Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{214}{5}$. Khi đó ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$ bằng

Xét $f(x)=a{x}^5+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$) sao cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có 4 điểm cực trị với hoành độ nguyên là $A,B,C\left(1;-\frac{197}{15}\right),D\left(2;-\frac{169}{15}\right)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc ba đi qua các điểm $A,B,C,D$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=1;x=2$ có diện tích bằng $\frac{11}{20}$ thì ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+25x-2024$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-3x$ với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $h(x)=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{\prime }(x)+4x-6x\cdot e^{x^2-f(x)-1}=0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)$ bằng

Xét $f(x)=a{x}^5+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$ sao cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị với hoành độ nguyên là $A,B,C\left(1;-\frac{197}{15}\right),D\left(2;-\frac{169}{15}\right)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc ba đi qua các điểm $A,B,C,D$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=1;x=2$ có diện tích bằng $\frac{11}{20}$ thì ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{m}{n}$, với $m,n$ nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $S=m\cdot n$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trên $[2;5]$ thỏa mãn điều kiện $f(2)=1$ và $x.(x-1).f^{\prime }(x)-f(x)=x^2+2x-3$. Biết ${\int }_3^5{f}^{\prime }(x)\text{d}x=a+\frac{b}{c}\ln 2$ (với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản). Tính $a+b-2c$

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị $(C)$ đồng thời có $2$ điểm cực trị là $-1;1$. Biết Parabol $(P):y=g(x)=m{x}^2+nx+p$ đi qua hai điểm cực trị của $(C)$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(c;p)$ thỏa mãn $c+p<10$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=g(x)$ và đồ thị $(C)$ có diện tích bằng $16$ (đơn vị diện tích)?

Biết hàm số $y=f(x)$ và hàm số $y=g(x)$ đều là các hàm số đa thức bậc bốn, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng $-1$ và tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ bằng $2$. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bằng $27$. Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x={\int }_1^{2}g(x)\text{d}x$ thì giá trị của $f(1)-g(1)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ nhận giá trị không âm trên đoạn $[2;3]$ và $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số $g(x)=x{f}^2(x)$, $h(x)=-x^{2}f(x)f^{\prime }(x)$ và các đường thẳng $x=2;x=3$ bằng $72$.

Khi đó số nghiệm của phương trình ${\left[f\left(2024^{\sqrt{x}}\right)\right]}^2-3f\left(2024^{\sqrt{x}}\right)=0$ là

Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8$ dm và chiều rộng $AD=6$ dm, người ta thiết kế một logo là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $MN=6$ dm, tiếp xúc với $BC$; hai đường cong $IM,IN$ là một phần của các đường parabol lần lượt có đỉnh là các điểm $M,N$ và parabol có trục đối xứng lần lượt là $AB,CD$, với $I$ là trung điểm của $AD$ (tham khảo hình vẽ).



Phần logo được sơn màu xanh với chi phí $50000$ đồng/$1$dm${}^2$ và phần còn lại của bảng gỗ được sơn màu trắng với chi phí $30000$ đồng/$1$dm${}^2$. Hỏi cần bỏ ra bao nhiêu nghìn đồng để trang trí bảng gỗ trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trường Phan Đình Phùng có một khoảng sân được giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng, diện tích của sân là $S$. Nếu đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ thì parabol có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng có phương trình là $y=25$. Ban Tổ Chức chương trình "Heo May-2007" cần một khoảng sân nhỏ để đặt Backdrop nên dự định chia diện tích $S$ thành hai phần bởi một đường thẳng đi qua hai điểm $O$ và $M(a;b)$, $a\ge 0$ trên parabol $(P)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y=x^2$ và đường thẳng $OM$ là $S_1$ (Phần tô đậm trên hình minh họa). Biết rằng $S_1$ chiếm $2,7\%$ so với toàn bộ diện tích $S$, tính $a+b$.

Một nhóm các kỹ sư muốn xây dựng một cây cầu vòm dàn thép với giá đỡ dưới bằng thép cao cấp có hình dáng là một Parabol nối từ $2$ cột trụ $A$ và $B$ nằm bên dưới cây cầu, biết hai cột trụ cách nhau $400\text{ m}$, khoảng cách từ trụ $A$ đến cây cầu là $50\text{ m}$ và $AB$ song song với mặt đường.

Gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ vào cây cầu với đơn vị trục toạ độ là $10\text{ m}$. Giá đỡ dưới bằng thép là đường cong Parabol tạo với $2$ trục toạ độ các hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ bên, biết rằng $S_2-2S_1=\frac{2200}{21}$. Điểm cao nhất của giá đỡ dưới bằng thép cao cấp cách mặt đường cây cầu bao nhiêu mét? *(Làm tròn đến hàng phần mười)*

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4\text{ m}$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ (tham khảo hình vẽ).

Chi phí sơn phần tô hình tổ ong (có diện tích $S_1$) là $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích $S_2$) là $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và phần còn lại là $120000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm 50 năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, tại hệ thống trường Nguyễn Khuyến-Lê Thánh Tông, một em học sinh đến từ lớp 12B1 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học:
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên (L) là tập hợp tất cả điểm P sao cho nếu kẻ tia Ot bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại M, N thì P là trung điểm MN (O là tâm đường tròn). Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) theo đơn vị dm${}^2$ và làm tròn đến hàng phần trăm.

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $HG=16\text{ m}$, chiều rộng $FG=12\text{ m}$, người ta xây một hồ bơi là phần diện tích giới hạn bởi bốn đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4)$ như hình vẽ. Biết rằng đường tròn $(C_1)$ có đường kính $AB=10\text{ m}$ và tâm là điểm $I$, khoảng cách từ điểm $I$ đến hai cạnh $HG$ và $HE$ cùng bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_2)$ có đường kính $CD=6\text{ m}$ và tâm là điểm $K$ với khoảng cách từ $K$ đến cạnh $FG$ bằng $3\text{ m}$ và khoảng cách từ $K$ đến cạnh $EF$ bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_3)$ đi qua hai điểm $A,C$ và tiếp xúc với cạnh $EF$. Đường tròn $(C_4)$ đi qua hai điểm $B,D$ và có bán kính bằng $\sqrt{40}\text{ m}$. Hãy tính diện tích của hồ bơi như hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$. *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*

Bác Bình muốn nhờ thợ trang trí một bức tường hình chữ nhật $ADEF$ với kích thước $EF=6\text{ m},DE=3\text{ m}$ sao cho cân xứng hai nửa. Phần gạch chéo là hình giới hạn bởi đường gấp khúc $AFED$ và nửa đường tròn đường kính $AD$, được thuê sơn với đơn giá $250000$ đồng mỗi mét vuông. Phần màu trắng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $AD$ và một đường parabol (có đỉnh $H$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng bằng $2\text{ m}$ và đi qua hai điểm $B,C$ nằm trên cạnh $AD$ thỏa mãn $AB=CD=1,5\text{ m}$) được thuê trang trí bằng bức phù điêu đắp bằng xi măng với đơn giá $1950000$ đồng mỗi mét vuông (tham khảo hình vẽ). Hỏi bác Bình phải trả bao nhiêu triệu đồng để trang trí bức tường như vậy (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho ba Parabol $(P_1):y=x^2$, $(P_2):y=2x^2$, $(P_3):y=k{x}^2$ với $k>2$. Gọi $P$ là điểm bất kỳ thuộc parabol $(P_2)$ và $S_1,S_2$ là diện tích các miền phẳng $(H_1),(H_2)$ (các miền được gạch chéo trong hình vẽ).

Nếu $S_1=S_2$ thì giá trị của $k=\frac{a}{b}$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

Mỗi viên gạch trắng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$ được sơn màu trong các cánh hoa giới hạn bởi $4$ đường cong Parabol chung đỉnh $O$ tại tâm của viên gạch hình vuông và mỗi parabol đi qua $2$ đỉnh liền kề của viên gạch (hình vẽ minh họa). Một người cần trang trí một thang lên trời, bằng cách dán các viên gạch đã được sơn màu các cánh hoa như trên lên mặt đứng phía trước mỗi bậc thang. Biết mặt trước mỗi bậc thang là hình chữ nhật có chiều rộng không đổi $4\text{ dm}$ và chiều dài bậc trên cùng là $8\text{ dm}$; chiều dài bậc dưới cùng là $56\text{ dm}$ và chiều dài mỗi bậc thang khi đi lên giảm $4\text{ dm}$ so với bậc thang liền kề bên dưới (tham khảo hình vẽ minh họa).
Chi phí sơn màu mỗi mét vuông là $150$ nghìn đồng. Hỏi chi phí sơn màu trang trí cho tất cả số gạch dùng để trang trí thang lên trời bao nhiêu nghìn đồng? *(Bỏ qua khoảng cách giữa hai viên gạch liền kề và xem như bằng $0$)*

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Kiến trúc sư dự định thiết kế một khu vui chơi có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $40$ mét (xem hình minh họa). Trong đó, phần tô đậm dùng để trồng hoa, phần còn lại để làm sân chơi. Mỗi phần trồng hoa được giới hạn bởi một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$ và đường cong $(C)$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba nhận tâm $I$ của hình vuông $ABCD$ làm tâm đối xứng. Đường cong này có điểm cực trị $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $AE=3EB$. Hỏi diện tích phần trồng hoa bằng bao nhiêu mét vuông?