Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $\overrightarrow{F_1}$ hướng thẳng xuống, $\overrightarrow{F_2}$ nằm ngang, góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ bằng $120^{\circ }$, góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ bằng $90^{\circ }$. Chọn hệ trục: $\overrightarrow{F_1}=(0,-20)$, $\overrightarrow{F_2}=(F,0)$ với $F=|\overrightarrow{F_2}|$. Vì cân bằng nên $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})=(-F,20)$, suy ra $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{F^2+400}$. Góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $120^{\circ }$: $\overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{F_3}=-F^2=F\cdot |\overrightarrow{F_3}|\cos 120^{\circ }=-\frac{F|\overrightarrow{F_3}|}{2}$, nên $|\overrightarrow{F_3}|=2F$. Do đó $4F^2=F^2+400\Rightarrow F=\frac{20}{\sqrt{3}}\approx 11,547$, $|\overrightarrow{F_3}|=\frac{40}{\sqrt{3}}\approx 23,094$. Tổng cần tính: $20+\frac{40}{\sqrt{3}}\approx 43,09\approx 43$ (N).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$.

b) Xét tam giác $ADC$ có:
$A{C}^2=D{A}^2+D{C}^2-2\cdot DA\cdot DC\cdot \cos \widehat{ADC}$;
$A{C}^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=21$.
Suy ra $AC=\sqrt{21}$.
Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|2\overrightarrow{AC}\right|=2AC=2\sqrt{21}$.

c) Đặt $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BQ}=k\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BP}=(1-k)\overrightarrow{BA},k\in (0;1)$.
Giả sử $\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{CN}=y\overrightarrow{CP}$. Ta có
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}\right)$
$=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{DC}+k\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{DC}-k\overrightarrow{DA}\right)=(1-xk)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}$,
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+y\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{DC}+y\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\right)$
$=\overrightarrow{DC}+y\left(\overrightarrow{DA}+(1-k)\overrightarrow{BA}\right)=\overrightarrow{DC}+y\overrightarrow{DA}-y(1-k)\overrightarrow{DC}$
$=y\overrightarrow{DA}+(1-y+yk)\overrightarrow{DC}$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}1-xk=y\\ x=1-y+yk\end{array}$, hay $\{\begin{array}{l}x=\frac{k}{k^2-k+1}\\ y=\frac{1-k}{k^2-k+1}\end{array}$.

Khi đó $\overrightarrow{DN}=\frac{1-k}{k^2-k+1}\overrightarrow{DA}+\frac{k}{k^2-k+1}\overrightarrow{DC}$,
$m+n=\frac{1-k}{k^2-k+1}+\frac{k}{k^2-k+1}=\frac{1}{k^2-k+1}=\frac{1}{{\left(k-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}\le \frac{4}{3},\forall k\in (0;1)$.

Vậy giá trị lớn nhất của $m+n$ bằng $\frac{4}{3}$, đạt được khi $k=\frac{1}{2}$, tức là $M$ là trung điểm của $AC$.

Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 0102, câu 16): DDSD. a) Đúng vì $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$. b) Đúng vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a\cdot 6a\cdot \cos 60^{\circ }=12a^2$. c) Sai vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. d) Đúng vì $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-16a^2+7a^2-12a^2+21a^2\right)=0$, suy ra $AI\perp BE$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0,\frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B=(-\frac{a}{2},0)$, $C=(\frac{a}{2},0)$ với $a=2026$. Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Đặt $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(-\frac{3a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{2})$. Vì $M$ chạy trên đường thẳng qua $A$ song song $BC$ (phương ngang), $2\overrightarrow{MA}$ là vecto phương ngang, nên biểu thức đạt nhỏ nhất khi thành phần ngang triệt tiêu, giá trị nhỏ nhất bằng độ lớn thành phần thẳng đứng của $\vec{u}$: $\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2026\sqrt{3}}{2}=1013\sqrt{3}\approx 1754,55\approx 1755$. Khớp với đáp án nguồn 1755.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$, nên $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=5$ nên $BC=5\sqrt{2}$, $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\left(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2\right)$, ta được $M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2=25$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}$. Suy ra $2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}-A{I}^2=25\Rightarrow 2M{G}^2=25+\frac{25}{4}=\frac{125}{4}\Rightarrow M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, tức $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$, suy ra $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2)$, với tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=5$ nên $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Do đó $M{A}^2+M{I}^2=25+\frac{25}{2}=\frac{75}{2}$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}=2M{G}^2+\frac{25}{4}$, suy ra $2M{G}^2=\frac{75}{2}-\frac{25}{4}=\frac{125}{4}$, tức $M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, nên $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CB}$. Chọn hệ trục: $B=(0;0)$, $A=(2026;0)$, $C=(0;2026)$ (tam giác vuông cân tại $B$). Đường $d$ qua $A$ song song $BC$ là đường thẳng $x=2026$, nên $M=(2026;t)$. Khi đó $\overrightarrow{MA}=(0;-t)$, $\overrightarrow{MB}=(-2026;-t)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-2026)$. Tổng: $(-2026;-2t-2026)$. Độ dài bình phương: $2026^2+(2t+2026{)}^2\ge 2026^2$, dấu bằng khi $t=-1013$ (tồn tại trên $d$). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $2026$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 21: 2026).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $AB=2$, $BC=4$ (nên $AD=BC=4$), $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ suy ra $\widehat{BAD}=120^{\circ }$.
a) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ nên $|\overrightarrow{BD}{|}^2=A{D}^2+A{B}^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ }=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot (-\frac{1}{2})=28$, tức $|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$ → Sai.
c) $S=AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ne 4c{m}^2$ → Sai.
d) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (trang 10, cột 4a–4d: S, S, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
|BD|² = AD²+AB²−2·AD·AB·cos120° = 16+4+8 = 28, nên |BD| = 2√7 ≠ 2√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
DA+AC = DC = AB, nên tích vô hướng bằng |AB|² = 4 ≠ 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = AB·BC·sin60° = 2·4·(√3/2) = 4√3 ≠ 4 cm².
d) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên AB = DC (vectơ).

ĐÁP SỐ:

Vẽ điểm F thỏa mãn ABFC là hình bình hành



$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}$

Vì ABFC là hình bình hành nên $\hat{B}=180^0-120^0=60^0$

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABF ta có:

$b^2=a^2+f^2-2.a.f.\cos B=5+8-2.\sqrt{5}.2\sqrt{2}\cos 60^0$

$b=\sqrt{13-2\sqrt{10}}\approx 2,58$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F}$ là 2,58 N

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=AB.AD\cos \widehat{BAD}=a.a\sqrt{2}.\cos 120^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$.

b) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AG}$ mà $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$.

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DB}+\frac{19}{6}\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\frac{19}{18}\overrightarrow{DC}$.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=AB.AD\cos \widehat{BAD}=a.a\sqrt{2}.\cos 120^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$.

b) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AG}$ mà $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$.

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DB}+\frac{19}{6}\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\frac{19}{18}\overrightarrow{DC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1)$. Vì $MA=3MD$ nên $M$ chia $AD$ với tỉ số $$\begin{gathered} overrightarrowMA=3 \\ overrightarrowMD \end{gathered}$$, suy ra $$\begin{gathered} M(0; \\ tfrac34) \end{gathered}$$. $N$ trung điểm $BC$ nên $$\begin{gathered} N(1; \\ tfrac12) \end{gathered}$$, $I$ trung điểm $MN$ nên $$\begin{gathered} I( \\ tfrac12; \\ tfrac58) \end{gathered}$$.

a) Với $$\begin{gathered} x= \\ tfrac14 \end{gathered}$$: $$\begin{gathered} K( \\ tfrac14;1) \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} overrightarrowAK=( \\ tfrac14;1) \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} overrightarrowMN=(1;- \\ tfrac14) \end{gathered}$$. Tích vô hướng $$\begin{gathered} = \\ tfrac14 \\ cdot1+1 \\ cdot(- \\ tfrac14)=0 \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} AK \\ perpMN \end{gathered}$$. Đúng.

b) $$\begin{gathered} overrightarrowMA=(0;- \\ tfrac34) \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} overrightarrowMD=(0; \\ tfrac14) \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} overrightarrowMA=-3 \\ overrightarrowMD \end{gathered}$$. Đúng.

c) $$\begin{gathered} overrightarrowAN=(1; \\ tfrac12) \end{gathered}$$; $$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ tfrac12 \\ overrightarrowAD=(1;0)-(0; \\ tfrac12)=(1;- \\ tfrac12) \\ neq \\ overrightarrowAN \end{gathered}$$. Thực tế $$\begin{gathered} overrightarrowAN= \\ overrightarrowAB+ \\ tfrac12 \\ overrightarrowAD \end{gathered}$$. Sai.

d) Vì $I$ trung điểm $MN$: $$\begin{gathered} overrightarrowDI= \\ tfrac12( \\ overrightarrowDM+ \\ overrightarrowDN) \end{gathered}$$, không phải hiệu. Kiểm tra: $$\begin{gathered} overrightarrowDI=( \\ tfrac12;- \\ tfrac38) \end{gathered}$$ còn $$\begin{gathered} tfrac12( \\ overrightarrowDM- \\ overrightarrowDN)= \\ tfrac12((0;- \\ tfrac14)-(1;- \\ tfrac12))=(- \\ tfrac12; \\ tfrac18) \end{gathered}$$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $$\begin{gathered} x= \\ tfrac14 \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} overrightarrowAK \\ cdot \\ overrightarrowMN= \\ tfrac14- \\ tfrac14=0 \end{gathered}$$ nên $$\begin{gathered} AK \\ perpMN \end{gathered}$$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowMA=(0;- \\ tfrac34)=-3(0; \\ tfrac14)=-3 \\ overrightarrowMD \end{gathered}$$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowAN=(1; \\ tfrac12) \end{gathered}$$ còn $$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ tfrac12 \\ overrightarrowAD=(1;- \\ tfrac12) \end{gathered}$$; đúng phải là $$\begin{gathered} overrightarrowAN= \\ overrightarrowAB+ \\ tfrac12 \\ overrightarrowAD \end{gathered}$$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ trung điểm $MN$ nên $$\begin{gathered} overrightarrowDI= \\ tfrac12( \\ overrightarrowDM+ \\ overrightarrowDN) \end{gathered}$$, không phải hiệu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ với $BM=4$, $MC=12$ (vì $MC=3MB$, $BC=16$).

$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}=|BC|\cdot |AB|\cos 120^{\circ }=16\cdot 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-128$.

$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BM}=|BC|\cdot BM=16\cdot 4=64$ (cùng hướng).

Vậy $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AM}=-128+64=-64$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a, nên theo định lí Pythagoras: AC = √(BC² − AB²) = √(4a² − a²) = a√3.

a) Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm), do đó $|\vec{u}|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$.

b) Ta có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$ nên vế phải bằng $3|\overrightarrow{CB}|=3\cdot BC=6a$.

Xét điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (trọng tâm của hệ điểm với trọng số: A, B trọng số 1, C trọng số 4). Với mọi điểm M:
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})=6\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}\right)=6\overrightarrow{MG}.$$

Vậy điều kiện trở thành $|6\overrightarrow{MG}|=6a\iff MG=a$.

Kết luận: Tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính a, với G xác định bởi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Lưu ý G không nằm trên cạnh AC (vì có trọng số của B); cụ thể với hệ tọa độ A(0,0), B(a,0), C(0, a√3) thì $G=\frac{A+B+4C}{6}=\left(\frac{a}{6},\frac{2\sqrt{3}a}{3}\right)$.

Kiểm tra: với M bất kỳ trên đường tròn (G, a), $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=6MG=6a=3|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$ ✓

a. $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MQ}\right)$ [Hình cần kiểm tra lại: p8_f2]

b. $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{NB}$

$\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MQ}\right)\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{NB}\right)$

$=\frac{-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MQ}}{4}-\frac{\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{QM}}{4}+\frac{\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{NB}}{2}$

$=\frac{\overrightarrow{MQ}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{QM}+2\overrightarrow{NB}\right)}{4}=\frac{\overrightarrow{MQ}\left(-2\overrightarrow{MQ}+2\overrightarrow{NQ}\right)}{4}$

$=\frac{\overrightarrow{MQ}\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{NB}\right)}{2}=\frac{\overrightarrow{MQ}.\overrightarrow{NM}}{2}=0$

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|\cos 60^{\circ }=172\cdot 159\cdot \frac{1}{2}=13662$. Do đó $|\overrightarrow{F}{|}^2=172^2+159^2+2\cdot 13662=29584+25281+27324=82189$, suy ra $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{82189}\approx 286,68\approx 287$ (N). Kết quả khớp với đáp án nguồn 287.

a. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)$ [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

b. $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BM}$

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BM}\right)$

$=\frac{-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AD}}{4}-\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}}{4}+\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BM}}{2}$

$=\frac{\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{BM}\right)}{4}=\frac{\overrightarrow{AD}\left(-2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM}\right)}{4}$

$=\frac{\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)}{2}=\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BA}}{2}=0$