Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Câu 2. Cho hai hàm số $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+1$ và $g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)+G(2)=8$ và $F(0)+G(0)=-2$. Khi đó ${\int }_0^{16}f\left(\frac{x}{8}\right)dx$ bằng:

Câu 4. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+c$, các đường thẳng $x=-1,x=2$ và trục hoành (miền gạch chéo trong hình vẽ bên).

Câu 1. Một bể chứa nước có diện tích mặt cắt ngang được tô màu như hình bên, ở đó đơn vị trên các trục đo bằng mét. Trên mặt cắt ngang, phần đáy của bể chứa có phương trình $y=k(x-8{)}^2$. Tính diện tích của mặt cắt ngang theo mét vuông.

Câu 3. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(x)=16x^3-15x^2+2x{\int }_1^{2}f(t)\mathrm{d}t-21$. Giá trị của $f(2)$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Một đại lý chuyên cung cấp các loại Sơn nước đã trang trí một phần trên banner quảng cáo của mình theo một cách khá đặc biệt. Ban đầu họ thiết kế một hình giới hạn bởi parabol $(P)$ có đỉnh $S$ và đường thẳng nằm ngang $AB$; trong đó $SO=AB=4\text{ m}$ với $O$ là trung điểm $AB$.
Họ tiến hành sơn $3$ màu khác nhau lên hình phẳng này theo cách sau:
- Phần trên là phần kẻ sọc được sơn với chi phí $140000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.
- Phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ (phần tô đậm) được sơn với chi phí $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.
- Phần còn lại được sơn với chi phí $160000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.

Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $B$ thuộc tia $Ox$ và $S$ thuộc tia $Oy$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x\le 1\\ 3,& x>1\end{array}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và các đường $x=-1,x=3$ bằng

Câu 3. Một nhà thiết kế tạo hoa văn trên tấm gạch bông hình lục giác đều $ABCDEG$ tâm $O$, cạnh $12\text{ cm}$. Bông hoa gồm $6$ cánh như hình vẽ. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$, trong đó tia $Ox$ đi qua $A$, tia $Oy$ đi qua trung điểm của $BC$, đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$. Ban đầu, nhà thiết kế vẽ cung parabol $(P)$ có đỉnh $O$, trục đối xứng là $Oy$, đi qua hai điểm $B,C$. Sau đó lần lượt quay $(P)$ quanh tâm $O$ các góc $60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ }$ để được bông hoa $6$ cánh.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(6)+G(6)=6$ và $F(0)+G(0)=2$. Khi đó ${\int }_0^{2}f(3x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ thoả mãn ${\int }_0^1[f(x^3){]}^2\mathrm{d}x=4{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{36}{5}$. Giá trị $f\left(\frac{1}{8}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(2)=16,{\int }_0^{1}f(2x)\mathrm{d}x=2$. Tích phân ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(1)=4$ và $f(x)=x{f}^{\prime }(x)-2x^3-3x^2$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(x)+f^{\prime }(x)=x\sin x+x^2\cos x,\forall x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành, trục tung và $x=\frac{\pi }{2}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(1)-3G(1)=4$ và $F(0)-3G(0)=6$. Nếu $f(1)=2$ thì ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)-x$, $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)+x$ trên tập hợp $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)+G(4)=5$ và $F(1)+G(1)=-1$. Giá trị của ${\int }_0^{1}f(3x+1)\mathrm{d}x$ bằng

Biết rằng ${\int }_1^5\frac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln 5+b\ln 2$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $(x^2+x)(f^{\prime }(x)-1)=x+1-f(x)$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=4$. Biểu thức $I={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2\int f(x)\mathrm{d}x+\frac{x^3}{3}=\int f^2(x)\mathrm{d}x+x+C$ ($C$ là hằng số). Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=1,x=0,x=2$ bằng