Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương pháp: Phương trình $f(t)=-1$ với $t=x^2\ge 0$.
Cách giải: Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm có hoành độ $t_1<0,t_2=0$ (hoặc tiếp xúc) và $t_3>0$. Với điều kiện $t=x^2\ge 0$, phương trình có nghiệm tương ứng cho ra đúng 4 nghiệm thực $x$.
Chọn C.

Phương pháp: Khảo sát hàm số $f(x)=6^x-2^x-3^x$ để tìm số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=\frac{a}{5}$.
Cách giải: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$, ta tìm được giá trị cực tiểu của $f(x)$ xấp xỉ $-1$. Để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt thì $\min f(x)<\frac{a}{5}\le 0$, suy ra có 4 giá trị nguyên của $a$.
Chọn A.

Phương pháp: Khảo sát hàm số $u(x)$ để tìm tập giá trị và sự tương ứng nghiệm $x$ với mỗi giá trị $u$.
Cách giải: Hàm số $u(x)$ có tập giá trị $(-1;2]$. Dựa vào đồ thị $f(u)$ trên $(-1;2]$, ta xác định được các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là 3 giá trị.
Chọn B.

Chọn A.
Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $f(0)=-1$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -\infty$.
Đường thẳng $y=-2021<-1$ cắt hai nhánh đồ thị của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt.

Đặt $t=2|\cos 2x|\in [0;2]$. Từ đồ thị, phương trình $f(t)=1$ trên đoạn $[0;2]$ có hai nghiệm là $t=a\in (1;2)$ và $t=2$. Trên khoảng $(-\pi ;4\pi )$, biến $u=2x$ chạy trên khoảng $(-2\pi ;8\pi )$ gồm đúng $5$ chu kỳ độ dài $2\pi$: phương trình $|\cos u|=\frac{a}{2}\in \left(\frac{1}{2};1\right)$ có $4$ nghiệm trên mỗi chu kỳ $2\pi$ nên có $5\cdot 4=20$ nghiệm; phương trình $|\cos u|=1⟺u=k\pi \in (-2\pi ;8\pi )⟺k\in \{-1;0;1;\dots ;7\}$ có $9$ nghiệm. Tổng cộng phương trình đã cho có $20+9=29$ nghiệm.

Ta có $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}\in (-2;3)$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=\frac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, nên phương trình có $4$ nghiệm phân biệt.

Chọn D.
Ta có $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị $y=f(x)$ và đường thẳng $y=\frac{3}{2}$.
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn D.
Đặt $t=2x^3-6x+2$ (*).
Xét hàm số $t(x)$ trên $[-1;2]$: $t^{\prime }=6x^2-6=0\iff x=\pm 1$.
$t(-1)=6$, $t(1)=-2$, $t(2)=6$.
Với một giá trị $t\in (-2;6)$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x\in [-1;2]$.
Với $t=-2$ hoặc $t=6$ thì có 1 hoặc 2 nghiệm biên.
Để phương trình $f(2x^3-6x+2)=2m-1$ có 6 nghiệm phân biệt $x\in [-1;2]$ thì phương trình $f(t)=2m-1$ phải có đúng 3 nghiệm phân biệt $t\in (-2;6)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, ta có điều kiện:
$$0<2m-1<2\iff \frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}.$$
Do $m$ nguyên nên có đúng 1 giá trị là $m=1$.

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số, $y=f(x)$ là hàm số bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị là $-1,0,1$, đồ thị đi qua $(0;4)$ và $(1;3)$ nên:
$$f(x)=x^4-2x^2+4\ge 3,\forall x.$$
Điều kiện: $\frac{f(x)}{m{x}^2}>0\Rightarrow m>0$.
Phương trình tương đương:
$$\log f(x)-\log (m{x}^2)+xf(x)-m{x}^2+f(x)-m{x}^3=0$$
$$\iff \log f(x)+(x+1)f(x)=\log (m{x}^2)+(x+1)m{x}^2$$
$$\iff \log [(x+1)f(x)]+(x+1)f(x)=\log [(x+1)m{x}^2]+(x+1)m{x}^2\text{ (do }x+1>0\text{)}.$$
Xét hàm đặc trưng $g(t)=\log t+t$ đồng biến với mọi $t>0$, suy ra:
$$(x+1)f(x)=(x+1)m{x}^2\iff m=\frac{f(x)}{x^2}=\frac{x^4-2x^2+4}{x^2}={\left(x+\frac{2}{x}\right)}^2-6.$$
Đặt $u=x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$ (theo BĐT Cô-si cho $x>0$). Khi đó $m=u^2-6$.
Với mỗi giá trị $u>2\sqrt{2}$ cho đúng hai giá trị $x>0$ phân biệt.
Do đó phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $m>(2\sqrt{2}{)}^2-6=2$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-2021;2021]$ ta có $m\in \{3;4;\dots ;2021\}$.
Số giá trị thỏa mãn là: $2021-3+1=2019$ giá trị.


Chọn B.
Từ đồ thị, tại điểm cực đại $x=0$ thì $y=5$, và tại $x=2$ thì $y=3$, tại cực tiểu $x=2$ thì $y=1$.
Để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 thì đường thẳng $y=m$ phải nằm giữa mức giá trị $y=3$ và giá trị cực đại $y=5$.
Khi đó có một giao điểm trên nhánh giảm bên trái và một giao điểm có hoành độ thuộc khoảng $(0;2)$.
Vậy điều kiện là $3<m<5$.

Chọn C.
Điều kiện: $-2<x<\frac{5}{2}$ và $-x^3+x^2+x+m+8>0$.
Phương trình biến đổi về:
${\log }_{2021}[(x+2)(5-2x)]={\log }_{2021}(-x^3+x^2+x+m+8)$
$\iff -2x^2+x+10=-x^3+x^2+x+m+8\iff x^3-3x^2+2=m$.
Xét hàm số $g(x)=x^3-3x^2+2$ trên khoảng $(-2;\frac{5}{2})$:
$g^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Ta có $g(0)=2$, $g(2)=-2$, $g(-2)=-18$, $g\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{9}{8}$.
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt trên khoảng $(-2;\frac{5}{2})$ thì $-2<m<-\frac{9}{8}$.
Vậy $T=(a;b)=\left(-2;-\frac{9}{8}\right)\Rightarrow a=-2,b=-\frac{9}{8}$.
Suy ra $S=a+8b=-2+8\left(-\frac{9}{8}\right)=-2-9=-11$.

Chọn D.
Đặt $t=x^2+2x-2$. Với $x\in [0;1]$, hàm số $t(x)$ đồng biến vì $t^{\prime }(x)=2x+2>0$.
Ta có $t(0)=-2$ và $t(1)=1$, suy ra $t\in [-2;1]$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-2;1]$, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $f(1)=0$ và giá trị lớn nhất là $f(-2)=4$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$0\le 3m+1\le 4\iff -1\le 3m\le 3\iff -\frac{1}{3}\le m\le 1$.
Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $\left[-\frac{1}{3};1\right]$.

Chọn C.
Phương trình tương đương với $f(x)=\frac{5}{2}=2.5$.
Quan sát đồ thị hàm số, giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-1$ và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=3$.
Vì $-1<2.5<3$ nên đường thẳng $y=2.5$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-2x^2+x-1=1-2x\iff x^3-2x^2+3x-2=0\iff (x-1)(x^2-x+2)=0$.
Vì $x^2-x+2=(x-1/2{)}^2+7/4>0$ nên phương trình chỉ có $1$ nghiệm thực duy nhất $x=1$.
Vậy số giao điểm là $1$.

Chọn A.
Do $0<\frac{2020}{2021}<1$ nên đường thẳng $y=\frac{2020}{2021}$ cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$$-x^4+2x^2=0\iff -x^2(x^2-2)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right].$$
Do đó đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Chọn B.
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in (0;\pi )$ nên $t\in (0;1]$.
Phương trình trở thành: $f(t)=3t+m\iff f(t)-3t=m$.
Xét đường thẳng ${\Delta }_m:y=3t+m$ có hệ số góc bằng 3.
Từ đồ thị hàm số trên nửa khoảng $(0;1]$:
- Tại $t=1$, $f(1)=-1\Rightarrow m=f(1)-3(1)=-1-3=-4$.
- Tại $t=0$, $f(0)=1\Rightarrow m=f(0)-3(0)=1$.
Để phương trình có nghiệm $t\in (0;1]$ thì đường thẳng cắt đồ thị khi và chỉ khi $-4\le m<1$.
Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-4;-3;-2;-1;0\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là:
$$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10.$$

Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$.
Dựa vào sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 3 điểm phân biệt.
Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$x^3-x+1=3x+1\iff x^3-4x=0\iff x(x^2-4)=0\iff x\in \{-2;0;2\}.$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên hai đồ thị có 3 giao điểm.
Chọn C.

Chọn C.
Ta có $2f(x)+1=0⟺f(x)=-\frac{1}{2}$.
Số nghiệm thực của phương trình trên đoạn $[-2;1]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ với $x\in [-2;1]$.
Quan sát đồ thị trên đoạn $[-2;1]$, đường thẳng $y=-0.5$ cắt nhánh đồ thị tại đúng $2$ điểm phân biệt.
Vậy phương trình có $2$ nghiệm thực trên $[-2;1]$.