Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=1$; $|z-w|=2\sqrt{2}$ và số phức $\overline{z}\cdot w$ có phần ảo bằng $2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z+w-1+2i|$ có dạng $a\sqrt{b}$ với $a$ là số nguyên và $b$ là số nguyên tố. Tích $ab$ bằng

Xét hai số phức z1 , z2 thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện z1 - 6 - 2i = z2 - 6 - 2i = 5 và
2 2 2
z1 - 3 + z2 - 3 = z1 - z2 . Đặt P = z1 + z2 - 3 , giá trị lớn nhất của P thuộc khoảng nào sau đây?

Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-2-4i|=1$; $|z_2+2|=|z_2+2i|$, biết rằng $\frac{z_1-z_2}{1+2i}$ là số thực. Gọi $M,m$ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z_1-z_2|$. Khi đó $M+m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left|\frac{(2-i)z-3i-1}{z-i}\right|=2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $w=\frac{1}{iz+1}$. Xét các số phức $w_1,w_2\in S$ thỏa mãn $|w_1-w_2|=2$, giá trị lớn nhất của $P=|w_1-4i{|}^2-|w_2-4i{|}^2$ bằng

Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình $z^2-4z+\frac{c}{d}=0$ (với $c\in \mathbb{Z};d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm $z_1,z_2$. Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của $z_1,z_2$ trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, giá trị của biểu thức $P=2c-5d$ bằng

Cho ba số phức $z_1,z_2$ và $z_3$ thỏa mãn các điều kiện $|z_1-i|=|z_1-1+i|$ và $|z_2-1|=|z_2+2i|$ đồng thời $|2z_3-6|=|\sqrt{3}+i|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_1|$ bằng

Gọi $T$ là tập hợp các số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z\bar{z}=|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|$. Xét $z_1$ và $z_2$ thuộc $T$ sao cho $\frac{z_1-z_2}{1-i}$ là số thuần ảo. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_1-z_2|$ bằng

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+w|=\sqrt{10}$, $|2z+w|=\sqrt{17}$ và $|\bar{z}-3\bar{w}|=2\sqrt{10}$. Tính giá trị của biểu thức $P=z.\bar{w}+\bar{z}.w$.

Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  8  4i  z1  4i , z 2  4  5i  1, z 3  1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2  z1  z 3 .

Câu 3. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0)$, $B(3;6;6)$, $C(4;6;2)$, $D(6;2;14)$; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA=3,MB=6,MC=5,MD=13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng bao nhiêu?

Xét các số phức z thỏa mãn z + 3 − 2i + z − 3 + i =3 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 + z − 1 − 3i . Tìm M , m .

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=\sqrt{20}$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|z+3-10i|+2|z-6-8i|+3|z-4-8i|$ là số có dạng $2a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$ trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên tố. Khi đó $a^2+b^2+c^2+d^2$ bằng

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$ và $|w-6i|=3$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=6|z-4|+4|w-9-6i|+12|z-w|$ bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $300\text{ m}$ về phía Nam và $100\text{ m}$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $100\text{ m}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $200\text{ m}$ về phía Bắc và $100\text{ m}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $50\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $500\text{ km}$. Một máy bay đang ở vị trí $A(-1000;-185;30)$ và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(100;80;0)$. Tính khoảng cách từ vị trí $A$ đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3. Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $1,5\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60\text{ m}$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía bắc và $2,5\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40\text{ m}$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a\text{ km}$ theo hướng bắc và $b\text{ km}$ theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị tính bằng $1\text{ cm}$, cho mặt nón đỉnh $S(0;0;7)$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $3\text{ cm}$ và $A(4;3;5)$; $M$ là điểm thay đổi trên mặt nón.

Giá trị nhỏ nhất của độ dài $AM$ bằng bao nhiêu $\text{cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh $A$ của tháp thứ nhất đến đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ $A$ đến một điểm $P$ trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm $P$ dọc theo hướng Tây $40\text{ m}$ đến điểm $Q$ và sau đó drone bay thẳng từ $Q$ lên đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Biết đỉnh $A$ cao $100\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $200\text{ m}$ về phía Đông và $100\text{ m}$ về phía Nam. Đỉnh $B$ cao $300\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $140\text{ m}$ về phía Tây và $200\text{ m}$ về phía Nam.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng Đông, trục $Oy$ hướng Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là $100\text{ m}$). Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm $P(a;b;c)$ trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức $S=4a+4b+2c$.