cong $y=\frac{x-3}{x+1}$, trục hoành và trục tung. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V=\pi (a+b\ln 2)$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính $T=a+b$.

Cho hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$. Gọi $S$ là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay khi cho phần $S$ quay quanh trục $Ox$.


Trong không gian cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=4,BC=2$. Gọi $P,Q$ lần lượt là các điểm trên cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $BP=1,QD=3QC$. Quay hình chữ nhật $APQD$ xung quanh trục $PQ$ ta được một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hình thang $ABCD$ với $A(-3;0)$, $B(-1;2)$, $C(1;2)$, $D(2;0)$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $ABCD$ quanh trục $Ox$. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$.

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=-1$ và $x=1$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$) là một tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng $\sqrt{1-x^4}$.

Cho hình thang cân $ABCD$, $AB\parallel CD$, $AB=6\text{ cm}$, $CD=2\text{ cm}$, $AD=BC=\sqrt{13}\text{ cm}$. Quay hình thang $ABCD$ xung quanh đường thẳng $AB$ ta được một khối tròn xoay có thể tích là


Một cái phao bơi được bơm từ một cái ruột xe hơi và có kích thước như hình sau.



Thể tích của cái phao (không kể đầu van) bằng

Cho hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy $AB=2a,DC=4a$, đường cao $AD=2a$. Quay hình thang $ABCD$ quanh đường thẳng $AB$ thu được khối tròn xoay $(H)$. Tính thể tích $V$ của khối $(H)$.

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường tròn $x^2+y^2=2$ (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

[IMAGE:img_q37_stem]

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=1$ và $x=2$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1\le x\le 2$) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $\sqrt{x^2+3}$.

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A,B$ với $AB=BC=\frac{AD}{2}=a$. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh $BC$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$ và $AC=2a$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $BC$ thì tạo thành một khối tròn xoay. Diện tích toàn phần của khối tròn xoay đó bằng

Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, biết $AB=4a$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình tam giác $ABC$ quanh cạnh huyền $BC$ bằng

Một công ty năng lượng đang xây dựng một bể chứa khí thiên nhiên hóa lỏng (LNG) có dạng hình cầu với bán kính $20$ mét. Để đảm bảo an toàn và dễ dàng trong việc lắp đặt hệ thống đường ống, phần đáy và phần đỉnh của bể được cắt phẳng. Phần đáy bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm bể $18$ mét, phần đỉnh bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm $15$ mét (tâm nằm giữa hai mặt phẳng). Hỏi thể tích bể đó là bao nhiêu nghìn mét khối? (làm tròn đến hàng đơn vị)