Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Thể tích cát là $V=30\cdot 2,90=87{\text{ cm}}^3$. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại đỉnh chung của hai parabol: khi $y=4$ thì bán kính $r=\frac{8\pi }{2\pi }=4$, nên parabol có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2\iff x^2=4y$. Thể tích cát ban đầu với chiều cao $h$ là $V=\pi {\int }_0^{h}4ydy=2\pi h^2=87\Rightarrow h=\sqrt{\frac{87}{2\pi }}\approx 3,72\text{ cm}$. Khi đó chiều cao khối trụ là $H=2\cdot \frac{4}{3}h\approx 9,92\text{ cm}\approx 10\text{ cm}$.

Chọn B
Bán kính ngoài $R=\frac{60}{2}=30\text{ mm}=0,03\text{ m}$.
Bán kính trong $r=30-3=27\text{ mm}=0,027\text{ m}$.
Chiều dài mỗi ống thép $h=6\text{ m}$.
Thể tích thép của 1000 ống thép là:
$V=1000\cdot \pi (R^2-r^2)h=1000\cdot \pi \cdot (0,03^2-0,027^2)\cdot 6=1024\pi \cdot 10^{-3}\approx 3,223274{\text{ m}}^3$.
Khối lượng của 1000 ống thép: $m=V\cdot D=3,223274\cdot 7850\approx 25302,70\text{ kg}$.
Số tiền cần trả: $T=25302,70\cdot 24700\approx 624976700\text{ đoˆˋng}\approx 624977000\text{ đoˆˋng}$.

Chọn A
[x = 0
Xét phương trình x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
Ta có hình phẳng (Hình vẽ)

 x5 4 x 3  3 18$\pi$
3 3
Khi đó V = $\pi$  ( x - 2 x ) dx = $\pi$  ( x - 4 x + 4 x ) dx = $\pi$  - x +
2
 =
2 4 3 2 4

0 0  5 3 0 5

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy $r$ và đường cao $h$ là $S_{xq}=2\pi rh$.

Trong đường tròn đáy của nón, góc nội tiếp $\widehat{AIB}=60^{\circ }$ chắn cung $AB=20\sqrt{3}\text{ cm}$, nên bán kính đáy $R=\frac{AB}{2\sin 60^{\circ }}=20\text{ cm}$. Cung nhỏ $AB$ có số đo $120^{\circ }$ bằng $\frac{1}{3}$ đường tròn đáy, suy ra diện tích phần mặt nón được sơn trên mỗi chiếc nón là $\frac{1}{3}\pi Rl=\frac{1}{3}\pi \cdot 20\cdot 30=200\pi {\text{ cm}}^2=0,02\pi {\text{ m}}^2$. Tổng số tiền cho $1000$ chiếc nón là $1000\cdot 0,02\pi \cdot 50000=1000000\pi \approx \mathrm{3.142.000}$ đồng.

$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\frac{8\pi }{15}$. Chọn B.

Chọn hệ trục $Oxy$ với $A\equiv O$, tia $AB\equiv Ox$, tia $AD\equiv Oy$. Khi đó $A(0;0),D(0;2),B(3;0),E(1;1)$, cung tròn $ED$ thuộc đường tròn tâm $I(0;1)$ bán kính $R=1$ có phương trình $y=1+\sqrt{1-x^2}$ với $x\in [0;1]$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^1{\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}^{2}dx+\pi {\int }_1^3{1}^{2}dx\approx 16,5{\text{ cm}}^3$. Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 7), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $667$.



Đặt hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại giao điểm hai trục, xét $\frac{1}{8}$ khối giao $(H)$ ứng với $0\le x\le R$: thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ là hình vuông cạnh $\sqrt{R^2-x^2}$ có diện tích $S(x)=R^2-x^2$. Do đó $V_{(H)}={\int }_0^R(R^2-x^2)\mathrm{d}x=\frac{2R^3}{3}⟹V=8V_{(H)}=\frac{16R^3}{3}=\frac{16\cdot 5^3}{3}\approx 667{\text{ cm}}^3$.

Chọn A
[x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 2 x $\iff$ x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
2
4 x5  64$\pi$
2 2
V = $\pi$  ( 2 x ) - ( x )  dx = $\pi$  ( 4 x 2 - x 4 ) dx = $\pi$  x3 -  =
[ 2 2]
2
.
0
[ ] 0 3 5  0 15

Chọn B.
+) Phương trình hoành độ giao điểm là $-x^2+3x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=3</td></tr></tbody></table>$.
+) $V=\pi {\int }_0^3(-x^2+3x{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^3(x^4-6x^3+9x^2)\mathrm{d}x={\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{3x^4}{2}+3x^3\right)|}_0^3=\frac{81\pi }{10}$.

Hoành độ giao điểm của $y=-\sqrt{x}$ và $y=-x+2$ là $-\sqrt{x}=-x+2\iff x-\sqrt{x}-2=0$ (với $x\ge 2$) $\iff \sqrt{x}=2\iff x=4$. Theo công thức quay miền phẳng $(H)$ (đáp án chính thức Mã đề 101 là C: $V=\frac{46\pi }{3}$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1358, trang 5), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án A.

Thể tích vật thể $(H)$ được tính bởi công thức $V={\int }_a^{b}S(x)\mathrm{d}x$.

Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$.

Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_1^4(x^2+1)\mathrm{d}x=\pi {\left[\frac{x^3}{3}+x\right]}_1^4=24\pi$.

Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là $S(x)=(2\sqrt{1-x^2}{)}^2=4(1-x^2)$. Thể tích vật thể là $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)\mathrm{d}x=\frac{16}{3}$.

Diện tích thiết diện tại điểm có hoành độ $x$ là $S(x)=\frac{1}{4}\pi {\left(\sqrt{2}{x}^2\right)}^2=\frac{1}{2}\pi x^4$.

Vậy thể tích vật thể cần tìm là $V={\int }_0^{2}S(x)\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{1}{2}\pi x^4\mathrm{d}x={\frac{\pi x^5}{10}|}_0^2=\frac{16\pi }{5}$.

Khi quay lục giác xung quanh đường chéo $AD$ ta được $2$ khối nón có chiều cao $h=AH=1$, bán kính đáy $r=BH=\sqrt{3}$ và $1$ khối trụ có đường sinh $l=BC=2$, bán kính đáy $R=BH=\sqrt{3}$.
Thể tích của khối tròn xoay đó là $V=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h+\pi R^{2}l=\frac{2}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot 1+\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot 2=8\pi$.
Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^3(x^3-3x^2{)}^{2}dx=\frac{729\pi }{35}$. Chọn D.