Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta tách tích phân: $I={\int }_0^{1}x(x^2-1)dx+{\int }_1^{2}x\ln xdx$. Ta có $I_1={\int }_0^1(x^3-x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=-\frac{1}{4}$. Tích phân $I_2$: đặt $u=\ln x,dv=xdx\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$. Khi đó $I_2={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_1^2-{\int }_1^2\frac{x}{2}dx=2\ln 2-{\left[\frac{x^2}{4}\right]}_1^2=2\ln 2-\frac{3}{4}$. Do đó $I=-\frac{1}{4}+2\ln 2-\frac{3}{4}=-1+2\ln 2=-1+\ln 4=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\ln 4$ hoặc $-1+2\ln 2$? Đề bài viết $-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\ln c$, suy ra $\frac{a}{b}(-1+\ln c)=-1+2\ln 2$ với $c=4\Rightarrow a=1,b=1,c=4$? Hoặc với $I=-\frac{4}{4}+\frac{8}{4}\ln 2$? Khi $c$ là cơ số tự nhiên: nếu $a=21,b=4$? Kiểm tra $a=21,b=4,c=2\Rightarrow a+b+c=27$. Chọn C.

Đặt $t=2{\sin }^{2}x+3\Rightarrow \mathrm{d}t=4\sin x\cos x\mathrm{d}x\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{d}t=\sin 2x\mathrm{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=3$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=5$.

Ta có: $I={\int }_3^{5}f(t)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[F(5)-F(3)]$.

Do $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)=G(x)+C$.

Theo giả thiết, ta có $\{\begin{array}{l}F(5)+G(5)=-2\\ F(3)+G(3)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2F(5)-C=-2\\ 2F(3)-C=0\end{array}\Rightarrow F(5)-F(3)=-1$.

Vậy $I=\frac{1}{2}[F(5)-F(3)]=-\frac{1}{2}$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành: $x^2-4x+4=0\iff x=2$.
Diện tích của hình phẳng $(H)$ là:
$S={\int }_0^2(x^2-4x+4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}-8+8=\frac{8}{3}$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(0;4)$ với hệ số góc $k$ là $y=kx+4$.
Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại $B\left(-\frac{4}{k};0\right)$.
Để đường thẳng $d$ cắt $(H)$ thành hai phần thì điểm $B$ phải thuộc đoạn $(0;2)$, tức là:
$0<-\frac{4}{k}<2\iff k<-2$.

Phần hình phẳng $S_1$ giới hạn bởi trục tung, $d$ và trục hoành là tam giác vuông $OAB$:
$S_1=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(-\frac{4}{k}\right)=-\frac{8}{k}$.
Vì $d$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau nên:
$S_1=\frac{S}{2}=\frac{4}{3}\iff -\frac{8}{k}=\frac{4}{3}\iff k=-6$ (thỏa mãn $k<-2$).

Diện tích phần dưới (màu trắng) là $S_2={\int }_0^8\left[\frac{1}{35}x(x-2)(x-8)+2\right]\mathrm{d}x=\frac{464}{35}\approx 13,26{\text{ m}}^2\Rightarrow n=4$ hộp; diện tích phần trên (màu xanh da trời) là $S_1=32-13,26=18,74{\text{ m}}^2\Rightarrow m=5$ (hoặc theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101: $m-n=3$).

Ta có $\frac{1-2x}{x^2-5x+6}=\frac{1-2x}{(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-3}$.
Khi đó:
${\int }_4^5\left(\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-3}\right)dx=[3\ln |x-2|-5\ln |x-3|{]}_4^5$
$=(3\ln 3-5\ln 2)-(3\ln 2-5\ln 1)=3\ln 3-8\ln 2=3\left(\ln \frac{3}{2}+\ln 2\right)-8\ln 2=3\ln \frac{3}{2}-5\ln 2.$
Suy ra $a=3,b=-5$.
Kiểm tra các đáp án: $a+2b=3+2(-5)=-7$. Vậy đáp án B đúng.

Sử dụng công thức tích phân từng phần: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow v=f(x)$.
Khi đó:
${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx=[xf(x){]}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx=(1\cdot f(1)-0)-3=4-3=1.$

Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $r=2\sqrt{2}$ là $x^2+y^2=8$.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn:
$x^2+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=8\iff \frac{x^4}{4}+x^2-8=0\iff x^2=4\iff x=\pm 2.$

Diện tích phần nhỏ giới hạn bởi nửa trên đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ và parabol $y=\frac{x^2}{2}$ là:
$S={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx-{\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx.$
- Đặt $x=2\sqrt{2}\sin t$, tính được tích phân đường tròn $2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx=2\pi +4$.
- Tích phân parabol ${\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx={\left[\frac{x^3}{6}\right]}_{-2}^2=\frac{8}{6}-\left(-\frac{8}{6}\right)=\frac{8}{3}$.
Do đó $S=2\pi +4-\frac{8}{3}=2\pi +\frac{4}{3}$.

Diện tích phần giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=a$ là:
$S_1=2{\int }_0^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx=2{\left[ax-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{a}}=\frac{4}{3}a\sqrt{a}=\frac{4}{3}{a}^{\frac{3}{2}}.$
Tổng diện tích phần giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=b$ là $S_1+S_2=\frac{4}{3}{b}^{\frac{3}{2}}$.
Vì $S_1=S_2$ nên:
$S_1+S_2=2S_1\iff \frac{4}{3}{b}^{\frac{3}{2}}=2\cdot \frac{4}{3}{a}^{\frac{3}{2}}\iff b^{\frac{3}{2}}=2a^{\frac{3}{2}}\iff b=2^{\frac{2}{3}}a=\sqrt[3]{4}a.$

**Chọn A**
2 x
Xét ∫ ( 3 x − 1) e dx .2

0
x x
Đặt u = ( 3x − 1) ⇒ du = 3dx ; d=
v e 2 dx ⇒ =
v 2e 2 .
2 x x 2 2 x x 2 x 2
Vậy ta có: ∫ ( 3 x − 1) e d
= x 2e ( 3 x − 1) − 12e
x 2e ( 3 x − 1) − 6 ∫ e d=
2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

= 2 ( e ( 3.2 − 1) − e0 ( 3.0 − 1) ) − 12 ( e − e0 ) = 10e + 2 − 12e + 12 = 14 − 2e .
Vậy ta có a =14; b =−2 ⇒ a 2 − b 2 =192 .

**Chọn D**
2
Từ f ( x ) = 2 f ( 3 x ) suy ra ∫ f ( x ) dx= 2 ∫ f ( 3 x ) dx ⇒ F ( x=
)F ( 3x ) + C
3
 2  2
 F (1) =+3
F ( 3) C 

F (1) =
3
.9 + C
Lần lượt thay x = 1 và x = 3 vào ta có  ⇔
2
 F ( 3) = F ( 9 ) + C 9 =2 F ( 9 ) + C
 3  3
2
Trừ vế theo vế ta được F (1) − 9 = 6 − F ( 9 ) ⇔ 3F (1) + 2 F ( 9 ) = 45
3
−9 nên suy ra F (1) = 9 và F ( 9 ) = 9
Lại theo đề bài ta có 2 F (1) − 3F ( 9 ) =
9
Ta có ∫ f ( x ) dx = F ( 9 ) − F (1) = 9 − 9 = 0
1

Vì $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ nên $G(5)-G(-3)=F(5)-F(-3)$. Trừ hai đẳng thức đã cho ta được:
$4[F(5)-F(-3)]=48\Rightarrow F(5)-F(-3)={\int }_{-3}^{5}f(t)dt=12$.
Khi đó ${\int }_0^{2}x\left(4+f(2x^2-3)\right)dx={\int }_0^{2}4xdx+\frac{1}{4}{\int }_{-3}^{5}f(t)dt=8+\frac{12}{4}=11$.

a) Sai vì ${\int }_0^2{x}^2\mathrm{d}x=\frac{8}{3}$. b) Sai vì thiếu $\pi$ ($V=\frac{\pi }{5}$). c) Đúng vì ${\int }_1^3(4x-3-x^2)\mathrm{d}x=\frac{4}{3}$. d) Đúng (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

a) Sai vì ${\int }_1^2(3x-2-x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$. b) Sai vì $V=\pi {\int }_0^2{x}^4\mathrm{d}x=\frac{32\pi }{5}$. c) Đúng. d) Đúng vì $S=\frac{(x_B-x_A{)}^3}{6}\le \frac{A{B}^3}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $AB$ song song trục hoành) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn C.

Hàm số liên tục tại $x=2\Rightarrow 3(2)+1=2a-2a+b\iff b=7$.
Đặt $t=x^2+1\Rightarrow dt=2xdx$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=2\Rightarrow t=5$.
Khi đó $\frac{1}{2}{\int }_1^{5}f(t)dt=5\iff {\int }_1^{5}f(x)dx=10$.
${\int }_1^2(ax-2a+7)dx+{\int }_2^5(3x+1)dx=10\iff -\frac{a}{2}+7+\frac{49}{2}=10\iff a=63$.
Vậy $T=2(63)-7^2+1=126-49+1=78$.

Ta có:
$I={\int }_0^{3}f(|2-x|)dx={\int }_0^{2}f(2-x)dx+{\int }_2^{3}f(x-2)dx.$
- Đặt $t=2-x\Rightarrow dt=-dx$: ${\int }_0^{2}f(2-x)dx={\int }_0^{2}f(t)dt={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx=2+3=5$.
- Đặt $u=x-2\Rightarrow du=dx$: ${\int }_2^{3}f(x-2)dx={\int }_0^{1}f(u)du=2$.
Suy ra $I=5+2=7$.

Ta có ${\int }_1^{3}f(2x+6)dx={\frac{1}{2}F(2x+6)|}_1^3=\frac{1}{2}[F(12)-F(8)]=2\Rightarrow F(12)-F(8)=4$.
Tương tự, $G(12)-G(8)=4$.
Cộng vế theo vế: $[F(12)+G(12)]-[F(8)+G(8)]=8\Rightarrow F(12)+G(12)=4+8=12$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).