Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 24 chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^5+4x^3+3x+2=-2x+2⟺x^5+4x^3+5x=0⟺x(x^4+4x^2+5)=0.$
Vì $x^4+4x^2+5=(x^2+2{)}^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên phương trình chỉ có nghiệm duy nhất $x=0$.
Vậy số giao điểm là 1.

Chọn đáp án D.

Chọn A.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4$ và đường thẳng $y=-4x+8$ là nghiệm phương trình:
$x^3-3x^2+4=-4x+8⟺x^3-3x^2+4x-4=0⟺(x-2)(x^2-x+2)=0⟺x=2.$
Vậy hai đồ thị có 1 giao điểm duy nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm $(x-2)(x^2+3x-1)=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt nên đồ thị có $3$ điểm chung với trục hoành.

Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=3$ cắt nhánh trên $(-\infty ;0)$ tại $1$ điểm và tiếp xúc tại điểm cực đại $(2;3)$ (còn trên $(4;+\infty )$ hàm số tăng từ $1$ tiến tới tiệm cận ngang $y=3$). Do đó phương trình $f(x)=3$ có $2$ nghiệm.

Phương trình tương đương $f(x)=\frac{5}{3}$. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $-2<1<\frac{5}{3}<3$, nên đường thẳng $y=\frac{5}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm thực.

Xét hàm số $y=-x^3+3x^2+1$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Các giá trị cực trị là $y(0)=1>0$ và $y(2)=5>0$. Vì cả hai giá trị cực trị đều dương nên đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất (với $x>2$).

Chọn B.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m$.
Từ bảng biến thiên, để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì $-2<m<2$.

Ta có $|f(x)-1|=1\iff [\begin{array}{rl}f(x)-1& =1\\ f(x)-1& =-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =2(1)\\ f(x)& =0(2)\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên $[-2;2]$:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt, do đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
- Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Vì các nghiệm của (1) có tung độ bằng 2 và nghiệm của (2) có tung độ bằng 0 nên các nghiệm này hoàn toàn không trùng nhau.
Vậy phương trình đã cho có $2+3=5$ nghiệm phân biệt trên $[-2;2]$.
Chọn C.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, số nghiệm của phương trình $f(x)=3$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=3$.
Vì đường thẳng $y=3$ cắt hai nhánh của đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị hàm số:
$$x-2=\frac{2x+1}{x-1}(x\ne 1)$$
$$⟺(x-2)(x-1)=2x+1⟺x^2-3x+2=2x+1⟺x^2-5x+1=0.$$
Phương trình có $\Delta =(-5{)}^2-4(1)(1)=21>0$, có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Theo định lý Vi-ét, tổng hai hoành độ là:
$$x_A+x_B=-\frac{-5}{1}=5.$$

Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt khi và chỉ khi $-4<m<-3$.

Chọn C.
Dựa vào đồ thị, hàm số có giá trị cực tiểu là 2 và giá trị cực đại là 4. Đường thẳng $y=3$ nằm giữa 2 và 4 nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$4x^4-2x^2+1=x^2+x+1\iff 4x^4-3x^2-x=0$
$\iff x(4x^3-3x-1)=0\iff x(x-1)(4x^2+4x+1)=0$
$\iff x(x-1)(2x+1{)}^2=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\\ x& =-\frac{1}{2}\end{array}$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên hai đồ thị có đúng 3 điểm chung.
Chọn A.

Chọn D.
Phương trình $f(x)+1=0\iff f(x)=-1$. Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 2 điểm phân biệt.

Chọn B.
Phương trình tương đương: $f(x)=m-6$.
Vì $m>3$ nên $m-6>3-6=-3$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy đồ thị có giá trị cực tiểu bằng $-3$ và hai nhánh đi lên tới $+\infty$.
Khi đường thẳng nằm ngang $y=m-6$ với $m-6>-3$, đường thẳng này luôn cắt đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm.

Phương trình $f(x)-3=0\iff f(x)=3$.
Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 2 điểm phân biệt (một điểm có $x<-1$ và một điểm có $x>1$).
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Chọn D.

Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}=1,5$.
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại là $y_{CĐ}=1$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-2$.
Đường thẳng $y=1,5>1$ cắt đồ thị tại 2 nhánh ngoài cùng, tức là có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
Chọn D.

Phương pháp: Phương trình $2f(x)=5\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$. Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ và đường thẳng $y=2,5$.
Cách giải: Trên đoạn $[-1;2]$, đường thẳng $y=2,5$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại 2 điểm phân biệt.
Chọn B.

Chọn A.
Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $f(0)=-1$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -\infty$.
Đường thẳng $y=-2021<-1$ cắt hai nhánh đồ thị của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt.

Ta có $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}\in (-2;3)$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=\frac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, nên phương trình có $4$ nghiệm phân biệt.