Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Đặt $t=x^2+2x-2$. Với $x\in [0;1]$, hàm số $t(x)$ đồng biến vì $t^{\prime }(x)=2x+2>0$.
Ta có $t(0)=-2$ và $t(1)=1$, suy ra $t\in [-2;1]$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-2;1]$, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $f(1)=0$ và giá trị lớn nhất là $f(-2)=4$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$0\le 3m+1\le 4\iff -1\le 3m\le 3\iff -\frac{1}{3}\le m\le 1$.
Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $\left[-\frac{1}{3};1\right]$.

Chọn B.
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in (0;\pi )$ nên $t\in (0;1]$.
Phương trình trở thành: $f(t)=3t+m\iff f(t)-3t=m$.
Xét đường thẳng ${\Delta }_m:y=3t+m$ có hệ số góc bằng 3.
Từ đồ thị hàm số trên nửa khoảng $(0;1]$:
- Tại $t=1$, $f(1)=-1\Rightarrow m=f(1)-3(1)=-1-3=-4$.
- Tại $t=0$, $f(0)=1\Rightarrow m=f(0)-3(0)=1$.
Để phương trình có nghiệm $t\in (0;1]$ thì đường thẳng cắt đồ thị khi và chỉ khi $-4\le m<1$.
Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-4;-3;-2;-1;0\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là:
$$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10.$$

Chọn D.
Phương trình $f^2(x)=4\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=-2$.
Từ bảng biến thiên:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (nhánh 1 cắt tại $x_1<-1$, nhánh 2 tiếp xúc tại cực đại $x=1$).
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Tổng cộng có $2+3=5$ nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.
Điều kiện tiếp xúc:
$\{\begin{array}{l}{x}^3+1=3x+m\\ 3x^2=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm 1\\ m=x^3-3x+1\end{array}$.
- Với $x=1\Rightarrow m=1-3+1=-1$.
- Với $x=-1\Rightarrow m=-1+3+1=3$.
Tổng các phần tử của $S$ là $(-1)+3=2$.

Chọn C.
Phương trình $mf(x)+5=0\iff f(x)=-\frac{5}{m}$ (với $m\ne 0$).
Từ đồ thị, hàm số có giá trị cực tiểu là $-2$ và cực đại là $2$.
Để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thì $-2<-\frac{5}{m}<2$.
$\iff \frac{5}{|m|}<2\iff |m|>\frac{5}{2}=2.5$.
Vì $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có:
$m\in \{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3\}\cup \{3,4,5,6,7,8,9,10\}$, có $8+8=16$ giá trị nguyên.

Đặt $t=e^x$. Với $x\in (0;1)\Rightarrow t\in (1;e)$. Bất phương trình trở thành $f(t)-t<m$ đúng với mọi $t\in (1;e)$.
Xét $g(t)=f(t)-t$, $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-1$. Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với $t\in (1;e)$ ta có $f^{\prime }(t)<1\Rightarrow g^{\prime }(t)<0$, do đó hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $[1;e]$.
Để $g(t)<m,\forall t\in (1;e)$ thì $m\ge {\max }_{[1;e]}g(t)=g(1)=f(1)-1$. Chọn C.

Ta có $x^3-3x^2+1-m=0\iff x^3-3x^2+1=m$.
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Bảng biến thiên cho thấy cực đại tại $(0;1)$ và cực tiểu tại $(2;-3)$. Giá trị tại $x=1$ là $f(1)=-1$.
Để phương trình có ba nghiệm $x_1<1<x_2<x_3$ thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại điểm có hoành độ lớn hơn 1 nằm phía dưới $f(1)=-1$ và phía trên giá trị cực tiểu $-3$, tức $-3<m<-1$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, phương trình $f(t)=1$ có nghiệm khi đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại các điểm có hoành độ $t=1$ và $t=-2$.
Do đó $f[2-f(x)]=1\iff 2-f(x)=1$ hoặc $2-f(x)=-2$.
- Với $2-f(x)=1\iff f(x)=1$. Từ đồ thị, phương trình này có 2 nghiệm thực phân biệt là $x_1=1$ và $x_2=-2$.
- Với $2-f(x)=-2\iff f(x)=4$. Nhìn vào đồ thị hàm số, đường thẳng $y=4$ cắt nhánh bên trái của đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $x_3<-2$.
Các nghiệm $x_1,x_2,x_3$ đôi một khác nhau. Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án B.

Chọn B.
Từ đồ thị của hàm số $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ có 3 nghiệm đơn phân biệt làm cho hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị.
Với giả thiết $f(a)>0$ tại điểm cực đại hoặc vị trí tương ứng, xét chiều biến thiên và dấu của các giá trị cực trị, đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x=x^2-x-1\iff x^3-x^2-x+1=0\iff (x-1{)}^2(x+1)=0$. Nghiệm bội hai $x=1$ ứng với tiếp điểm $B(1;-1)$, nghiệm đơn $x=-1$ ứng với giao điểm $A(-1;1)$.

Đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $O(0;0)$ nên $f(0)=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow b=c=0$. Lại có $f(1)=3\Rightarrow 1+a=3\iff a=2$.

Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$. Từ bảng biến thiên, $f(t)=-2\iff t=-1$ hoặc $t=1$. Với $x\in [0;2\pi ]$, $\cos x=-1\iff x=\pi$ ($1$ nghiệm) và $\cos x=1\iff x\in \{0;2\pi \}$ ($2$ nghiệm). Vậy phương trình có $3$ nghiệm.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn A.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn A.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt $u_1\in (-1;0)$, $u_2\in (0;1)$ và $u_3\in (2;3)$.
Khi đó $f(3-f(x))=0⟺3-f(x)=u_i⟺f(x)=3-u_i(i=1,2,3)$:
- Với $u_1\in (-1;0)⟹3-u_1\in (3;4)$: đường thẳng $y=3-u_1>1$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $1$ điểm.
- Với $u_2\in (0;1)⟹3-u_2\in (2;3)$: đường thẳng $y=3-u_2>1$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $1$ điểm.
- Với $u_3\in (2;3)⟹3-u_3\in (0;1)$: đường thẳng $y=3-u_3\in (-3;1)$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả $1+1+3=5$ nghiệm thực.

Chọn D
Từ đồ thị của hàm số y = f ( x) ta có:
2 - f ( x) = a ( a $\in$ ( -2; - 1) ) f ( x) = 2 - a (1) ( 2 - a $\in$ ( 3; 4 ) )

f ( 2 - f ( x) ) = 0 $\iff$ 2 - f ( x) = b ( b $\in$ ( 0;1) ) $\iff$ f ( x) = 2 - b ( 2 ) ( 2 - b $\in$ (1; 2 ) ) .

2 - f ( x) = c ( c $\in$ (1; 2 ) ) f ( x) = 2 - c ( 3) ( 2 - c $\in$ ( 0;1) )

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x) ta thấy phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) lần lượt có đúng 1, 3, 3
nghiệm và các nghiệm này là phân biệt.
Vậy phương trình f ( 2 - f ( x) ) = 0 có 7 nghiệm.

Từ đồ thị, $f(t)=3$ có $2$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$ và $t_2\in (1;2)$. Khi đó $\ln f(x)=t_1\iff f(x)=e^{t_1}\in (e^{-2};e^{-1})\subset (0;1)$ (có $2$ nghiệm vì cực đại của $f(x)$ nhỏ hơn $3$ nhưng nhánh đồ thị cắt đường $y=e^{t_1}$ tại $2$ điểm) và $\ln f(x)=t_2\iff f(x)=e^{t_2}\in (e;e^2)$ (có $2$ nghiệm). Tổng cộng phương trình có $4$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình tương đương $f(2\sin x)=-\frac{1}{3}$. Đặt $t=2\sin x$. Với $x\in [-\pi ;\pi ]$ thì $t\in [-2;2]$. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=-\frac{1}{3}$ có nghiệm trong $[-2;2]$. Với mỗi giá trị $t\in (-2;2),t\ne 0$, phương trình $2\sin x=t$ cho số nghiệm tương ứng thuộc $[-\pi ;\pi ]$, tổng cộng phương trình có đúng $4$ nghiệm.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hai điểm cực trị của hàm số là $x=-1$ và $x=1$.
Do đó $f^{\prime }(t)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=1\end{array}\right]$.
Phương trình $f^{\prime }(f(x))=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=-1\\ f(x)=1\end{array}\right]$.
- Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại điểm tiếp xúc cực tiểu $x=1>0$ và cắt nhánh bên trái tại 1 nghiệm thực âm $x=-2$.
- Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 1 nghiệm âm $x=a\in (-2;-1)$ và 2 nghiệm dương.
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực âm.