Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $NA=2NC$ nên $N$ chia $AC$ theo tỉ số $\frac{NA}{NC}=2$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, tức $x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$. Vậy $P=2x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,17$, khớp với đáp án nguồn 0,17.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$, nên D đúng. Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$ (B đúng) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ (C đúng). Mệnh đề A sai vì $\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$. Khớp đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $NA=2NC$ nên $AN=\frac{2}{3}AC$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Suy ra $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, vậy $x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$. Do đó $P=2x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,17$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ nằm giữa $M$ và $N$ với $MP=3PN$ nên $MN=MP+PN=4PN$, suy ra $MP=\frac{3}{4}MN$ (cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$). Xét các đáp án: A sai vì $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ (không có dấu trừ); B sai vì $\overrightarrow{NP}$ ngược hướng $\overrightarrow{MN}$ nên $\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NP}$; C đúng vì $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng hướng và độ dài $MP=3PN$ nên $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$; D sai vì $\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{PN}$. Đáp án khớp với mã đề 1001: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$ và $M$ thuộc đoạn $BC$ nên $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $MB=\frac{1}{3}BC$ (độ dài), với $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC$ là độ dài đường chéo hình vuông. Cạnh hình vuông là $a\sqrt{2}$ nên $AC=(a\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=2a$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (B đúng) và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (C đúng). Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo thì $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, do đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ (D đúng). Xét A: nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$ thì kết hợp với D suy ra $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}$, tức $B\equiv C$, vô lý. Vậy đẳng thức A sai.

ABCD là tứ diện đều cạnh $a$ nên suy ra $△ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Tính chất trọng tâm tam giác cho $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. b) Đúng: Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. c) Đúng: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$; tam giác vuông tại $A$ nên trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=7,5$; do đó $GM=\frac{1}{3}AM=2,5$ và $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2\cdot 2,5=5$. d) Sai: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$; $AM=\frac{BC}{2}=7,5$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền), $GM=\frac{1}{3}AM=2,5$, nên độ dài bằng $2\cdot 2,5=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, ta có $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$, tức $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $BC$ với $BM=\frac{2}{3}BC$, suy ra $MC=\frac{1}{3}BC$. Do đó $\frac{MB}{MC}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, ba điểm thẳng hàng theo thứ tự $A-C-B$ với $C$ nằm giữa $A$ và $B$, và $BC=2AC$. Suy ra $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{CA}$. Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra: A sai vì $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}$; D đúng. Khớp đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B_1{C}_1}$ và $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{BA}$ nên hai vế đều bằng $\vec{0}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1{C}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}$. Đúng.
- C: Theo quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}$, không thể rút gọn thành $\overrightarrow{BC}$ (ví dụ với hình hộp chữ nhật đơn giản, tổng này có thành phần theo phương $B{B}_1$ khác 0). Sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác A'B'C' nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, ta có $$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}).$$ Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;2), I là trung điểm AB nên I(0,5;0). a) Vì I là trung điểm AB nên IA + IB = 0 (đúng). b) I nằm giữa A và B, vectơ IA hướng từ I về A còn AB hướng từ A đến B nên chúng ngược hướng (đúng). c) Gọi I là trung điểm AB: CA + CB = 2CI, do đó CA + CB + IC = 2CI + IC = CI. Ta có CI = sqrt((0,5)^2 + 2^2) = sqrt(17)/2, nên |CA + CB + IC| = sqrt(17)/2 (đúng). d) CA + CB = 2CI chứ không phải 2IC (hai vectơ CI và IC ngược hướng), nên phát biểu sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB nên IA + IB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
I nằm giữa A và B nên IA và AB ngược hướng.
c) (AI giải đề cho tôi)
CA + CB = 2CI nên CA + CB + IC = CI, với CI = sqrt(17)/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
CA + CB = 2CI, khác 2IC vì CI và IC ngược hướng.

(AI giải đề cho tôi)
Vật cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{F}=\vec{0}$, suy ra $|\vec{F}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Ta có $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=20^2+30^2+2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 120^0=400+900-600=700$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{700}\approx 26,46\approx 26,5$ N, khớp với đáp án nguồn 26,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-4)(-1)+3\cdot 7=4+21=25$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{16+9}=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\approx 0,71$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,71).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, các tam giác $OAB$, $OAF$ đều là tam giác đều cạnh bằng cạnh lục giác, nên tứ giác $OABF$ có $OA=AB=AF$ và các góc phù hợp, thực chất $OABF$ là hình bình hành (do $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}$ theo quy tắc hình bình hành với $\angle AOF=120^{\circ }$... xét trực tiếp: $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF}$; vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OF}$ do $AB\parallel OF$ và cùng chiều, cùng độ dài) nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{FA}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AO}$ (vì $D$ đối xứng $A$ qua $O$), khác $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang, khác hướng $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CB}$ hướng xuống trái, khác $\overrightarrow{OB}$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;2)$, $I$ trung điểm $AB$ nên $I(0,5;0)$.
a) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$; $\overrightarrow{IC}=(-0,5;2)$. Tổng $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IC}=(0,5;-2)$, độ dài $\sqrt{0,25+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$. Đúng.
b) $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IA}$ cùng phía với $\overrightarrow{BA}$, còn $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng $\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng. Đúng.
d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$, còn $2\overrightarrow{IC}=(-1;4)$, hai véc-tơ ngược chiều nên khẳng định sai.
Kết quả Đ, Đ, Đ, S khớp bảng đáp án mã 101, Câu 2.
a) Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;2)$, $I$ là trung điểm $AB$ nên $I(0,5;0)$. Ta có $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$ và $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{I}=(0,5;-2)$. Tổng $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IC}=(0,5;-2)$, độ dài bằng $\sqrt{0,25+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$. Đúng.
b) I là trung điểm AB nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IA}$ cùng phía với $\overrightarrow{BA}$, còn $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng. Đúng.
d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ (vì I là trung điểm AB), không phải $2\overrightarrow{IC}$; hai véc-tơ này ngược chiều nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vật cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{F}=\vec{0}$, suy ra $\vec{F}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\vec{F}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Do đó $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=20^2+30^2+2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 120^{\circ }=400+900-600=700$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{700}\approx 26,4575\approx 26,5$ N, khớp với đáp án nguồn 26,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-4)(-1)+3\cdot 7=4+21=25$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{16+9}=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\approx 0,71$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: 0,71).